籌謀單元窺全局 優(yōu)化結(jié)構(gòu)突主線
——對“冪函數(shù)”說課的思考

符強(qiáng)如 (新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校 830026)

說課作為常用的教研形式之一,是課堂觀摩這一傳統(tǒng)教研活動形式的補(bǔ)充和發(fā)展．說課對教育觀念的革新,對教育理論的理解和掌握,對教學(xué)的研究、反思、評價,無疑是一種可取的有效途徑．筆者以為,數(shù)學(xué)說課須注重四個方面:首先,數(shù)學(xué)理解要深刻.好的教學(xué)效果源于教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容的深刻理解和把握.其次,教學(xué)價值要體現(xiàn).數(shù)學(xué)教學(xué)是以數(shù)學(xué)的知識、方法和思想育人的教學(xué),把數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)術(shù)價值轉(zhuǎn)化為教學(xué)價值是數(shù)學(xué)教師的專業(yè)責(zé)任.再次,學(xué)生基礎(chǔ)要明確.高效益的數(shù)學(xué)教學(xué)建立在教師對學(xué)生知識經(jīng)驗的了解基礎(chǔ)上.最后,活動設(shè)計要到位.教師關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解、教學(xué)價值的確定和學(xué)生基礎(chǔ)的分析,需要反映在教學(xué)活動中．本文以“冪函數(shù)”說課為例,談?wù)劰P者的思考和實踐,以期有悟道參玄之功,格物致知之效．

1 數(shù)學(xué)理解:動態(tài)理解和靜態(tài)理解

數(shù)學(xué)有三種形態(tài),其中教育形態(tài)的數(shù)學(xué)是基于育人的數(shù)學(xué),介于學(xué)術(shù)形態(tài)和原始形態(tài)之間,要一定程度上還原知識創(chuàng)造的過程,給予學(xué)習(xí)者探索和發(fā)現(xiàn)新知識的方法啟示,還要展現(xiàn)靜態(tài)、穩(wěn)定的性狀,反映空間形式和數(shù)量關(guān)系的規(guī)律,提供學(xué)習(xí)者分析和解決數(shù)學(xué)問題的依據(jù)和模型．從動態(tài)理解的角度,圍繞數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程,揭示邏輯背后的驅(qū)動力量;從靜態(tài)理解的角度,圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容的形態(tài)結(jié)構(gòu),述說知識的意義價值．

·“冪函數(shù)”說課片斷1

用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界．創(chuàng)設(shè)實際情境:2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．假設(shè)我們是烏魯木齊某綜合企業(yè),要準(zhǔn)備經(jīng)濟(jì)營銷等活動,在準(zhǔn)備中有如下問題需要思考:

(1)若某新疆特色小吃每分鐘可以生產(chǎn)一袋,則它生產(chǎn)的袋數(shù)p(袋)和時間w(min)之間有何關(guān)系?這里p是w的函數(shù)嗎?

(2)若新建的汽車生產(chǎn)基地為一個正方形,且邊長為a,則該生產(chǎn)基地的占地面積S是多少?這里S是a的函數(shù)嗎?

(3)若新建的汽車研發(fā)中心為一個正方體且棱長為b,則該汽車研發(fā)中心的體積V是多少?這里V是b的函數(shù)嗎?

(4)若汽車生產(chǎn)基地正方形場地的面積為S,則正方形的邊長c是多少?這里c是S的函數(shù)嗎?

(5)若特色小吃運(yùn)送車輛ts內(nèi)行進(jìn)1 km,則車輛的平均速度v是多少?這里v是t的函數(shù)嗎?

靜態(tài)理解改變教材上情境分布零散的現(xiàn)象,以地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展為實際背景,得到整體連貫的5個具體實例的解析式,引導(dǎo)學(xué)生用x,y表示,概括解析式共性,獲得冪函數(shù)定義．引導(dǎo)學(xué)生從實際背景中抽象出冪函數(shù)的概念,讓學(xué)生經(jīng)歷并體會從眾多事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征,舍去非本質(zhì)性特征,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．中學(xué)階段學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)都有其實際背景,對實際問題進(jìn)行抽象是許多數(shù)學(xué)概念和問題產(chǎn)生的方式．教學(xué)中有必要補(bǔ)充相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容,比如中國很早就借用“冪”字表示面積,后來演變?yōu)楸硎酒椒交蛄⒎?清末大數(shù)學(xué)家李善蘭把power這個詞譯為“冪”,這樣“冪”就表示若干個相同數(shù)之積．

動態(tài)理解冪函數(shù)是在初中(八、九年級)學(xué)習(xí)正、反比例函數(shù),二次函數(shù)y=x2的基礎(chǔ)上,對形式上具有共同特征的一類函數(shù)的擴(kuò)展和延伸．從函數(shù)主線來看,冪函數(shù)是高中階段研究的第一類具體函數(shù),通過本節(jié)課讓學(xué)生了解一類具體函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法,為后續(xù)函數(shù)的研究提供系統(tǒng)的參考．值得一提的是,冪函數(shù)模型教法與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有所不同:冪函數(shù)可以看成代數(shù)函數(shù),可以用代數(shù)運(yùn)算研究冪函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì),也可以從函數(shù)圖象研究冪函數(shù)性質(zhì),而指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一般僅從函數(shù)圖象研究性質(zhì);冪函數(shù)通過5個具體函數(shù)類比遷移達(dá)到學(xué)生對其他冪函數(shù)的掌握,而指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)則通過歸納概括掌握．

2 教學(xué)價值:即時價值和深遠(yuǎn)價值

教學(xué)價值就是基于前面的數(shù)學(xué)理解,對照數(shù)學(xué)教育目標(biāo),闡述教師對教材內(nèi)容的教學(xué)意義的認(rèn)識.即時價值表現(xiàn)在教學(xué)活動后,學(xué)生很快有哪些收獲、能夠解決哪些數(shù)學(xué)問題;長遠(yuǎn)價值體現(xiàn)對學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用,讓學(xué)生獲得超越教材知識的認(rèn)識,重構(gòu)原有認(rèn)知,形成完善體系[1]．

·“冪函數(shù)”說課片斷2

即時價值結(jié)合以往研究一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的經(jīng)驗,調(diào)動學(xué)生回憶初中研究函數(shù)的內(nèi)容、過程和方法,梳理一個具體函數(shù)的研究內(nèi)容:研究一類函數(shù)的內(nèi)容(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等),并用表格呈現(xiàn)出來;研究函數(shù)的路徑(定義—表示—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用)．明確繼承初中借助圖象研究函數(shù)的方法,發(fā)展本章用嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)符號定義和研究函數(shù)性質(zhì)的能力．

深遠(yuǎn)價值改編教材,以熟悉的地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展為實際背景,建立冪函數(shù)模型,增強(qiáng)文化自信,培養(yǎng)愛國愛疆的情感．筆者認(rèn)為本節(jié)課是研究一類函數(shù)的單元起始課和研究函數(shù)方法的單元起始課,要以知識為明線、思想為暗線、素養(yǎng)為眼線,按照函數(shù)主線大單元整體設(shè)計．讓學(xué)生從實際進(jìn)行抽象,經(jīng)歷概念學(xué)習(xí)一般過程.繼承初中函數(shù)的學(xué)法教法,精選特例函數(shù),借助圖象研究性質(zhì),發(fā)展高中階段通過代數(shù)運(yùn)算研究性質(zhì)的能力,并形成框架體系．隨后要求學(xué)生用研究函數(shù)一般方法課后主動研究“對勾函數(shù)”,形成函數(shù)單元整體學(xué)習(xí)．對一般冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行猜想,通過信息技術(shù)軟件Geogebra動態(tài)驗證猜想．學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決部分問題的過程,體驗特殊到一般、觀察、猜想、驗證的科學(xué)研究過程,為后續(xù)的研究提供方向．

3 學(xué)生基礎(chǔ):知識經(jīng)驗和知識生長

美國著名教育心理學(xué)家奧蘇泊爾指出:“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么,我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)．”弄清學(xué)生基礎(chǔ),就是圍繞教學(xué)的內(nèi)容分析學(xué)生的知識狀況:分析完成學(xué)習(xí)任務(wù)所需要的顯性知識,學(xué)生原有的顯性知識是否與此一致;分析完成學(xué)習(xí)任務(wù)所需要的數(shù)學(xué)經(jīng)驗,學(xué)生原有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗是否與此有差距．

·“冪函數(shù)”說課片斷3

知識經(jīng)驗基礎(chǔ)初中學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)法教法,是通過選特例函數(shù),采用列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象的方式研究函數(shù)的性質(zhì);高中通過奇偶性定義、單調(diào)性定義研究函數(shù)的性質(zhì),這與學(xué)生原有的顯性知識是一致的．需要的數(shù)學(xué)經(jīng)驗有:從實際問題中抽象概括;及時反思自己的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗;在觀察和分析的基礎(chǔ)上嘗試;用數(shù)學(xué)概念驅(qū)動思維．從學(xué)生的原有經(jīng)驗來看,學(xué)生具備一定的抽象概括能力,但是停留在結(jié)構(gòu)形式層面;學(xué)生缺乏反思自己思維過程的自覺,會研究一個具體函數(shù),但對一類具體函數(shù)缺乏研究框架和系統(tǒng),習(xí)慣于單一地用函數(shù)圖象或代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì)[2]．

4 活動設(shè)計:實踐和思維

數(shù)學(xué)活動包括顯性的實踐活動和隱性的思維活動,它們往往交織在一塊,相輔相承,互為促進(jìn)．設(shè)計合理的數(shù)學(xué)活動能優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出內(nèi)容主線,使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下積累數(shù)學(xué)實踐和思維的寶貴經(jīng)驗,把握知識的本質(zhì),學(xué)會數(shù)學(xué)的方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想．本節(jié)課基于學(xué)生認(rèn)知水平的分析和對教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的教學(xué)價值的理解,設(shè)計了如下5個活動環(huán)節(jié)．

實踐活動

環(huán)節(jié)1 情景建模,定義模型

通過創(chuàng)設(shè)的情境提問:觀察這些函數(shù)的解析式,它們在結(jié)構(gòu)上有什么共同特征?追問:5個函數(shù)解析式是否可以統(tǒng)一改成以x為自變量、y為因變量的形式?追問:(強(qiáng)調(diào))這幾個函數(shù)是研究冪xα隨x的變化而變化的規(guī)律,但是名稱卻不同,我們能否給它們起一個統(tǒng)一的名稱?

環(huán)節(jié)2 合作探究圖象性質(zhì)

思維活動

環(huán)節(jié)3 梳理路徑,明確方向

問題:結(jié)合以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,我們應(yīng)該如何研究冪函數(shù)?追問:如何作出冪函數(shù)y=xα的圖象?追問:作出函數(shù)圖象后可以研究哪些內(nèi)容?追問:在研究它們的圖象和性質(zhì)之前,我們應(yīng)該先明確什么?

環(huán)節(jié)4 典例分析,多重感悟

環(huán)節(jié)5 課堂小結(jié),形成結(jié)構(gòu)

優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出函數(shù)主線,形成函數(shù)的單元整體學(xué)習(xí)(提示語:知識、方法、思想).追問:用圖形框架如何體現(xiàn)?追問:研究函數(shù)的套路是什么?形成函數(shù)的單元整體學(xué)習(xí)．

5 結(jié)語

弦歌不輟,芳華待灼;砥礪深耕,履踐致遠(yuǎn)．以深遂的目光洞察數(shù)學(xué),以全面的眼光分析價值,從學(xué)生的角度審視內(nèi)容,用有效的數(shù)字化賦能教學(xué)．從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)教育,再到課堂,三者水乳交融、渾然一體地展現(xiàn)出來時,讓人感受到的不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在規(guī)律,更有數(shù)學(xué)教育與課堂藝術(shù)的勃勃生機(jī)．