例析特殊平行四邊形中線段最值問題

高藝萌 (安徽省蕪湖市萬春中學(xué)906班 241060)

指導(dǎo)教師 武咸保 (安徽省蕪湖市萬春中學(xué) 241060)

特殊平行四邊形中線段最值問題是幾何學(xué)習(xí)中的一個難點,也是常考內(nèi)容．

1 根據(jù)“兩點之間,線段最短”求最值

圖1

分析 先找出動點P的運(yùn)動軌跡,再找出PA+PB的值最小時點P的位置即可解決問題．

圖2

總結(jié)解決有關(guān)PA+PB的最小值問題時,常借助對稱將線段之和的問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”的問題來求解,其中確定動點的運(yùn)動軌跡是關(guān)鍵點．

圖3

分析EF為定值,故求△AEF周長的最小值只需求出AE+AF的最小值即可．但E,F都是動點,我們可以利用平移思想將動點E,F平移到一起研究．

總結(jié)兩動點定長問題一般利用平移思想將兩動點平移到一起,構(gòu)造出一個平行四邊形,轉(zhuǎn)化為PA+PB的最小值問題．

2 根據(jù)“垂線段最短”求最值

例3如圖5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,D是斜邊BC上一動點,過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,G為四邊形DEAF對角線的交點,則線段GF的最小值為．

圖5

圖6

總結(jié)本題要求最值的線段GF的兩個端點都是動點,無法確定最小值位置,但GF是矩形對角線的一半,利用矩形對角線相等的性質(zhì)將求GF的最小值轉(zhuǎn)化為求AD的最小值．而線段AD的端點A是定點,D是BC上一動點,故依據(jù)“垂線段最短”可知當(dāng)AD⊥BC時AD最短.最后利用勾股定理和面積法求出此時AD的長度,從而解決問題．

3 根據(jù)“三角形三邊關(guān)系”求最值

圖7

分析 利用軸對稱作出點N關(guān)于BD的對稱點N′,連接PN′(圖8),則PM-PN=PM-PN′．再連接MN′構(gòu)造出一個三角形,利用“三角形三邊關(guān)系”求解．

解作點N關(guān)于BD的對稱點N′,連接PN′,MN′．在△PMN′中,由“三角形三邊關(guān)系”得PM-PN′

總結(jié)利用“三角形三邊關(guān)系”解決兩點之間距離的最值問題時,一般利用軸對稱先構(gòu)造一個三角形,利用“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”,結(jié)合動點的軌跡,當(dāng)三點共線時取得最大值或最小值．

例5如圖9,在正方形ABCD中,動點E,F分別從點D,C同時出發(fā),以相同速度沿邊DC,CB移動,連接AE和DF交于點P,連接CP,由于點E,F的移動,使得點P也隨之移動．若AD=2,則線段CP的最小值是( )．

圖9

分析 關(guān)鍵是確定點P的軌跡,由已知條件可知點P在運(yùn)動過程中,∠APD=90°不變,所以點P在以AD為直徑的圓上運(yùn)動,構(gòu)造△CPG(圖10),利用三角形三邊的關(guān)系解決問題．

圖10

總結(jié)若動點的運(yùn)動軌跡是圓(或弧),且圓外一定點與圓上一動點位于圓心同側(cè),則當(dāng)圓心、圓上動點和圓外定點三點共線時,該動點到圓外定點的距離最短．

4 結(jié)束語

解決特殊平行四邊形中線段最值問題,不僅涉及動點軌跡的尋找,還需要結(jié)合圖形性質(zhì)去解決問題．特殊平行四邊形本身的相關(guān)知識點就多,因此在求解與之相關(guān)的線段最值問題時,首先要理清題中涉及的特殊圖形的相關(guān)知識點,再結(jié)合已知條件確定最值位置,此外,在最值線段的求解中一般還會用到勾股定理．

指導(dǎo)教師評語本文詳細(xì)闡述了特殊平行四邊形中線段最值問題的求解方法和技巧．從線段最值的特征出發(fā),對最值類型進(jìn)行歸類．通過對具體例題的分析展示了如何分析問題、解決問題,將未知轉(zhuǎn)化為已知．通過模型的歸納為特殊平行四邊形中線段最值問題的解決提供了方向,破解了難點,讓學(xué)習(xí)變得不再困難．