例談導數(shù)與三角函數(shù)的“聯(lián)姻”

摘 要：文章通過實例，分類歸納導數(shù)與三角函數(shù)交匯的各類題型，以此促進教與學.

關鍵詞：三角函數(shù)；導數(shù)；單調(diào)性；零點

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）04-0046-05

新高考已經(jīng)不僅僅局限于基本知識和基本技能的考查，更重視對學生綜合核心素養(yǎng)和關鍵能力的考查，題目會更加靈活多變，富有創(chuàng)新性和綜合性.在題目中融入數(shù)學文化、生活實際、跨學科的知識，將不同的知識融合交匯，那么知識之間的融合必然會更加精彩.

三角函數(shù)有其獨特的性質(zhì)，當導數(shù)與三角函數(shù)“聯(lián)姻”時，三角函數(shù)的周期性、有界性等就被融入進來.對于三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值問題、含參問題或者相關綜合性問題，借助導數(shù)進行研究能更充分地考查數(shù)學思想方法、運算求解能力、綜合應變與解題調(diào)控能力，也能很好地彰顯考生解題方法的靈活性、多樣性，從而備受命題者的青睞，不少高考試題和模擬試題均在三角函數(shù)和導數(shù)交匯處進行命題.下面筆者以近年高考或?？贾信c三角函數(shù)有關的導數(shù)題為例，進行分類歸納與解答，供大家參考.

評注 ①對于零點不可求問題，常見的做法是“設而不求”.通過設出未知數(shù)作為橋梁進行消元或整體代換，這種數(shù)學思想在函數(shù)與導數(shù)問題中有著廣泛應用.②要求證一個函數(shù)“有且只有一個”零點，可先用“函數(shù)零點的存在性定理”證明函數(shù)存在零點，再證明函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，即得函數(shù)零點的唯一性.其依據(jù)為：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上是單調(diào)函數(shù)，并且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上至多有一個零點.如果要證明函數(shù)有多個零點，一般要將分區(qū)間

討論解決，由于涉及三角函數(shù)，在判斷導數(shù)的符號時，注意不同區(qū)間正弦、余弦函數(shù)值的正負［3］.

6 結(jié)束語

由上述例子可看出，導數(shù)與三角函數(shù)交匯的題型眾多，融合函數(shù)、導數(shù)、不等式等重要知識點于一體，函數(shù)的表達式多是三角函數(shù)與ex，lnx相結(jié)合.問題方面主要與函數(shù)的單調(diào)性、零點、極值與最值、恒成立問題、證明函數(shù)不等式等主干內(nèi)容相關，多個知識點綜合在一起.由于三角函數(shù)的特殊性，所以不單考查導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則，還可能考查三角函數(shù)中的恒等變換、周期性、有界性，常見的三角不等式等.綜合度較高，對于考生運用所學知識，尋找合理的解題策略以及推理論證能力有較高的要求.

因此，在復習備考中要注重以下兩點：

①突出主干知識.導數(shù)試題注重對導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算法則、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用等重點內(nèi)容的考查，函數(shù)單調(diào)性是核心性質(zhì)，要深化對函數(shù)單調(diào)性的認識，復習時應注重導數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性中的應用.

②注意總結(jié)，歸納提煉方法.復習時要善于總結(jié)，將涉及三角的函數(shù)導數(shù)試題分門別類，并歸納出常用的解法與注意事項，并通過題目的訓練，舉一反三，觸類旁通.

參考文獻：

［1］ 林國紅.函數(shù)凹凸性視角下的雙變量壓軸題的探究[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2022（05）：17-20.

［2］ 林國紅.一題多解有妙法 深入探究促提升：2022年高考全國乙卷第23題的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（25）：69-72.

［3］ 林國紅.一道導數(shù)?？級狠S題的探究［J］.數(shù)理化解題研究，2023（22）：85-89.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：林國紅（1977-），男，廣東省佛山人，中學高級教師，從事中學數(shù)學教育研究.