新課標(biāo)理念下小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

孫磊

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一要素，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)和前提。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提出，數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中也提出：數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)抽象能力主要包括數(shù)感、量感、符號意識，這些是進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。沒有數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析就無從談起。筆者結(jié)合多年的課堂教學(xué)經(jīng)驗和教育對象的認知特點，從以下幾個方面談一談小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)途徑。

一、尊重認知規(guī)律，從積累感性經(jīng)驗過渡到發(fā)展抽象能力

“乘法分配律”教學(xué)片段：

師：學(xué)校要做校服，每件上衣45元，每條褲子35元，買這樣6套校服，一共要多少元？

生：方法一：（45+35）×6=480（元）;方法二：45×6+35×6=480（元）。

師：五年級有4個班，四年級有6個班，每個班需要24根跳繩，一共需要多少根跳繩？

生：方法一：（4+6）×24=240（根）;方法二：4×24+6×24=240（根）。

師：每張辦公桌300元，每把椅子140元，購買2套辦公桌椅一共要多少錢？

生：方法一：（300+140）×2=880（元）;方法二：300×2+140×2=880（元）。

師：觀察這些等式，你有哪些發(fā)現(xiàn)？在小組內(nèi)互相說一說。

（45+35）×6=45×6+35×6

（4+6）×24=4×24+6×24

（300+140）×2=300×2+140×2

生：兩個數(shù)之和乘一個數(shù)等于兩個數(shù)分別乘這個數(shù)，再把兩次的積加起來。

師：請你試著用點子圖圈一圈或者用實物卡片擺一擺，解釋你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

師：（最后逐步過渡到代數(shù)思維）如果用a、b、c分別代表三個數(shù)，你會用字母表示這個規(guī)律嗎？

生：（a+b）×c=a×c+b×c

乘法分配律的探究需要學(xué)生在大量的數(shù)學(xué)實例中進行不完全歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而在理解的基礎(chǔ)上運用。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展依據(jù)年齡特征要經(jīng)歷直觀行動思維、具體形象思維、抽象邏輯思維等階段。小學(xué)生的思維發(fā)展特點是從具體形象思維到抽象邏輯思維不斷發(fā)展的，必須積累大量的感性經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)抽象能力。教師進行教學(xué)時應(yīng)該運用學(xué)生熟悉的事物將抽象的概念直觀化、生動化，讓學(xué)生在形象思維的基礎(chǔ)上形成抽象思維。

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要注意運用多種方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實、有趣的問題情境，鼓勵學(xué)生大膽猜想驗證，引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作、多種感官配合積累大量的感性實踐經(jīng)驗，真正把課堂還給學(xué)生。在積累了較為充分的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗后，通過回憶感知、操作演示、數(shù)形結(jié)合，逐步引導(dǎo)學(xué)生對比、概括、提煉數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、規(guī)律和方法，從而培養(yǎng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象的能力。

二、堅持“啟發(fā)—發(fā)現(xiàn)”原則，從充分觀察和實踐逐步過渡到歸納總結(jié)

“圓的認識”教學(xué)片段：

師：怎樣才能畫一個圓呢？大家先試著畫一畫，并和組員交流畫圓的方法。（學(xué)生利用各種學(xué)具獨立實踐，并交流心得）

師：請各組派代表演示一下你們是怎么畫圓的，并介紹你們選的學(xué)具是什么，選這些學(xué)具的用途是什么。

生：我們選擇的學(xué)具有圖釘、繩子、鉛筆。用繩子一頭綁住圖釘，一頭綁上鉛筆，把圖釘一端固定，鉛筆一端繞圖釘旋轉(zhuǎn)一周。雖然有些不圓，但是基本畫出圓了。

師：如果圖釘一端不綁死，而是個環(huán)，鉛筆再繞圖釘旋轉(zhuǎn)就更圓了。

生：我們選擇的學(xué)具是尺子和鉛筆。尺子一端有個小孔，我們就將鉛筆尖穿過小孔，按住尺子的另一頭不動，讓鉛筆旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個圓了。

師：看到大家用不同的學(xué)具都畫出了一個圓，老師也想畫一個圓?？纯蠢蠋熡靡恢Х酃P在黑板上畫一個圓。（教師利用手指和粉筆畫出一個圓）

師：還有選擇不同學(xué)具畫圓的嗎？

生：我們選擇用圓規(guī)畫圓，找一點固定圓規(guī)的一只腳，捏著圓規(guī)的上端旋轉(zhuǎn)一周，圓就畫好了。

師：這么多種畫圓的方法，老師選了兩種。我們一起來看看。（課件播放圖釘、繩子、鉛筆畫圓和圓規(guī)畫圓的動畫視頻）

師：觀察思考不同的畫圓方法有什么相同之處。

生：都有固定不動的點和固定的長度。

師：都是先定點，再定長，最后旋轉(zhuǎn)一周。定點就是圓心，定長就是半徑。

“啟發(fā)—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)要堅持培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，鼓勵學(xué)生獨立展開實踐探索活動，并組織學(xué)生嘗試將實踐探索后的發(fā)現(xiàn)做總結(jié)。上述案例中，教師要求學(xué)生用各種方式畫圓，但不是停留在方法技能指導(dǎo)的層次，而是啟發(fā)學(xué)生觀察并實踐，將“固定的一點”和圓心、“繩長”和半徑巧妙聯(lián)系起來，打通了圓的特征和畫圓方法之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立技能目標(biāo)背后的意義支撐，從而實現(xiàn)了圓從生活走向數(shù)學(xué)的最終抽象。

教師不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程。課堂教學(xué)中，學(xué)生通過觀察、思考進而實踐探索，新的知識才能從已有的知識經(jīng)驗中生長出來，這樣的過程對學(xué)生而言有著深刻的印象和積極的意義。原有的數(shù)學(xué)知識概念是學(xué)生思維的載體，不斷生成的知識概念正是數(shù)學(xué)抽象思維加工的結(jié)果。按照維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，要相信學(xué)生的潛在發(fā)展水平，學(xué)生墊一點腳尖能摘到的果子，教師一定不要替代。所以課堂教學(xué)進程要慢下來，讓學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)，最終建構(gòu)屬于自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。

三、重視直觀演示，從教師的介入演示過渡到學(xué)生的自發(fā)表達

“相遇問題”教學(xué)片段：

師：淘氣和笑笑兩家相距520米，兩人同時從家里出發(fā)，相向而行。淘氣每分鐘走60米，笑笑每分鐘走70米。幾分鐘后兩個人相遇？相遇時兩人分別走了多少米？

師：我們先來演示一下。同桌兩人模擬兩個人的行走過程，看看你能發(fā)現(xiàn)什么。和同伴交流一下。（教師巡視指導(dǎo)）

生：兩人是同時出發(fā)、面對面行走。

生：淘氣走得慢，笑笑走得快，淘氣和笑笑一共走了520米，相遇時笑笑走的路程多。

師：像這樣兩人同時相對運動的數(shù)學(xué)問題，叫作相遇問題。請兩位同學(xué)到講臺上表演一下淘氣和笑笑是怎樣出發(fā)和相遇的。誰愿意試一試？

（學(xué)生再次模擬演示相遇過程，體會到相遇時兩人所用的時間相等以及相遇點的位置靠近速度慢的一邊）

師：大家伸出雙手對他們的精彩表演表示感謝！鼓掌時也要掌心相對，兩只手同時出發(fā)最后相遇，這樣才能發(fā)出響聲！

師：幾分鐘后相遇？解決這個問題畫線段圖是個不錯的辦法，從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？（課件逐步出示線段圖幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。線段圖動畫演示兩人的運動過程，在相遇點標(biāo)上小旗，兩個人的運動過程都被劃分為4個小格，通過逐步涂色來演示兩個人每分鐘共同走過的路程）

生：淘氣走的路程+笑笑走的路程=520（米）。

生：兩人每分鐘一共走的路程是：60+70=130（米）。

師：你能用方程來解決這道題嗎？在練習(xí)本上試一試。

以前學(xué)生只研究過單一物體單一方向的行程問題，本節(jié)課學(xué)習(xí)的是兩個物體且方向不同的行程問題。學(xué)生對相遇問題的理解有一定難度。教師只有準(zhǔn)確把脈學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，設(shè)計直觀演示活動，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到操作過程中，學(xué)生才能夠理解相遇問題的本質(zhì)特征和數(shù)量關(guān)系。

康德在《純粹理性批判》中指出，直觀概念是我們認識的基礎(chǔ)，新的概念都是從直觀概念中發(fā)展而來的。直觀演示對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)具有促進作用，因為抽象的規(guī)律或空間想象，往往需要在頭腦中建立一個數(shù)學(xué)模型。一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生僅僅通過數(shù)學(xué)信息通常不能抽象出數(shù)學(xué)模型。課堂上，教師通常選擇利用教具或多媒體進行直觀演示，如在小學(xué)低段使用數(shù)字卡片、幾何圖形計數(shù)器、動物貼紙，在小學(xué)的高段采用標(biāo)準(zhǔn)化的儀器、實物進行演示。在使用教具或多媒體時，一定要注意直觀演示適時、適量、適度，力求使直觀演示起到積極的作用。直觀演示容易吸引學(xué)生，而發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律和本質(zhì)特征，需要學(xué)生進行細致的觀察和縝密的思考。教師教學(xué)要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。教師能用實物演示的，就盡量不要用動畫;能用動態(tài)演示的就盡量不用靜態(tài);學(xué)生能主動演示的，教師就盡量不要代替。教師要大膽鼓勵學(xué)生自發(fā)演示表達，強調(diào)直觀演示活動要緊緊抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。情境是數(shù)學(xué)問題的外在依托。教師在課堂教學(xué)中要時刻牽著數(shù)學(xué)思維發(fā)展這條主線，讓直觀演示突破情境，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)涵。

四、采取變式教學(xué)，從發(fā)現(xiàn)規(guī)律過渡到舉一反三

“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)片段：

師：剛才同學(xué)們分別用量、拼、折等方法驗證了“三角形的內(nèi)角和是180度”。請大家思考以下數(shù)學(xué)問題。

1.已知等腰三角形的頂角是110°，求底角的度數(shù)。

2.已知直角三角形一個銳角的是65°，求另一銳角度數(shù)。

3.求等邊三角形中每個角的度數(shù)。

生：可以應(yīng)用三角形內(nèi)角和是180°來解決這些問題。（過程略）

師：兩個完全相同的三角尺拼成一個大三角形后，新三角形的內(nèi)角和是多少呢？為什么？

生：也是180°，雖然兩個180°加起來是360°，但是有兩個直角拼成了一個平角，這個平角不能算大三角形的角，所以新三角形的內(nèi)角和仍然是180°。

師：多個三角形可以拼成四邊形、五邊形、六邊形……它們的內(nèi)角和又是多少呢？根據(jù)今天的學(xué)習(xí)，你有哪些啟發(fā)？

在研究了三角形內(nèi)角和后，教師設(shè)計了一系列變式問題逐步拓展學(xué)生思維的深度。特別是把兩個相同的三角尺拼成大一個大三角形求其內(nèi)角和這個變式問題，學(xué)生憑直覺認為一個三角尺內(nèi)角和是180°，兩個拼起來內(nèi)角和理應(yīng)是360°，在實際操作中發(fā)現(xiàn)兩個直角拼到大三角形的邊上了，內(nèi)角和仍然是360°-180°=180°。最后依次呈現(xiàn)三角形拼成各種多邊形，引發(fā)學(xué)生探究多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。教學(xué)重視發(fā)現(xiàn)規(guī)律，更重視運用規(guī)律解決新問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

小學(xué)階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成的過程，在實踐與體驗中感悟數(shù)學(xué)理性的邏輯之美，發(fā)現(xiàn)生活表象背后的數(shù)學(xué)規(guī)律。這個學(xué)習(xí)過程并非數(shù)學(xué)家所描述的數(shù)學(xué)思維過程，而是學(xué)生自己理解自主建構(gòu)的思維過程。課堂中，教師普遍重視知識的傳遞和技能的訓(xùn)練，往往忽視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。教師采取變式教學(xué)，學(xué)生采取自主探究式的學(xué)習(xí)對于知識概念的自主建構(gòu)意義重大，相當(dāng)于教師給學(xué)生搭建探究學(xué)習(xí)的腳手架，培養(yǎng)其自學(xué)能力、自悟能力。學(xué)生完整經(jīng)歷“問題猜想—問題驗證—得出結(jié)論”這樣像數(shù)學(xué)家一樣的思考過程，也是從普遍現(xiàn)象到提煉出一般規(guī)律的思維發(fā)展過程。

史寧中教授說：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，是“悟”出來的，而不是“教”出來的，因為數(shù)學(xué)結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的。會“悟”、會“看”的底蘊是把握數(shù)學(xué)基本思想。基本思想是數(shù)學(xué)的精髓。在教學(xué)活動中，基本思想將是主線，但是數(shù)學(xué)思想不像數(shù)學(xué)知識一樣被明明白白地寫在教材里，而是隱含在教材中的，需要教師挖掘、提煉出來，并貫穿到教學(xué)過程中。抽象是基本的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)抽象方法是數(shù)學(xué)化的一般方法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必定要用到的數(shù)學(xué)方法。所以，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟抽象思想，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。

（作者單位：西安市蓮湖區(qū)遠東實驗小學(xué)）

編輯：常超波