雙向車道：整式乘法與因式分解
——蘇科版數(shù)學教材七（下）第九章“整式乘法與因式分解”整體解讀

文／鄭勝輝

經(jīng)歷前面知識的學習，同學們理解并掌握了有理數(shù)、代數(shù)式以及冪的相關(guān)知識。在此基礎(chǔ)上，我們在本章進一步學習了整式乘法與因式分解，這些內(nèi)容都是代數(shù)學習的“底色”，也是今后學習更為復雜的內(nèi)容和物理、化學等其他學科的基礎(chǔ)。

一、統(tǒng)攬全局，系統(tǒng)思考

本章內(nèi)容為整式乘法與因式分解。因單項式和多項式統(tǒng)稱整式，故整式乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式和多項式乘多項式。完全平方公式與平方差公式只是多項式間乘法的特殊情形。同學們在小學階段學過整數(shù)乘法與分解質(zhì)因數(shù)，比如，2×3×7=42 就是整數(shù)乘法，反過來，42=2×3×7 就是分解質(zhì)因數(shù)。整數(shù)乘法和分解質(zhì)因數(shù)是一個互逆過程。類比過來，整式乘法是把幾個因式積的形式寫成和的形式（單項式乘單項式除外），因式分解是把一個多項式寫成幾個整式的積的形式。整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形，正如雙向車道一般，如圖1。

圖1

二、端本正源，數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是將“入微之數(shù)”和“直觀之形”相結(jié)合，建立對應(yīng)關(guān)系并相互轉(zhuǎn)化來理解數(shù)學的一種數(shù)學思想。在學習整式乘法與因式分解時，我們可借助圖形直觀地闡明數(shù)量關(guān)系，也就是“以形助數(shù)”。

例如，將邊長分別為a、b的兩個正方形與長為a、寬為b的兩個全等長方形拼成一個邊長為a+b的大正方形。從不同角度表示大正方形的面積，可得完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖2）。你會用類似方法驗證另一個完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2嗎？

圖2

同樣，我們也可以用剪拼圖形的方式直觀地解釋平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2（如圖3），你還有其他不同的拼圖方案解釋平方差公式嗎？試試看！

圖3

值得一提的是，圖形中的字母a、b均表示線段，所以代替的是正數(shù)，但公式中的字母a、b可以代替正數(shù)、負數(shù)、單項式或多項式。

三、明辨方向，運用自如

在整式乘法與因式分解的雙向變形過程中，同學們常常會出現(xiàn)一些錯誤。如沒有理解整式乘法與因式分解的變形“方向”；對于因式分解，沒有先提取公因式；因式分解的結(jié)果不“徹底”等。

關(guān)于因式分解，我們不妨用這個口訣：一“提（公因式）”，二“用（公式）”，三“十字（相乘）”，四“分組（分解）”，五“檢查（是否分解徹底）”。它可以幫你成功“繞坑”。

俗話說：干一行，行一行，一行行，行行行……這其中的奧秘就是遷移。整式乘法與因式分解本質(zhì)上是一種互逆關(guān)系，是“倒過來想”的一種思維方式。數(shù)學中具有互逆關(guān)系的還有我們熟悉的加法與減法、乘法與除法，和將來我們要學習的乘方與開方、原命題與逆命題……這種“倒過來想”的思維方式不僅存在于數(shù)學中，在生活及其他學科中，也都是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的有效途徑。