Laplace方程上半平面邊值問題中的動態(tài)采樣*

方黃， 李松華， 彭宏杰

湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 湖南 岳陽 414006

當(dāng)求解一些特殊區(qū)域上的Laplace方程邊值問題時，其解通常可表示為積分算子形式，如二維空間上半平面的Laplace方程邊值問題

但在實際應(yīng)用中，邊值的獲得往往需要通過儀器在有限區(qū)域內(nèi)測量.針對熱傳導(dǎo)方程初值問題，Lu et al.（2009）首次提出的動態(tài)采樣問題，即在研究如下邊值問題：

來恢復(fù)邊值信號f(x)，但在采樣數(shù)據(jù)量不足的情況下，則存在信號f(x)不能實現(xiàn)穩(wěn)定恢復(fù).

頻帶有限函數(shù)空間也稱為Paley-Wiener空間：

在采樣數(shù)據(jù)量不足的情況下，Aldroubi等提出利用Remez-Turan 不等式避開?的采樣盲點，成功解決了采樣密度不足導(dǎo)致的不能穩(wěn)定重構(gòu)的問題，即?A，B＞0，有以下不等式成立

其中L＞0 ，采樣集Λ ?R.

近年來，許多學(xué)者對平移不變（shift-invariant）子空間中的傳統(tǒng)采樣和重構(gòu)進(jìn)行了大量的研究，Liu（1996）、Sun et al.（2000）、 Aldroubi et al.（2001）、Chen et al.（2005）、Liu et al.（2007）和Xian et al.（2014）取得了十分豐富的成果.Sun（2007）和Nashed et al.（2010）利用Frame 理論研究了更廣的非頻譜有限信號空間中非均勻采樣與信號的重構(gòu)算法.

本文考慮頻帶有限函數(shù)空間中的信號，研究采樣率不足的情況下，首先利用Laplace方程上半平面邊值問題中的卷積核= e-y||ξ的性質(zhì)，再基于范德蒙德矩陣的特征值分析，得出采樣不等式（2）的下界.

1 Sub-Nyquist動態(tài)采樣

定義

引入采樣擴(kuò)散矩陣

其中

令

由上面分解可知：如果可以恢復(fù)f(ξ)，那么可以恢復(fù)fp.

證明利用泊松求和公式，容易證明引理1.

注意到當(dāng)?∈Φ，m≥2時，有

若采樣率不夠，一般情況下無法從式（3）上進(jìn)行穩(wěn)定重構(gòu)，故需避開一些采樣點（即盲點）.假設(shè)存在使得

成立，則有

利用Ⅴandermonde矩陣來獲得式（5）中矩陣Bm(ξ)最小特征值λ(m)min(ξ)的下估計.

引理2令v0，v1，…，vm-1是m個不同的非0實數(shù).設(shè)v=(v0，…，vm-1).對k∈N，定義函數(shù)Ψk：R →R，

對j= 0，…，m- 1，定義

令

對任意x∈Cm，有

利用Ⅴandermonde矩陣的性質(zhì)及Yu et al.（1997）對m×m階矩陣的最小奇異值的估計，容易得到結(jié)論.函數(shù)ΨN在()

0，+ ∞上遞增，對y≠1，y＞0有，

推論1在引理2中，進(jìn)一步假設(shè)0 ＜v≤vj≤1，m≥2.令

則對任意x∈Cm，有

定理1（Aldroubi et al.，2021） 設(shè)?∈Φ.定義

任意x∈Cm，有

則有

證明利用Lagrange微分中值定理容易得出.

針對問題（1）中的核函數(shù)， 我們有以下更具體的結(jié)論：

2 動態(tài)采樣結(jié)果的證明

根據(jù)Parseval 等式可知，利用Remez-Turan 不等式，只要限定在一定的函數(shù)空間，引理3 中的結(jié)果就可導(dǎo)出采樣不等式下界的估計.為此，我們首先研究PWc的一些空間中的Remez-Turan性質(zhì).

3 結(jié) 語

本文對Laplace 方程上半平面邊值問題中的動態(tài)采樣進(jìn)行研究.該方法從周期性非均勻的Sub-Nyquist等間隔動態(tài)采樣入手，引入擴(kuò)散矩陣并利用Remez-Turan性質(zhì)避開盲點（采樣不穩(wěn)定點），從而得出動態(tài)采樣的穩(wěn)定性結(jié)果.