仿射對稱空間SU(1，2)/SO(1，2)上的Plancherel定理*

金四海， 范興亞

新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017

李群表示理論是近現(xiàn)代分析學(xué)的主要研究領(lǐng)域之一，隸屬于抽象調(diào)和分析范疇，是Fourier 級數(shù)和Fourier變換理論的深遠(yuǎn)推廣，此方面的研究成果極大地推動了數(shù)學(xué)物理等相關(guān)學(xué)科的發(fā)展.悉知，酉表示中不可約表示的分解是李群表示理論研究的主要問題之一，目的是給出抽象的Plancherel公式，進(jìn)而構(gòu)造纏結(jié)算子來解決相關(guān)實(shí)際問題.在此分解中，離散譜的分解是一種極端的情況，此情況可以利用分析的工具來處理.基于此想法，本文在Hermitian型仿射對稱空間上考慮其離散譜的具體構(gòu)造.從幾何結(jié)構(gòu)方面來講，Hermitian型仿射對稱空間是偽黎曼對稱空間，此空間隸屬于半單對稱空間，據(jù)此賦予了Hermite結(jié)構(gòu)的齊性空間.20 世紀(jì)80 年代初，F(xiàn)lensted-Jensen（1980）系統(tǒng)地研究了半單對稱空間上的離散序列表示，并得到離散序列表示存在的必要條件.Flensted-Jensen 的這一工作引起了許多表示論專家的關(guān)注，究其原因是此理論極大地繼承并發(fā)展了Harish-Chandra的經(jīng)典離散序列表示（Harish-Chandra，1965）.

近年來，Hermitian型仿射對稱空間上的離散序列表示受到了國內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注.該領(lǐng)域主要關(guān)心的是Gelfand-Gindikin 問題（Gelfand et al.，1977）.最近，Delorme et al.（2021）研究了扭曲離散序列表示，此離散序列表示旨在給出Gelfand-Gindikin 問題的回答，主要的方法是通過Bersentan 態(tài)射來構(gòu)造Plancherel公式.此方法簡化了離散序列表示與主序列表示的復(fù)雜計算，主要判別工具是限制球根系是否為零向量空間，進(jìn)而給出抽象的Plancherel公式.從理論方面來講，此方法值得推廣（韓威等，2023）.但是在Hermite情形下，Delorme et al.（2021）的方法不能具體的構(gòu)造扭曲離散序列表示，究其原因是限制球根系對應(yīng)的極大交換子空間是一個零向量空間.至于0-扭曲離散序列表示，可以通過'Olafsson et al.（1988）的纏結(jié)算子來構(gòu)造此序列.

根據(jù)Flensted-Jensen（1980）提出的必要條件，容易判定Hermitian 對稱空間SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上存在離散序列表示.但沒有給出具體的形式，因此有必要去研究它的具體構(gòu)造.基于'Olafsson et al.（1988）的思想，本文具體地構(gòu)造纏結(jié)算子，進(jìn)而展開研究SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上的離散序列表示，并在限制球根系上，找到了判別離散序列表示存在的一個新的等價條件.在Plancherel 公式中Plancherel 測度的計算是一個核心問題.在Duistermaat et al.（1979）的基礎(chǔ)上，本文精確地計算了此具體情形下的Plancherel 測度，并得到了對應(yīng)的Plancherel公式.

1 符號準(zhǔn)備及主要引理

設(shè)SU( 1，2 )是SL( 3，C )的子群，此群保不定內(nèi)積[z，z]= |z1|2- |z2|2- |z3|2，其中z=(z1，z2，z3) ∈C3.群SU( 1，2 )對應(yīng)的李代數(shù)為su( 1，2 ).定義su( 1，2 )上的Cartan 對合為θ(X) = -X*，其中X*表示X的共軛轉(zhuǎn)置.在此對合意義下， su( 1，2 )有Cartan 分解k⊕p， 其中k ={X∈su( 1，2) |θ(X)=X}， p ={X∈su( 1，2) |θ(X)= -X}.此外，在su( 1，2 )上引進(jìn)另外一種對合τ(X) =X?，其中X?為X的共軛，則有相應(yīng)的τ分解h⊕q，其中h ={X∈su( 1，2) |τ(X)=X}，q ={X∈su( 1，2) |τ(X)= -X}.易證θτ=τθ，結(jié)合此對合交換關(guān)系，得到su( 1，2 )關(guān)于θτ的正交分解

易證g+是su( 1，2 )的子空間，且對su( 1，2 )上的李括積運(yùn)算封閉，則g+是su( 1，2 )的李子代數(shù).設(shè)ap∩q是p ∩q的極大交換子空間，記作

注意，此處a的取法還有另外一種形式

此取法在下文計算根系時，所得根系與上面對應(yīng)的結(jié)果一致，故此全文僅考慮第一種情形.

利用a在su( 1，2 )上的伴隨作用，可得根系±2α與±α所對應(yīng)的特征向量分別如下

令a*是a的對偶空間，定義SU( 1，2 )在a下的根系為

其中α∈a*且α(X) =t，X∈a.Σ(su(1，2)，a)的正根系為Σ+(su(1，2)，a) ={2α，α}.由根系的反射可得Weyl群，此群同構(gòu)于對稱群S2.

定義1設(shè)R是由{2α，α} 生成的半群，且R ?a*/{0}.設(shè)S={α}?R，定義壓縮錐為

注 1設(shè)aE={X∈a|?γ∈R，γ(X) = 0 }，利用定義1，可知aE= a-∩(-a-)≡{0}.值得一提的是，aE≡{0}為仿射對稱空間SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上存在離散序列表示的必要條件，這是Harish-Chandra 定理（離散序列表示存在性定理）的推廣.事實(shí)上，設(shè)a?= a + aE= a.利用條件aE={0}，可知商空間a?/a沒有非平凡對偶，從而SU( 1，2 )/SO( 1，2 )中存在離散序列表示.這種離散序列表示稱為0-扭曲離散序列表示（Kr?tz et al.，2020），此0-扭曲離散序列表示恰好對應(yīng)的是SU( 1，2 )/SO( 1，2 )中的離散序列表示，具體見文獻(xiàn)（Kr?tz et al.，2020）.結(jié)合Flensted-Jensen（1980）的定理1.1，只需驗(yàn)證條件：

此條件可根據(jù)SU( 1，2 )的極大環(huán)面的維數(shù)證實(shí)，從而SU( 1，2 )/SO( 1，2 )滿足Flensted-Jensen條件.

引理1g+的根系為Σ( g+，a )={±α}，其對應(yīng)的Weyl群同構(gòu)于對稱群S2.

證明由k，h，p和q的定義，可知

于是

的常數(shù)倍.利用上式，結(jié)合g+的定義，可知Σ( g+，a )={±α}.g+的Weyl群由根系Σ( g+，a )={±α}的反射組成，此群同構(gòu)于對稱群S2，引理證畢.

注2利用引理1，得到Σ( g+，a )的素根系為I={α}.定義aI?{X∈a |α(X) = 0 }，易證aI={0}，此條件暗示了在限制根系意義下，SU( 1，2 )/SO( 1，2 )上不存在非零扭曲離散序列表示.

2 主要結(jié)果

設(shè)n = n(Σ+(su( 1，2 )，a ))，定義P=LN為SU( 1，2 )中τθ不變的極小拋物子群，其中N= exp (n)，L是a在SU( 1，2 )上的中心化子，即

設(shè)L=MA，其中M是τ穩(wěn)定子群，

定義2子群P誘導(dǎo)SU( 1，2 )的主序列表示定義為：

其中ρ為正根和的一半，σ是M的離散序列表示，λ∈ia*.

現(xiàn)具體構(gòu)造M的離散序列表示，其記號為(σ，Vσ).

引理2M/(M∩H) ?SU( 1,1) /SO( 1,1) ，其中H= SO( 1，2).

證明由于M是L的τ穩(wěn)定子群，則M?SU( 1，1).設(shè)

從而

引理證畢.

證明結(jié)合文獻(xiàn)（Duistermaat et al.，1979），可知ia*上的Plancherel測度為

設(shè)ρ為Σ(g，a )的半根系，其中

利用正特征向量的重數(shù)，得到

從而

于是

現(xiàn)將c(λ)代入式（1），此命題得證.

定理1（Plancherel公式） 仿射對稱空間Z= SU( 1, 2 )/SO( 1, 2 )上的Plancherel公式為

其中σ±n和dλ如上所述，F(xiàn)2r+4-|ν|見下文.

3 Plancherel公式的證明

首先構(gòu)造定理1 中的離散序列表示部分.本部分的構(gòu)造需要一些準(zhǔn)備和技巧.提醒讀者的是，如下所定義的符號和第2節(jié)定義的單位圓盤不同，因此空間的定義域和指標(biāo)也不盡相同.

其中dz是Lebesgue測度，ν∈R.如果|ν| ＞2，|ν|∈Z+，定義Hilbert空間

特別地，如果 |ν|= 3，那么H3(B)是經(jīng)典的Bergman空間.定義群SU( 1, 2 )在Hν(B)上的酉表示為

設(shè)(λ1，λ2)為2l的拆分，即(2l，0)，(2l- 1，1)，…，(l，l)共有l(wèi)+ 1種取法.定義兩個集合Λ+和Λ-滿足

為了行文方便，分別記Λ+以及Λ-中的元素為λi1，λi2，其中i1，i2∈{1，2}且i1≠i2.

引理6（鐘家慶，1989） 設(shè)l＞0，z1，z2∈C，則

其中

在引理6 中，函數(shù)S(λ1，λ2)(z1，z2)稱為Schur 函數(shù)，具體實(shí)例見文獻(xiàn)（鐘家慶，1989）.定義Laplace-Beltrami 算子為

且

對于任意的z∈B，通過Laplace方程的正則化理論，我們可定義Hm(B)上的光滑閉子空間

這里

令m＞2且m∈2Z+，定義在B上的分布向量為

易證

結(jié)合表示π（ν見式（2）），可知v0(z)是一個SO( 1, 2 )-不變的分布向量.

命題3設(shè)Ap= exp ( ap)，對于任意的at∈Ap，有

證明設(shè)t∈R，且

利用式（2）～（3），可知

引理7對于任意g∈SU( 1, 2 )，有Cartan-Berger分解g=kah，其中k∈K，a∈Ap，h∈SO( 1, 2 ).

設(shè)x0=eSO( 1, 2 ).根據(jù)引理6、文獻(xiàn)（'Olafsson et al.，1988），以及SU( 1，2 )/SO( 1，2 )=·x0， 有

其中dk是K上的規(guī)范Haar測度，且

定理2 設(shè)m＞2，則

證明 利用式（4），有

此外，對于Re(α) ＞-1且Re(β-α) ＞0，定義Beta函數(shù)

取α= 1，β=m- 1，有

利用Gamma函數(shù)的性質(zhì)，可知m＞2，定理證畢.

由引理3，定理2，可得以下結(jié)果：

其中x∈SU( 1，2 )/SO( 1，2 ).根據(jù)文獻(xiàn)（'Olafsson et al.，1988），容易得到空間

此空間關(guān)于SU( )1，2 的表示是不可約的.于是，對于k∈K，at∈Ap，存在一個非零復(fù)數(shù)c使得

其中χ為K的不可約特征標(biāo).

現(xiàn)只需證明Im1 ∈L2(SU( 1，2 )/SO( 1，2 )).為了證明這一事實(shí)，下文需要用到Bergmann 空間的一些結(jié)構(gòu)，即循環(huán)向量的技術(shù)來表明此事實(shí).悉知，常值函數(shù)1 在表示πm意義下是Hm(B)的循環(huán)向量，即對于任意的g∈SU( 1，2 )，πm(g)1 線性張成的空間在Hm(B)中稠密.對于1 ∈Hm(B)，利用式（3）、引理4 和定理3，可知m＞2 且m∈2Z+，即Fm的指標(biāo)與Hm(B)的指標(biāo)一致，可知Fm?Hm(B).因?yàn)樘卣鳂?biāo)函數(shù)χ(k)是一個類函數(shù)，從而Im1 ∈L2(SU( 1，2 )/SO( 1，2 ))，定理證畢.

歸結(jié)起來，由引理6以及定理3，定理1得證.