Hilfer分數(shù)階脈沖隨機發(fā)展方程的平均原理*

呂婷， 楊敏， 王其如

1.太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024

2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510275

在實際生活中，系統(tǒng)常受外力影響或內(nèi)部產(chǎn)生的“噪聲”干擾，所以，隨機微分方程可以更加準確的刻畫系統(tǒng)的變化特征，因而研究隨機微分方程是很有必要的且存在實際的應(yīng)用價值.另外，現(xiàn)實生活中的許多現(xiàn)象都有長期后效作用，Mandelbrot et al.（1968）研究表明分數(shù)布朗運動可以較好的描述長期后效現(xiàn)象，這推動了更多學(xué)者們對分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程的廣泛關(guān)注.分數(shù)布朗運動（fBm）最早是由Kolmogorov（1940）提出的一個依賴于Hurst參數(shù)H∈(0，1)的高斯隨機過程，當H= 1/2 時，分數(shù)布朗運動簡化為標準布朗運動；當H≠1/2 時，分數(shù)布朗運動既不是半鞅也不是Markov 過程；當H＞1/2 時，分數(shù)布朗運動具有自相似性、長時記憶性等特征，這些性質(zhì)使分數(shù)布朗運動可以引入到數(shù)理金融（Bollerslev et al.，1996）、網(wǎng)絡(luò)通信（Leland et al.，1994）、生物醫(yī)學(xué)工程（de la Fuente et al.，2006；Boudrahem et al.，2009）等隨機模型中作為隨機噪聲項，得以更好的描述系統(tǒng)特征和保證模型性能.除此之外，具有脈沖干擾的微分方程能準確的呈現(xiàn)出系統(tǒng)的瞬時變化規(guī)律，因此，脈沖隨機微分方程吸引了很多學(xué)者的關(guān)注，詳見文獻（Sakthivel et al.，2013；Ren et al.，2014；Liu et al.，2020）.

另一方面，平均原理作為一種高效、準確的近似分析方法，在非線性動力系統(tǒng)的研究中發(fā)揮著重要作用.它的主要思想是對原始動力系統(tǒng)進行簡化得到一個平均系統(tǒng)，并且這個簡化后的平均系統(tǒng)可以反映原系統(tǒng)的動力學(xué)行為.目前為止，隨機微分系統(tǒng)的平均原理理論已經(jīng)獲得了極大的發(fā)展.例如，Cerrai et al.（2009）研究了一類隨機反應(yīng)擴散模型的平均原理；Ma et al.（2019）研究了Lévy噪聲驅(qū)動的脈沖隨機微分方程的周期平均原理；Cui et al.（2020）在非Lipschitz系數(shù)條件下，考慮了脈沖中立型隨機微分方程的平均原理；Ahmed et al.（2021）探索出含泊松跳和時滯的Hilfer 分數(shù)階隨機微分方程的平均原理；Liu et al.（2022a）在非Lipschitz系數(shù)條件和無周期條件下，考慮了由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的脈沖隨機微分方程的平均原理.

但現(xiàn)有研究存在兩方面不足：一是大多數(shù)平均原理建立在有限維空間上，很少考慮空間是無窮維的情形（Xu et al.，2020；Liu et al.，2022b），二是Caputo 分數(shù)階脈沖隨機微分方程已有相應(yīng)的平均原理研究（Wang et al.，2020；Xu et al.，2011；劉健康等，2023），但Hilfer分數(shù)階脈沖隨機發(fā)展方程的平均原理尚未見到研究結(jié)果.基于上述討論，本文在Hilbert空間上考慮如下Hilfer分數(shù)階脈沖隨機發(fā)展方程的平均原理

其中Dγ，β是Hilfer 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，x(·)取值于實可分Hilbert 空間X.閉線性算子A：D(A) ?X→X是強連續(xù)算子半群{S(t)}t≥0的無窮小生成元.是定義在實可分Hilbert空間Y上的分數(shù)布朗運動，其中Hurst 參數(shù)指從[-λ，0 ]到X上所有具有càdlàg 路徑的連續(xù)函數(shù)φ構(gòu)成的空間，其范數(shù)是PC-值的隨機過程.和分別表示x(t)在t=tk時的左極限和右極限，Ik表示x(t)在t=tk時刻的脈沖擾動，脈沖時間序列{tk}滿足0 ＜t1＜… ＜tm＜tm+1=b.系數(shù)函數(shù)f：J×PC→X，h：J×PC→.

1 預(yù)備知識

假設(shè)(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)是一個帶流的完備概率空間，其中{Ft}t≥0滿足通常條件，即{Ft}t≥0是右連續(xù)的且F0包含所有零測集.{BH(t)}t∈R是帶有Hurst 參數(shù)的一維分數(shù)布朗運動，即BH(t)是一個中心高斯過程且具有以下協(xié)方差函數(shù)

記X和Y是兩個實可分Hilbert 空間，L(Y，X)是從Y映射到X上所有有界線性算子構(gòu)成的空間.Q∈L(Y)是一個非負自伴算子，滿足Qen=λnen，有限跡其中{λn}≥0，(n= 1，2，…)是一個非負有界實數(shù)序列，{en}(n= 1，2，…)是空間Y上一組標準正交基.{BHn(t)}n∈N+是獨立于完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)的一維標準分數(shù)布朗運動序列，現(xiàn)在我們在空間Y上定義無窮維分數(shù)布朗運動如下：

定義1（Yang et al.，2017a） 函數(shù)f：[a，+ ∞) →R 是一個Lebesgue 可積函數(shù)，對任意β∈(0，1)，函數(shù)f的β階Riemann-Liouville積分定義為

其中Γ(·)是Gamma函數(shù).

定義2（Yang et al.，2017a） 函數(shù)f：[a，+ ∞) →R的β階Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n∈N+.

定義3（Yang et al.，2017a） 函數(shù)f：[a，+ ∞) →R 且f∈Cn[a，+ ∞)，f的β階Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中Cn[a，+ ∞)表示在區(qū)間[a，+ ∞)上n次連續(xù)可微的函數(shù)構(gòu)成的空間，n∈N+.

定義4（Sheng et al.，2022） 函數(shù)f：[a，+ ∞) →R的Hilfer分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

注1（Sheng et al.，2022） 當γ= 0，0 ＜β＜1，a= 0，則Hilfer 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)經(jīng)典的Riemann-Liou‐ville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

當γ= 1，0 ＜β＜1，a= 0，則Hilfer分數(shù)階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)經(jīng)典的Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)

引理2方程（1）等價于如下的積分方程

證明可參考文獻（Yang et al.，2017a；Ahmed et al.，2018）.

為了給出方程（1）的適度解，引入以下Wright-type函數(shù)

引理3（Yang et al.，2017a） 若積分等式（2）成立，其等價于如下的等式：

定義5若一個PC-值的隨機過程x：[-λ，b]→X滿足以下條件，則稱x(t)是方程（1）的適度解.

引理4（Yang et al.，2017b） 在條件（H0）下，對任意t＞0，{Pβ(t)}t＞0和{Sγ，β(t)}t＞0是線性算子，且對任意x∈X有

定義6（Liu，2007） 設(shè)Xn(n≥1)，X是同一概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機變量，若E()＜+∞，且

成立，則稱Xn均方收斂于X.

2 平均原理

接下來，我們建立Hilfer分數(shù)階脈沖隨機發(fā)展方程的平均原理.

首先，定義方程（1）的擾動形式為

然后根據(jù)方程（1）適度解的定義，可以得到方程（5）的適度解為：

其中ε∈(0，ε0]是一個很小的正參數(shù)，ε0是一個固定的常數(shù).

則方程（5）對應(yīng)如下無脈沖項平均系統(tǒng)：

參考文獻（Gu et al.，2015）中引理2.12的證明，可以得到方程（7）的適度解zε(t)為

定理1假設(shè)條件（H0）～（H3）成立，則當ε趨于零時，方程（5）的適度解xε(t)均方收斂于平均方程（7）的適度解zε(t).即任意給定一個很小的數(shù)δ＞0，存在M0＞0，α∈(0，1) 以及ε1∈(0，ε0]，使得當ε∈(0，ε1]時有

證明由式（6）和式（8），有

從而對任意ν∈(0，b]，利用基本不等式得到

對于第1項，由引理4可得

利用假設(shè)條件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由假設(shè)條件（H3）得到

對于第2項，由引理4可以推出

由引理1、假設(shè)條件（H1）和Cauchy-Schwarz不等式得到

由引理1、假設(shè)條件（H1）和假設(shè)條件（H3）得到

對于第3項，由基本不等式得到

由引理4、假設(shè)條件（H2）和Cauchy-Schwarz不等式得到

將估計式（11）～（19）代入式（10），則對任意ν∈(0，b]，得到不等式

因此，

即有

即存在M0＞0和α∈(0，1)，使得對所有t∈(0，M0ε-α]?(0，b]滿足

其中常數(shù)

所以對任意給定的數(shù)δ＞0，存在ε1∈(0，ε0]，使得對任意ε∈(0，ε1]和t∈[-λ，M0ε-α]? [-λ，b]，有

定理1證畢.

注2 現(xiàn)有文獻考慮的是有限維空間上含泊松跳以及Wiener 過程的無脈沖擾動的Hilfer 分數(shù)階隨機微分方程的平均原理（Ahmed et al.，2021；Luo et al.，2021），與之相比，本文考慮了分數(shù)布朗運動驅(qū)動的含脈沖項的Hilfer 分數(shù)階隨機微分方程.更為重要的是，我們在Hilbert 空間上建立了具有算子的Hilfer 分數(shù)階脈沖隨機發(fā)展方程的平均原理，一定程度上豐富了Hilfer分數(shù)階隨機微分方程的平均原理的相關(guān)理論.

3 實例

為了說明所得結(jié)果的適用性，我們考慮以下含脈沖的Hilfer分數(shù)階隨機發(fā)展方程

于是方程（26）的平均系統(tǒng)為

顯然，平均系統(tǒng)（27）比原系統(tǒng)（26）簡單.假設(shè)條件（H0）～（H3）滿足，根據(jù)定理1，當ε趨于零時，系統(tǒng)（26）的適度解均方收斂于平均系統(tǒng)（27）的適度解.