(n，d)-（Ext）-phantom 態(tài)射與 (n，d)-環(huán)*

余君麗， 張春霞

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331

貫穿全文，R是含單位元的結(jié)合環(huán)，模均指酉模.我們用R-Mod 與 Mod-R分別表示左，右R-模范疇.Hom(M，N) 與M?N分別指 HomR(M，N) 與M?RN，類似的解釋對導(dǎo)出函子 Exti(M，N) 與 Tori(M，N) 亦適用.記模M的示性模 HomZ(M，Q/Z) 為M+.idM、pdM與 fdM分別表示M的內(nèi)射、投射與平坦維數(shù).wD(R) 表示環(huán)R的弱整體維數(shù).

設(shè)n，d是非負(fù)整數(shù).稱右R-模F是有限n-表示的（Costa，1994），如果存在右R-模的正合序列

使得每個Pi是有限生成自由?；蛴邢奚赏渡淠＃╥= 0，1，…，n）.顯然，當(dāng)n' ＞n時，任意有限n'-表示R-模是有限n-表示的.稱R是右n-凝聚環(huán)，如果每個有限n-表示右R-模是有限 (n+ 1)-表示的.特別地，1-凝聚環(huán)即凝聚環(huán)，0-凝聚環(huán)為諾特環(huán).稱右R-模M為 (n，d)-內(nèi)射模，如果對任意有限n-表示右R-模F，有 Extd+1(F，M) = 0 （Zhou，2004）.顯然(0，0)-內(nèi)射，(1，0)-內(nèi)射，(n，0)-內(nèi)射，(0，d)-內(nèi)射模分別是大家熟知的內(nèi)射，F(xiàn)P-內(nèi)射（Stenstro?m，1970），F(xiàn)Pn-內(nèi)射（Bravo et al.，2017），內(nèi)射維數(shù)不大于d的模.稱左R-模N是 (n，d)-平坦的，如果對任意有限n-表示右R-模F，有Tord+1(F，N) = 0 （Zhou，2004）.

眾所周知，R是右諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意右R-模存在內(nèi)射（預(yù)）覆蓋（Enochs et al.，2000， 定理 5.4.1）.Pinzon（2008）證明了在右凝聚環(huán)上，任意右R-模存在(1，0)-內(nèi)射（預(yù)）覆蓋.近來，Li et al.（2014）證明了在右n-凝聚環(huán)上，任意右R-模存在(n，d)-內(nèi)射（預(yù)）覆蓋.另一方面，Mao et al.（2006）證明了在任意環(huán)上，(n，d)-內(nèi)射模類是（預(yù)）包絡(luò)類.

理想逼近理論是近年來由 Fu et al.（2013）創(chuàng)建起來的理論.稱雙函子HomR(·，·) ：R-Modop×RMod →Ab的加法子雙函子為R-Mod 的一個理想（ideal） I.理想逼近理論是對經(jīng)典逼近理論（覆蓋與包絡(luò)理論）的推廣.作為理想的一個重要例子即所謂的 phantom 態(tài)射理想，它是平坦模的態(tài)射版本.任意結(jié)合環(huán)R上的 phantom 態(tài)射是由 Herzog（2007）引入的.稱R-Mod 中的態(tài)射f：M→N是 phantom 態(tài)射，如果對每個（有限表示）右R-模A，誘導(dǎo)態(tài)射 Tor1(A，f)：Tor1(A，M) →Tor1(A，N) 是 0.類似地，稱 Mod-R中的態(tài)射g：M→N為 Ext-phantom 態(tài)射（Herzog，2008），如果對每個有限表示右R-模B，誘導(dǎo)態(tài)射Ext1(B，g)：Ext1(B，M) →Ext1(B，N) 是 0.Herzog（2007）與 Mao （2013）分別證明了任意模存在 phantom 覆蓋與Ext-phantom 預(yù)包絡(luò).Mao（2016）證明了在凝聚環(huán)上， 任意模存在 phantom 預(yù)包絡(luò)與 Ext-phantom覆蓋.

受以上思想啟發(fā)， 本文第一部分引入(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射的概念，它們分別是(n，d)-平坦模與(n，d)-內(nèi)射模的態(tài)射版本.自然要問：(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射在什么條件下是（預(yù)）覆蓋類與（預(yù)）包絡(luò)類？為此我們得到以下結(jié)論：（i）R-Mod 中任意模存在(n，d)-phantom 覆蓋；（ii） 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或者當(dāng)d+ 1 ＜n時，R-Mod 中任意模存在(n，d)-phantom（預(yù)）包絡(luò)；（iii） 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或者當(dāng)d+ 1 ＜n時，Mod-R中任意模存在(n，d)-Ext-phantom覆蓋與(n，d)-Ext-phantom 預(yù)包絡(luò).

作為應(yīng)用，本文第二部分利用(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射給出了右(n，d)-環(huán)，右n-遺傳環(huán)與右n-正則環(huán)的一系列新刻畫，這些刻畫推廣了已有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論.

1 (n，d)-phantom 覆蓋（包絡(luò)）與(n，d)-Ext-phantom 包絡(luò)（覆蓋）

對非負(fù)整數(shù)n，Costa（1994）在任意環(huán)上引入了以下概念.

定義 1稱右R-模F是有限n-表示的，若存在 Mod-R中的正合序列

使得每個Pi是有限生成投射模（i= 0，1，…，n）.

用FPn表示有限n-表示右R-模類.則FP0為有限生成右R-模類，F(xiàn)P1為有限表示右R-模類.并且由定義可得以下模類之間的包含降鏈

眾所周知，R是右諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意有限生成右R-模是有限表示的，即 FP0?FP1.對凝聚環(huán)也有類似刻畫：R是右凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng) FP1?FP2（Bravo et al.， 2017， 命題 2.1）.自然地就有以下n-凝聚環(huán)的概念.

定義 2稱環(huán)R是右n-凝聚環(huán)，如果 FPn?FPn+1.

由此看出右 0-凝聚環(huán)即右諾特環(huán)，右 1-凝聚環(huán)即右凝聚環(huán).Bravo et al.（2019）的注 3.10指出，若R是右n-凝聚環(huán)，則對任意k≥n，它也是右k-凝聚環(huán).如果用n-Coh 表示所有右n-凝聚環(huán)的類，則可得以下升鏈：

以下結(jié)論引用自Bravo et al.（2017）的定理 3.4與Zhou（2004）的命題 3.1，并將在文中頻繁用到.

引理 1(i) 設(shè)M是右R-模，N是(R，R)-雙模.若I是內(nèi)射右R-模，則對所有i≥0，存在同構(gòu)

特別地，有

(ii) 設(shè)右R-模F∈FPn，N是(R，R)-雙模.若I是內(nèi)射左R-模，則對所有i≥1，同構(gòu)式

在以下條件之一時成立.

a) 當(dāng)i≥n時，R是右n-凝聚環(huán).

b) 當(dāng)i＜n時，R是任意環(huán).

注意到如果F是有限n-表示模，那么引理 1（ii）中的同構(gòu)式對 1 ≤i≤n- 1 在任意環(huán)上都成立.由此提供了在任意環(huán)上只需考慮有限n-表示模（n＞1）的依據(jù).

定義 3設(shè)n，d是非負(fù)整數(shù)且n≥1.

(i) 稱R-Mod 中的態(tài)射f：M→N是(n，d)-phantom 態(tài)射，如果對任意有限n-表示右R-模F，其誘導(dǎo)的 Abel 群的態(tài)射 Tord+1(F，f)：Tord+1(F，M) →Tord+1(F，N) 是 0.

（ii） 稱 Mod-R中的態(tài)射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，如果對任意有限n-表示右R-模F，其誘導(dǎo)的 Abel 群的態(tài)射 Extd+1(F，g)：Extd+1(F，M) →Extd+1(F，N) 是 0.

以下均假設(shè)n，d是非負(fù)整數(shù)且n≥1.

注 1(i) 顯然，(1，0)-phantom 態(tài)射即 Herzog（2007）定義的 phantom 態(tài)射；(1，0)-Ext-phantom 態(tài)射即Herzog（2008）定義的 Ext-phantom 態(tài)射.

(ii) 若d+ 1 =n，則(1，d)-phantom 態(tài)射與(1，d)-Ext-phantom 態(tài)射分別為n-phantom 態(tài)射與n-Extphantom 態(tài)射，參見文獻(xiàn)（Mao，2018，2019；Lan et al.，2021）.

(iii) 易證(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射分別是R-Mod 與 Mod-R的理想.

命題 1設(shè)R是右n-凝聚環(huán).

(i) 若R-Mod 中的態(tài)射f：M→N是(n，d)-phantom 態(tài)射，則對任意d' ＞d，f也是(n，d')-phantom態(tài)射.

(ii) 若 Mod-R中的態(tài)射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，則對任意d' ＞d，g也是(n，d')-Extphantom 態(tài)射.

證明對任意有限n-表示右R-模F，由于R是右n-凝聚環(huán)，由 Zhu（2011）的定理 2.1，存在正合序列

使得P是有限生成投射模且K是有限n-表示的.則

（i） 由正合序列（1）誘導(dǎo)出行正合的交換圖

由此可得 Tord+2(F，f) = 0.由歸納法可知對任意d'＞d，f是(n，d')-phantom 態(tài)射.

（ii） 由正合序列（1）誘導(dǎo)出行正合的交換圖

由此可得 Extd+2(F，g) = 0.由歸納法可知對任意d'＞d，g是(n，d')-Ext-phantom 態(tài)射.

以下結(jié)論揭示了(n，d)-phantom 態(tài)射與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射之間的關(guān)系.

命題 2(i)R-Mod 中的態(tài)射f：M→N是(n，d)-phantom 態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)f+：N+→M+是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

(ii) Mod-R中的態(tài)射g：M→N是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)在以下條件之一下，g+：N+→M+是R-Mod 中的(n，d)-phantom 態(tài)射：

a) 當(dāng)d+ 1 ≥n時，R是右n-凝聚環(huán).

b) 當(dāng)d+ 1 ＜n時，R是任意環(huán).

證明（i） 對任意有限n-表示右R-模A，考慮以下交換圖

由引理1（i）知上圖中的α與β均為同構(gòu).于是 Tord+1(A，f) = 0 當(dāng)且僅當(dāng) Tord+1(A，f)+= 0 當(dāng)且僅當(dāng)Extd+1(A，f+) = 0.所以f是(n，d)-phantom 態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)f+是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

（ii） 對任意有限n-表示右R-模B，考慮以下交換圖

由引理1（ii）知上圖中的φ與ψ在以上兩條件之一下均為同構(gòu).則 Extd+1(B，g) = 0 當(dāng)且僅當(dāng)Extd+1(B，g)+= 0 當(dāng)且僅當(dāng) Tord+1(B，g+) = 0.所以g是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射當(dāng)且僅當(dāng)g+是(n，d)-phan‐tom 態(tài)射.

令R-Mor 是左R-模態(tài)射范疇：此范疇中的對象是左R-模態(tài)射，此范疇中的態(tài)射是從左R-模態(tài)射到左R-模態(tài)射的左R-模態(tài)射對子且使得tf=gs.設(shè) C 是一個有直積的局部有限表示加法范疇.若它的一個全子范疇 D 關(guān)于直積，正向極限，純子對象封閉，則稱 D 為可定義子范疇（Crawley-Boevey， 1994；Crivei et al.， 2010）.眾所周知左R-模態(tài)射范疇R-Mor 是局部有限表示Grothendieck 范疇.以下我們討論在什么條件下全子范疇(n，d)-phantom 態(tài)射與 (n，d)-Ext-phantom 態(tài)射是可定義子范疇.為此，先給出(n，d)-phantom 態(tài)射與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射的一些封閉性性質(zhì).

引理 2考慮以下純正合行的交換圖

(i) 若φ是R-Mod 中的(n，d)-phantom 態(tài)射，則ψ與γ亦是.

(ii) 若φ是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，則在以下條件之一下ψ與γ亦是(n，d)-Ext-phantom態(tài)射.

a) 當(dāng)d+ 1 ≥n時，R是右n-凝聚環(huán).

b) 當(dāng)d+ 1 ＜n時，R是任意環(huán).

證明由交換圖（2）可誘導(dǎo)出如下行可裂正合的交換圖

（i）首先由命題2（i）知φ+是 Mod-R中的(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模A，有

由于 Extd+1(A，) 是滿態(tài)射，所以 Extd+1(A，ψ+) = 0.因此ψ+是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，再次由命題2（i）知ψ是(n，d)-phantom 態(tài)射.

另一方面，由以上交換圖還可得

而 Extd+1(A，) 是單態(tài)射，所以 Extd+1(A，γ+) = 0.因此γ+是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，則由命題2（i） 知γ是(n，d)-phantom 態(tài)射.

（ii）由命題2（ii）知φ+是R-Mod 中的(n，d)-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模B，有

由于 Tord+1(B，)是滿態(tài)射，所以Tord+1(B，ψ+) = 0.因此ψ+是(n，d)-phantom 態(tài)射，再次由命題 2（ii）知ψ是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

另外，還可得到

又 Tord+1() 是單態(tài)射，所以 Tord+1(B，γ+) = 0.于是γ+是(n，d)-phantom 態(tài)射，由命題2（ii）知γ是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

引理 3(i)R-Mor 中(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于正向極限封閉；Mor-R中(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射類關(guān)于直積封閉.

(ii) 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或當(dāng)d+ 1 ＜n時，R-Mor 中(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于直積封閉且 Mor-R中(n，d) -Ext-phantom 態(tài)射類關(guān)于正向極限封閉.

證明（i）設(shè){fij：Mi→Mj}i≤j∈I與 {gij：Ni→Nj}i≤j∈I是R-Mod 中的兩族正向系，(τi：Mi→Ni)i∈I是它們之間的態(tài)射，且每個τi：Mi→Ni是(n，d)-phantom 態(tài)射.令是其誘導(dǎo)的態(tài)射.則對任意有限n-表示右R-模A，有如下交換圖

由于 Πi∈IExtd+1(B，fi) = 0，所以 Extd+1(B，Πi∈I fi) = 0.因此 Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是(n，d)-Extphantom 態(tài)射.

（ii） 設(shè) (fi：Mi→Ni)i∈I是R-Mor 中的一族(n，d)-phantom 態(tài)射，Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是其誘導(dǎo)的態(tài)射.則對任意有限n-表示右R-模A，根據(jù) Zhou（2004）的 命題 3.1，可得以下交換圖

由于Πi∈ITord+1(A，fi) = 0，所以 Tord+1(A，Πi∈I fi) = 0.因此 Πi∈I fi：Πi∈IMi→Πi∈INi是(n，d)-phan‐tom 態(tài)射.

最后設(shè) {fij：Mi→Mj}i≤j∈I與 {gij：Ni→Nj}i≤j∈I是 Mod-R中的兩族正向系，(τi：Mi→Ni)i∈I是它們之間的態(tài)射，且每個τi：Mi→Ni是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.令是其誘導(dǎo)的態(tài)射.則對任意有限n-表示右R-模B，根據(jù) Zhou（2004）的命題 3.1，可得以下交換圖

結(jié)合引理2～3與 Mao（2016）的注 2.3，可得以下結(jié)論.

命題3當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)， 或當(dāng)d+ 1 ＜n時，R-Mor 的全子范疇(n，d)-phantom 態(tài)射與 Mor-R的全子范疇(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射均為可定義子范疇.

以下結(jié)論揭示了態(tài)射的(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射的預(yù)覆蓋與預(yù)包絡(luò)的存在性.

定理 1(i)R-Mor 中任意左R-模態(tài)射存在(n，d)-phantom 覆蓋.

(ii) 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)， 或當(dāng)d+ 1 ＜n時，R-Mor 中任意左R-模態(tài)射存在(n，d)-phan‐tom 預(yù)包絡(luò).

(iii) 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或當(dāng)d+ 1 ＜n時，Mor-R中任意右R-模態(tài)射存在(n，d)-Extphantom 覆蓋與(n，d)-Ext-phantom 預(yù)包絡(luò).

證明（i）一方面由引理3（i）知R-Mor 中(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于正向極限封閉，另一方面由引理2（i）與 Mao（2016）的注 2.3 知(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于純的滿同態(tài)像封閉.所以由 Crivei et al.（2010）的定理 2.6知R-Mor 中每個左R-模態(tài)射存在(n，d)-phantom 覆蓋.

（ii） 由引理3（ii）知R-Mor 中(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于直積封閉，且由引理2（i）與Mao（2016）的注2.3 知(n，d)-phantom 態(tài)射類關(guān)于純子對象封閉，所以由 Crivei et al.（2010）的定理 4.1，R-Mor 中每個左R-模態(tài)射存在(n，d)-phantom 預(yù)包絡(luò).

（iii） 的證明類似于（i）與（ii）.

在理想逼近理論中，F(xiàn)u et al.（2013）給出了模的相對于理想的覆蓋與包絡(luò)的概念.設(shè) I 是R-Mod 的一個理想.稱 I 中的態(tài)射?：M→N是N的 I-預(yù)覆蓋，如果對 I 中任意態(tài)射ψ：C→N，存在態(tài)射θ：C→M使得?θ=ψ.一個 I-預(yù)覆蓋?：M→N稱為 I-覆蓋，如果使得?h=?的M的自態(tài)射h是同構(gòu).對偶地，可定義 I-預(yù)包絡(luò)與 I-包絡(luò)的概念.如果在定理 1 中令 I 分別為(n，d)-phantom 與(n，d)-Extphantom 態(tài)射類，則可得以下結(jié)論.

推論1(i)R-Mod 中任意左R-模存在(n，d)-phantom 覆蓋.

(ii) 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或當(dāng)d+ 1 ＜n時，R-Mod 中任意左R-模存在(n，d)-phantom 預(yù)包絡(luò).

(iii) 當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或當(dāng)d+ 1 ＜n時，Mod-R中任意右R-模存在(n，d)-Ext-phan‐tom 覆蓋與(n，d)-Ext-phantom 預(yù)包絡(luò).

2 (n，d)-phantom與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射的應(yīng)用

稱右R-模M是(n，d)-內(nèi)射模，如果對任意有限n-表示右R-模F，有 Extd+1(F，M) = 0.稱左R-模N是(n，d)-平坦模， 如果對任意有限n-表示右R-模F，有Tord+1(F，N) = 0（Zhou，2004）.顯然，M是(0，0)-內(nèi)射模（(1，0)-內(nèi)射模，(1，0)-平坦模）當(dāng)且僅當(dāng)M是內(nèi)射模（FP-內(nèi)射模， 平坦模）；M是(n，0)-內(nèi)射模（(n，0)-平坦模）當(dāng)且僅當(dāng)M是 FPn-內(nèi)射模（FPn-平坦模） （Bravo， 2017）；M是(0，d) -內(nèi)射模（(1，d)-平坦模）當(dāng)且僅當(dāng)idM≤d（fdM≤d）.對給定的非負(fù)整數(shù)d及所有n' ≥n，有(n，d)-內(nèi)射模（(n，d)-平坦模）是(n'，d)-內(nèi)射模（(n'，d)-平坦模）.

根據(jù) Zhu（2011；2018），R-模M的(n，0)-內(nèi)射維數(shù)與(n，0)-平坦維數(shù)分別定義為

環(huán)R的右(n，0)-內(nèi)射整體維數(shù)與左(n，0)-弱維數(shù)分別定義為

首先由引理1 可得如下結(jié)論.

引理 4當(dāng)d+ 1 ≥n且R是右n-凝聚環(huán)，或當(dāng)d+ 1 ＜n時，以下整數(shù)相等：

(i)l.(n，0) -wD(R).

(ii)r.(n，0) -ID(R).

(iii) sup{pd(FR)|FR∈FPn}.

稱環(huán)R是右(n，d)-環(huán)，如果任意有限n-表示右R-模的投射維數(shù)不超過d；稱環(huán)R是右弱(n，d)-環(huán)，如果任意有限n-表示右R-模的平坦維數(shù)不超過d（Zhou，2004）.易證若n≤n' 以及d≤d'，則任意右（弱）(n，d)-環(huán)是右（弱）(n'，d')-環(huán).

由Zhou（2004）的命題 2.6知，（i）R是右(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有右R-模是(n，d)-內(nèi)射模；（ii）R是右弱(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)所有 左R-模是(n，d)-平坦模；（iii） 若R是右(n，d)-環(huán)，則R是右弱(n，d)- 環(huán).并且當(dāng)d+ 1 ≤n時，反之亦成立.特別地，若R是右n-凝聚環(huán)，則R是右(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右弱(n，d)-環(huán).以下結(jié)論推廣了Mao（2018）的命題 2.7.

定理2設(shè)R是環(huán).則

(i)R是右(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng) Mod-R中的任意態(tài)射是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

(ii)R是右弱(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R-Mod 中的任意態(tài)射是(n，d)-phantom 態(tài)射.從而， 當(dāng)d+ 1 ≤n或R是右n-凝聚環(huán)時，以上條件等價.

證明（i） “ ?".設(shè)f：M→N是 Mod-R中的任意態(tài)射.由于對任意有限n-表示右R-模A，有Extd+1(A，M) = Extd+1(A，N) = 0.所以f是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

“ ?".設(shè)A是任意有限n-表示右R-模.對任意右R-模M，由于恒等態(tài)射M→M是(n，d)-Ext-phan‐tom 態(tài)射，從而其誘導(dǎo)的恒等態(tài)射 Extd+1(A，M) →Extd+1(A，M) 是 0，于是 Extd+1(A，M) = 0，即 pdA≤d.因此R是右(n，d)-環(huán).

（ii） “ ?".設(shè)g：M→N是R-Mod 中的任意態(tài)射.由于對任意有限n-表示右R-模B，有Tord+1(B，M) = Tord+1(B，N) = 0.所以g是(n，d)-phantom 態(tài)射.

“ ?".設(shè)B是任意有限n-表示右R-模.對任意左R-模M，由于恒等態(tài)射 Tord+1(B，M) →Tord+1(B，M)是 0，于是 Tord+1(B，M) = 0，即 fdB≤d.因此R是右弱(n，d)-環(huán).

最后的結(jié)論由（i），（ii）與 Zhou（2004）的命題 2.6得到.

眾所周知，左R-模態(tài)射范疇R-Mor 是局部有限表示 Grothendieck 范疇.R-Mor 中的態(tài)射f：E1→E2是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)E1與E2是內(nèi)射左R-模且f是可裂滿同態(tài).R-Mor 中的態(tài)射g：P1→P2是投射的當(dāng)且僅當(dāng)P1與P2是投射左R-模且g是可裂單同態(tài).R-Mor 中的態(tài)射h：F1→F2是平坦的當(dāng)且僅當(dāng)它是投射態(tài)射的正向極限，等價于F1與F2是平坦左R-模且h是純的單同態(tài)（Enochs et al.， 2002）.

命題4設(shè)R是環(huán)且d＞0.對R-Mod 中的態(tài)射f：M→N，以下條件等價：

(i)f是(n，d)-phantom 態(tài)射.

(ii) 在R-Mor 中的任意正合序列 0 →kd→fd-1→… →f1→f0→f→0 中，每個fi是平坦的且kd是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(iii) 在R-Mor 中的任意正合序列 0 →kd→pd-1→… →p1→p0→f→0 中，每個pi是投射的且kd是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(iv) 存在R-Mor 中的正合序列 0 →kd→pd-1→… →p1→p0→f→0，使得每個pi是投射的且kd是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(v) 存在R-Mor 中的正合序列 0 →kd→fd-1→… →f1→f0→f→0，使得每個fi是平坦的且kd是(n，0)-phantom 態(tài)射.

證明(i) ?(ii).考慮R-Mor 中任意正合序列

其中每個fi：Fi→F'i是平坦態(tài)射（i= 0，1，…，d- 1），即每個fi是純的單同態(tài)且Fi，F(xiàn)'i是平坦左R-模.對任意有限n-表示右R-模A，由（i）知 Tord+1(A，f) = 0.令ki：Ki→K'i是fi-1→fi-2的核，其中i=1，2，…，d- 1，且f-1=f.則有如下行正合的交換圖：

由此得 Tord(A，k1) = 0.繼續(xù)此過程可得kd是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(ii) ?(iii) ?(iv) ?(v) 顯然.

(v) ?(i).由（v），存在R-Mor 中的正合序列

其中每個qi：Qi→Q'i是平坦態(tài)射（i= 0，1，…，d- 1），且kd：Kd→K'd是(n，0)-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模A，有 Tor1(A，kd) = 0.

令ki：Ki→K'i是qi-1→qi-2的核，其中i= 1，2，…，d- 1，且q-1=f.考慮如下行正合的交換圖

則 Tor2(A，kd-1) = 0.繼續(xù)此過程可得 Tord+1(A，f) = 0，故f是(n，d)-phantom 態(tài)射.

命題5設(shè)R是環(huán)且d＞0.對 Mod-R中的態(tài)射g：M→N，以下條件等價：

(i)g是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

(ii) 在 Mor-R中的任意正合序列 0 →g→e0→e1→… →ed-1→ld→0 中，每個ei是內(nèi)射的且ld是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.

(iii) 存在 Mor-R中的正合序列 0 →g→e0→e1→… →ed-1→ld→0，使得每個ei是內(nèi)射的且ld是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.

證明(i) ?(ii).考慮 Mor-R中任意正合序列

其中每個ei：Ei→是內(nèi)射態(tài)射（i= 0，1，…，d- 1）.對任意有限n-表示右R-模B，由（i）知Extd+1(B，g) = 0.令li：Li→是ei-2→ei-1的余核，其中i= 1，2，…，d- 1，e-1=g.則有如下行正合的交換圖

由此得 Extd(B，l1) = 0.繼續(xù)此過程可得ld是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.

(ii) ?(iii) 顯然.

(iii) ?(i).由（iii）知，存在 Mor-R中的正合序列

其中每個ωi是內(nèi)射態(tài)射且td是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模B， 有Ext1(B，td) = 0.

令ti：Ti→T?i是ωi-2→ωi-1的余核，其中i= 1，2，…，d- 1，ω-1=g.考慮如下行正合的交換圖

則Ext2(B，td-1) = 0.繼續(xù)此過程可得Extd+1(B，g) = 0，故g是(n，d)-Ext-phantom態(tài)射.

由Li et al.（2014）的定理 4.1 知，R是右(n，d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右n-凝聚環(huán)，RR是(n，d)-內(nèi)射模，且右(n，d)-內(nèi)射R-模的商模是(n，d)-內(nèi)射的.這里我們有如下結(jié)論：

定理3設(shè)R是環(huán).

(i)R是右(n，d+ 1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Mor-R中(n，d)-Ext-phantom態(tài)射的商態(tài)射是(n，d)-Ext-phantom態(tài)射.

(ii)R是右弱(n，d+ 1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R-Mor中(n，d)-phantom態(tài)射的子態(tài)射是(n，d)-phantom態(tài)射.

證明（i）“ ?".設(shè)f是Mor-R中(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射e的商.則存在Mor-R中的正合序列0 →h→e→f→0.由于R是右(n，d+ 1)-環(huán)，由定理2 知h是(n，d+ 1)-Ext-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模A，由長正合序列可得 Extd+1(A，f) ?Extd+2(A，h) = 0.故f是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.

“ ?".對 Mor-R中的任意態(tài)射f，存在正合序列 0 →f→e→c→0 使得e是內(nèi)射態(tài)射.由此可得c是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.由命題 5 知f是(n，d+ 1)-Ext-phantom 態(tài)射.因此由定理2 知R是右(n，d+ 1)-環(huán).

（ii） “ ?".設(shè)g是R-Mor 中(n，d)-phantom 態(tài)射p的子態(tài)射.則存在R-Mor 中的正合序列0 →g→p→l→0.由于R是右弱(n，d+ 1)-環(huán)， 由定理 2 知l是(n，d+ 1)-phantom 態(tài)射.所以對任意有限n-表示右R-模B， 由長正合序列可得 Tord+1(B，g) ?Tord+2(B，l) = 0.故g是(n，d)-phantom 態(tài)射.

“ ?".對R-Mor 中的任意態(tài)射g，存在正合序列 0 →k→p→g→0 使得p是投射態(tài)射.由此可得k是(n，d)-phantom 態(tài)射.由命題 4知g是(n，d+ 1)-phantom 態(tài)射.因此根據(jù)定理2，R是右弱(n，d+ 1)-環(huán).

最后，我們用(n，d)-phantom 與(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射的覆蓋與包絡(luò)給出右(n，d+ 1)-環(huán)的新刻畫.定理4設(shè)R是右n-凝聚環(huán)且d+ 1 ≥n或R是任意環(huán)且d+ 1 ＜n.則以下條件等價：

(i)R是右(n，d+ 1)-環(huán).

(ii) 任意左R-模存在滿的(n，d)-phantom 包絡(luò).

(iii) 任意右R-模存在單的(n，d)-Ext-phantom 覆蓋.

證明(i) ?(ii).由推論 1 知，任意左R- 模M存在(n，d)-phantom 預(yù)包絡(luò)f：M→N.則存在滿態(tài)射α：M→Im(f) 與嵌入態(tài)射λ：Im(f) →N使得f=λα.對任意有限n-表示右R-模A，由（i）與引理 4，正合序列 0 →Im(f)→λN→L→0 誘導(dǎo)出以下正合序列

則 Tord+1(A，λ) 是單態(tài)射.注意到 Tord+1(A，λ)Tord+1(A，α) = Tord+1(A，f) = 0，所以Tord+1(A，α) = 0， 即α是(n，d)-phantom 態(tài)射.易證α是滿的(n，d)-phantom 包絡(luò).

(ii) ?(i).對任意左R-模M， 存在正合序列 0 →→M→0 使得P是投射模.由（ii），K存在滿的(n，d)-phantom 包絡(luò)φ：K→G.由于ι是(n，d)-phantom 態(tài)射，所以φ是單態(tài)射，從而φ是同構(gòu).于是對任意有限n-表示右R-模A，有 Tord+1(A，φ) = 0，故 Tord+1(A，K) = 0.即(n，0)-fd(K) ≤d，因此(n，0)-fd(M) ≤d+ 1.由引理 4知R是右(n，d+ 1)-環(huán).

(i) ?(iii).由推論 1 知，任意右R-模M存在(n，d)-Ext-phantom 覆蓋g：N→M.于是存在滿態(tài)射β：N→Im(g) 與嵌入態(tài)射γ：Im(g) →M使得g=γβ.對任意有限n-表示右R-模B，由（i）與引理 4 知，正合序列 0 →K→→0 誘導(dǎo)出以下正合序列

所以 Extd+1(B，β) 是滿態(tài)射.注意到 Extd+1(B，γ)Extd+1(B，β) = Extd+1(B，g) = 0，因此 Extd+1(B，γ) = 0，即γ是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射.易證γ是單的 (n，d)-Ext-phantom 覆蓋.

(iii) ?(i).對任意右R-模N，存在正合序列 0 →N→→0 使得E是內(nèi)射模.由（iii），L存在單的(n，d)-Ext-phantom 覆蓋ψ：D→L.由于ρ是(n，d)-Ext-phantom 態(tài)射，所以ψ是滿態(tài)射，從而ψ是同構(gòu).于是對任意有限n-表示右R-模B，有 Extd+1(B，ψ) = 0，故 Extd+1(B，L) = 0.即(n，0)-id(L) ≤d，因此(n，0)-id(N) ≤d+ 1.由引理 4知R是右(n，d+ 1)-環(huán).

由注 1，當(dāng)d+ 1 =n時，R-Mod 中的(1，d)-phantom 態(tài)射與 Mod-R中的(1，d)-Ext-phantom 態(tài)射分別是n-phantom 態(tài)射與n-Ext-phantom 態(tài)射（Mao， 2018； Mao， 2019；Lan et al.， 2021）.于是可得如下結(jié)論.

推論2（Mao，2018） 對右凝聚環(huán)R及n＞1，以下條件等價：

(i)wD(R) ≤n.

(ii) 任意左R-模存在滿的n-phantom 包絡(luò).

(iii) 任意右R-模存在單的n-Ext-phantom 覆蓋.

稱環(huán)R是右n-遺傳環(huán)，如果投射右R- 模的有限 (n- 1)-表示子模是投射的（Zhu，2011）.由 Zhu（2011）的定理 3.2知，R是右n-遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右(n，1)-環(huán).基于以上結(jié)論，可得如下推論.

推論3對任意環(huán)R，以下條件等價：

(i)R是右n-遺傳環(huán).

(ii)R-Mod 中的任意態(tài)射是(n，1)-phantom 態(tài)射.

(iii) Mod-R中的任意態(tài)射是(n，1)-Ext-phantom 態(tài)射.

(iv)R-Mor 中(n，0)-phantom 態(tài)射的子態(tài)射是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(v) Mor-R中(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射的商態(tài)射是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.

(vi) 任意左R-模存在滿的(n，0)-phantom 包絡(luò).

(vii) 任意右R-模存在單的(n，0)-Ext-phantom 覆蓋.

稱環(huán)R是右半遺傳環(huán)（Lam，1999），如果任意有限生成右理想是投射的，等價于R是右凝聚環(huán)且wD(R) ≤1.由注1，R-Mod 中的(1，0)-phantom 態(tài)射是Herzog（2007）定義的 phantom 態(tài)射；Mod-R中的(1，0)-Ext-phantom 態(tài)射是文獻(xiàn) Herzog（2008）定義的 Ext-phantom 態(tài)射.于是可得如下結(jié)論.

推論4對右凝聚環(huán)R，以下條件等價：

(i)R是右半遺傳環(huán).

(ii) 任意左R-模存在滿的 phantom 包絡(luò).

(iii) 任意右R-模存在單的 Ext-phantom 覆蓋.

(iv)R-Mor 中 phantom 態(tài)射的子態(tài)射是 phantom 態(tài)射.

(v) Mor-R中 Ext-phantom 態(tài)射的商態(tài)射是 Ext-phantom 態(tài)射.

(vi)R-Mod 中的任意態(tài)射是 phantom 態(tài)射.

(vii) Mod-R中的任意態(tài)射是 Ext-phantom 態(tài)射.

稱環(huán)R是右n-正則環(huán)（Zhu，2011），如果它是右(n，0)-環(huán).則有如下推論.

推論5對任意環(huán)R，以下條件等價：

(i)R是右n-正則環(huán).

(ii)R-Mod 中的任意態(tài)射是(n，0)-phantom 態(tài)射.

(iii) Mod-R中的任意態(tài)射是(n，0)-Ext-phantom 態(tài)射.

顯然，R是右正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)它是右 1-正則環(huán).于是可得如下結(jié)論.

推論6對任意環(huán)R，以下條件等價：

(i)R是右正則環(huán).

(ii)R-Mod 中的任意態(tài)射是 phantom 態(tài)射.

(iii) Mod-R中的任意態(tài)射是 Ext-phantom 態(tài)射.