基于MATLAB的ARIMA模型對(duì)我國(guó)GDP預(yù)測(cè)的研究

陳滿麗 張慧娟 焦楠楠 李虎軍 張巖

摘?要：國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的重要指標(biāo)，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)GDP對(duì)政府進(jìn)行有效宏觀調(diào)控意義重大。文章對(duì)我國(guó)1978-2022年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）進(jìn)行分析，采用MATLAB軟件，通過(guò)數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)、模型參數(shù)的識(shí)別、模型檢驗(yàn)等過(guò)程確定了ARIMA（4，2，2）模型。預(yù)測(cè)得到我國(guó)2023-2026年GDP分別為得到1280449.47?億元，1361738.1621億元，1433275.0123億元，1502150.4505億元。

關(guān)鍵詞：GDP；MATLAB；ARIMA模型

中圖分類號(hào)：F222?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?文章編號(hào)：1005-6432（2024）09-0000-00

引言

GDP是反映一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的重要指標(biāo)，其對(duì)于國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策制定、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和國(guó)際貿(mào)易等方面都有著較為重要的影響。因此，對(duì)GDP的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和分析一直是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1]?；跁r(shí)間序列模型的GDP預(yù)測(cè)方法，由于其簡(jiǎn)單可行、高精度的優(yōu)點(diǎn)，受到了廣泛關(guān)注。近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)我國(guó)歷年GDP數(shù)據(jù)利用時(shí)間序列模型進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。如2013年李娜[2]運(yùn)用EVIEWS6.0軟件建立ARIMA模型，進(jìn)而運(yùn)用多重篩選機(jī)制，確定了最優(yōu)ARIMA（6，1，3）模型，對(duì)2009－2011年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)。2018年邵明吉[3]運(yùn)用Box-Jenkins方法建立ARIMA模型，對(duì)我國(guó)1978-2015年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值進(jìn)行了分析，結(jié)果表明預(yù)測(cè)相對(duì)誤差較小，預(yù)測(cè)精度較高。2020年杜潔[4]采用SAS軟件建立ARIMAX模型對(duì)我國(guó)GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，2017年和2018年預(yù)測(cè)相對(duì)誤差分別為0.07%和3.92%，均不超過(guò)5%，預(yù)測(cè)較為精確。

突如其來(lái)的新冠疫情，改變了這個(gè)預(yù)測(cè)模型的走勢(shì)。因此，進(jìn)一步研究疫后中國(guó)經(jīng)濟(jì)走向和探索中國(guó)未來(lái)GDP預(yù)測(cè)模型具有重要意義[5]。目前，大多數(shù)學(xué)者研究時(shí)間序列采用的軟件多為SAS、Eviews、R語(yǔ)言、SPSS等，而MATLAB作為一種強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算平臺(tái)和程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，具備語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、可視化強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，卻很少有學(xué)者研究。因此，文章將基于MATLAB平臺(tái)構(gòu)建ARIMA模型，以我國(guó)GDP的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為樣本，對(duì)我國(guó)GDP未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。

1?ARIMA模型

ARIMA（自回歸差分移動(dòng)平均）模型是由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.E.P.Box和G.M.Jenkins于1970年首次提出的一種經(jīng)典的時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)模型。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，ARIMA模型已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中時(shí)間序列預(yù)測(cè)的一種主流方法，其具有精度高、可靠性強(qiáng)等特點(diǎn)。它由自回歸（AR）、差分（I）和移動(dòng)平均（MA）三部分組成。AR部分描述了當(dāng)前值與歷史值之間的關(guān)系，差分部分對(duì)序列進(jìn)行差分操作以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)性，移動(dòng)平均部分引入誤差項(xiàng)來(lái)捕捉數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)。該模型可以在經(jīng)濟(jì)、金融、氣象、地質(zhì)、生物等領(lǐng)域中用于時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)，它的優(yōu)點(diǎn)在于能夠更好地描述數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

2?建立ARIMA模型

2.1?數(shù)據(jù)導(dǎo)入

文章數(shù)據(jù)來(lái)源于《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2023》，得到1978-2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP，如表1所示。將數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練組（1978-2018）和測(cè)試組（2019-2022）。前者用于建立模型，后者用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)效果。

利用函數(shù)xlsread讀入數(shù)據(jù)，并用plot函數(shù)畫出時(shí)間序列圖

MATLAB語(yǔ)法：xlsread（'國(guó)家GDP（1978-2018）.xlsx'）;

plot（time，GDP）;

2.2?檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性

觀察時(shí)間序列的原始數(shù)據(jù)，包括其波動(dòng)性、趨勢(shì)性和季節(jié)性等。若時(shí)間序列具有這些特征，則需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，例如差分操作、對(duì)數(shù)變換等使數(shù)據(jù)平穩(wěn)，便于后續(xù)建模分析。從圖1可看出隨著年份的增長(zhǎng)，GDP呈指數(shù)遞增。在MATLAB中，用函數(shù)ADF檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性，主要通過(guò)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有單位根判斷序列是否平穩(wěn)。

MATLAB語(yǔ)法：[h，pValue，stat，cValue]?=?adftest（GDP）

若h=1，說(shuō)明序列平穩(wěn)，若h=0，說(shuō)明序列不平穩(wěn)，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理。若pValue＜0.05，時(shí)間序列平穩(wěn)。若stat

輸出結(jié)果為：h=0；（h=0→有單位根→序列不平穩(wěn)）

pValue=0.9990；（p>0.05→有單位根→序列不平穩(wěn)）

stat=18.8308;（stat>cValue→有單位根→序列不平穩(wěn)）

cValue=-1.9475;

從圖1折線圖和返回結(jié)果看，該序列都是不平穩(wěn)的。

2.3?序列平穩(wěn)化

利用函數(shù)diff對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分操作

MATLAB語(yǔ)法：GDPd1=diff（GDP，1）

[h，pValue，stat，cValue]=adftest（GDPd1）;

輸出結(jié)果為：h=0；pValue=0.6614；stat=0.0425;cValue=-1.9476;

從圖2可看出一階差分結(jié)果仍然具有上升趨勢(shì)，序列不平穩(wěn)，與平穩(wěn)性檢驗(yàn)輸出結(jié)果契合。

利用函數(shù)diff對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二階差分操作

輸出結(jié)果為：h=1；pValue=1.0000e-03；stat=-6.0900;cValue=-1.9478;

從圖3可看出，數(shù)據(jù)在0附近隨機(jī)波動(dòng)，表現(xiàn)為平穩(wěn)序列，與平穩(wěn)性檢驗(yàn)輸出結(jié)果契合。

2.4?確定模型參數(shù)

ARIMA模型參數(shù)主要有p、d、q這三個(gè)，其中參數(shù)d的估計(jì)值就是差分的階數(shù)。因此，這里取d=2。對(duì)于參數(shù)p，q可以利用差分后平穩(wěn)序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）的統(tǒng)計(jì)特性選擇合適的階數(shù)，也可以利用AIC準(zhǔn)則（赤池信息量準(zhǔn)則）或BIC準(zhǔn)則（貝葉斯信息準(zhǔn)則）來(lái)確定最優(yōu)的模型階數(shù)。其中AIC準(zhǔn)則偏向從預(yù)測(cè)的角度確定最優(yōu)的模型階數(shù)，BIC準(zhǔn)則偏向于擬合的角度，選擇一個(gè)對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)擬合最好的模型[6]。因此，這里依據(jù)AIC準(zhǔn)則確定模型的階數(shù)。取p、q=1，2，3，4，5，利用MATLAB中的aicbic函數(shù)，計(jì)算不同模型的AIC值。AIC值越小，代表模型越好。

MATLAB語(yǔ)法：[aic，～]=aicbic（logL，numParam，length（GDP））;

輸出aic矩陣為：

最小值為856.0992，所以選擇p=4，q=2，所以最終選擇ARIMA（4，2，2）對(duì)序列進(jìn)行建模分析。

2.5?建立并檢驗(yàn)ARIMA模型

為了確保模型的階數(shù)為最優(yōu)，需要對(duì)ARIMA（4，2，2）模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)。如果殘差是一段白噪聲信號(hào)，也就說(shuō)明確定的模型為最優(yōu)模型。在MATLAB中利用函數(shù)arima建立模型，estimate函數(shù)確定模型中的移動(dòng)平均系數(shù)和自回歸系數(shù)，infer函數(shù)計(jì)算殘差。

MATLAB?語(yǔ)法：?best_mdl=arima（4，2，2）;

EstMdl=estimate（best_mdl，GDP）;

Residuals=infer（EstMdl，GDP）;

對(duì)殘差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，畫出殘差直方圖、QQ圖如圖4-5所示。理想的殘差直方圖接近正態(tài)分布，QQ圖中藍(lán)點(diǎn)應(yīng)該靠近紅線。顯然，殘差檢驗(yàn)結(jié)果為白噪聲，確定ARIMA（4，2，2）模型為最優(yōu)模型。進(jìn)一步運(yùn)用函數(shù)?lbqtest?對(duì)殘差序列進(jìn)行?Ljung-Box?Q?檢驗(yàn)（相關(guān)性檢驗(yàn)）。

MATLAB?語(yǔ)法：[h，pvalue]?=?lbqtest（Residuals）;

輸出結(jié)果h=0，pvalue=0.99717說(shuō)明殘差序列是不相關(guān)的白噪聲序列。

2.6?預(yù)測(cè)分析

通過(guò)建立的ARIMA模型，進(jìn)行時(shí)間序列的預(yù)測(cè)，利用函數(shù)forecast對(duì)2019-2022年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)值的趨勢(shì)與實(shí)際值的趨勢(shì)保持一致，ARIMA（4，2，2）模型平均預(yù)測(cè)誤差為1.82%，預(yù)測(cè)精度較高。利用此模型對(duì)我國(guó)2023-2026年GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到2023年GDP為1280449.47?億元，2024年GDP為1361738.1621億元，2025年GDP為1433275.0123億元，2026年GDP為1502150.4505億元。

MATLAB語(yǔ)法如下：

3?結(jié)論

文章通過(guò)對(duì)我國(guó)1978-2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP進(jìn)行分析，平穩(wěn)化處理，模型定階等過(guò)程確定了ARIMA（4，2，2）模型。一方面經(jīng)過(guò)模型的殘差檢驗(yàn)過(guò)程，如殘差直方圖，QQ圖，相關(guān)性檢驗(yàn)等都表明殘差為白噪聲；另一方面經(jīng)過(guò)實(shí)證分析，利用ARIMA（4，2，2）模型對(duì)我國(guó)2019-2022年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，平均預(yù)測(cè)誤差為1.82%，預(yù)測(cè)精度較高。殘差檢驗(yàn)結(jié)果和實(shí)證分析結(jié)果都表明ARIMA（4，2，2）模型為最優(yōu)模型。因此，利用ARIMA（4，2，2）模型對(duì)我國(guó)2023-2026年的GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果符合我國(guó)GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)，2022年和2023年GDP增長(zhǎng)變緩，可能是受疫情影響，處于恢復(fù)期。本研究結(jié)果對(duì)于政府進(jìn)行制定有效宏觀調(diào)控政策具有重大的參考價(jià)值。在未來(lái)的研究中，將進(jìn)一步探索和優(yōu)化ARIMA模型，使其在更多領(lǐng)域發(fā)揮更大的作用。

參考文獻(xiàn)：

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[6]曾志崧.?基于BIC準(zhǔn)則的基樁聲波透射法管距修正研究[J].福建建筑，?2022（11）：61-?64.

[基金項(xiàng)目]甘肅省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：S202211562017）;蘭州文理學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2020QNRC10）。

[作者簡(jiǎn)介]陳滿麗（1994—），女，甘肅蘭州人，碩士，講師，研究方向：進(jìn)化算法、時(shí)間序列預(yù)測(cè)；張慧娟（1991—），女，甘肅蘭州人，碩士，講師，研究方向：通信工程、序列預(yù)測(cè)；焦楠楠（2001—），男，甘肅慶陽(yáng)人，本科，研究方向：廣播電視工程；李虎軍（2002—），男，甘肅慶陽(yáng)人，本科，研究方向：廣播電視工程；張巖（2001—），男，甘肅平?jīng)鋈?，本科，研究方向：廣播電視工程。