2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國Ⅰ卷壓軸題的題源及推廣

摘 要：文章針對2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷壓軸題（即第22題）進(jìn)行了深度探究，旨在幫助廣大教師和學(xué)生開拓思維，提高數(shù)學(xué)解題能力.

關(guān)鍵詞：高考?jí)狠S題；平面解析幾何；不等式；推廣；編擬習(xí)題

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0010-05

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國卷壓軸題（即第22題）是一道平面解析幾何題，但涉及不等式問題.文章給出了這道題的題源及推廣，由得到的推廣容易編擬出大量的類似題目.

1 一道高考?jí)狠S題

2 高考?jí)狠S題的題源

題2 （1998年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題第三題）如圖1，已知一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線y=x2上，求該正方形面積的最小值.

解析 如圖1所示，可設(shè)滿足題設(shè)的正方形是正方形ABCD，三點(diǎn)A（x1，x21），B（x2，x22），C（x3，x23）（x1

假設(shè)x1，x2，x3均是非負(fù)數(shù)，由AB⊥BC，可得

即（1，x2+x1）·（1，x3+x2）=1+（x2+x1）（x3+x2）=0.

即（x2+x1）（x3+x2）<0.

所以x1，x2，x3不可能均是非負(fù)數(shù)也不可能均是非正數(shù)，即x1，x2，x3中有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，因而x1<0

kABkBC=（x1+x2）（x2+x3）=-1<0.

若kAB<0，則kBC>0.

若kAB=x1+x2>0，由x1<0，可得x2>0.

再由x10.總之，kBC>0.

再由弦長公式［1］，可得

由均值不等式及平方平均≥算術(shù)平均，可得

k2+1≥2k（當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)），

進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)k=1（即圖1中的正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（-1，1），（0，0），（1，1））時(shí)，正方形ABCD的面積BC2最小，且最小值是2.

3 對題1（2）結(jié)論的推廣

證明 如圖2所示，可設(shè)滿足題設(shè)的矩形是矩形ABCD，三點(diǎn)A（x1，ax21），B（x2，ax22），C（x3，ax23）（x1

假設(shè)x1，x2，x3均是非負(fù)數(shù)，由AB⊥BC，可得

即（1，a（x2+x1））·（1，a（x3+x2））=0=1+

a2（x2+x1）（x3+x2）=0.

即（x2+x1）（x3+x2）<0.

所以x1，x2，x3不可能均是非負(fù)數(shù)也不可能均是非正數(shù)，即x1，x2，x3中有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，因而x1<0

kABkBC=a2（x1+x2）（x2+x3）=-1<0.

若kAB<0，則kBC>0；

若kAB=a（x1+x2）>0，由x1<0，可得x2>0.

再由x1

a（x2+x3）>0.總之，kBC>0.

如圖2所示，過點(diǎn)B作線段TH∥x軸，且AT⊥

可再設(shè)點(diǎn)B（p，ap2）（x1

又由兩點(diǎn)A，C均在拋物線y=ax2上，可得

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

4 對題1（2）結(jié)論的再推廣

（2）如圖3所示，由題設(shè)知可設(shè)三點(diǎn)A（x1，ax21），B（x2，ax22），C（x3，ax23）（x1

再由弦長公式，可得

設(shè)矩形ABCD的面積是S，由①②，可得

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

證明 如圖3所示，可設(shè)滿足題設(shè)的矩形是矩形ABCD，且可設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)A（x1，ax21），B（x2，ax22），

C（x3，ax23）（x1

（3）若矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C（它們的橫坐標(biāo)依次增大）均在拋物線y=ax2+bx+c上，且|AB|=463|BC|，則|AB|min=2103|a|，矩形ABCD面積的取值范圍是［569a2，+∞）.

5 結(jié)束語

通過對高考試題的研究，我們可以更好地理解考試，揭示重點(diǎn)考查內(nèi)容，從而更有效地引導(dǎo)教學(xué)，為高效教學(xué)提供數(shù)據(jù)支持，重視對高考試題的研究，能夠精準(zhǔn)地捕捉命題趨勢，科學(xué)地調(diào)整教學(xué)內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 甘志國.高中數(shù)學(xué)題典精編（第一輯）：不等式·推理與證明[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2022.