空間向量基底法妙解立體幾何問(wèn)題

雷譽(yù)

摘 要：空間向量在解決立體幾何中證明位置關(guān)系和計(jì)算距離、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用.在解題過(guò)程中，學(xué)生習(xí)慣用坐標(biāo)法來(lái)解決問(wèn)題.實(shí)際中，有時(shí)受到圖形的制約或是點(diǎn)坐標(biāo)不易求出等.利用向量基底法求解是一個(gè)明智的選擇，不僅過(guò)程簡(jiǎn)潔，還具有優(yōu)勢(shì).其實(shí)，向量坐標(biāo)法是基底法的一種特例.文章以2023年武漢二月調(diào)考中的兩道立體幾何問(wèn)題為例，用向量基底法給大家?guī)?lái)一種全新的解題視角.

關(guān)鍵詞：立體幾何；基底法；向量運(yùn)算；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0020-04

利用空間向量基底法解決立體幾何問(wèn)題，首先要選取合適的基向量，盡量選取長(zhǎng)度和夾角已知的向量；其次，把要解決的立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，通過(guò)向量的運(yùn)算解決向量問(wèn)題；最后，再把向量關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系，最終解決問(wèn)題.

1 求距離

例1 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為2，∠A1AB=∠A1AD=60°，則對(duì)角線AC1的長(zhǎng)為.

=4+4+4+2×2×2cos60°×2=20.

點(diǎn)評(píng) 本題以平行六面體為載體，選取有公共點(diǎn)A的三條棱為基向量，利用向量的運(yùn)算來(lái)求AC12，本題是用基向量求距離的一種典型例題.

2 求軌跡

例2 （2023年武漢二月調(diào)考第8題）設(shè)A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且∠AOB=60°，球體O表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（? ）.

解法1 空間中動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB的點(diǎn)的集合為阿氏球面（即將圖1的阿氏圓C以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的球面），以AB的中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線為y

設(shè)P（x，y），由PA=2PB，得

所求的軌跡為阿氏球C與球O的交線圓，交線圓的半徑r即為以O(shè)為圓心，3為半徑的圓與以C為圓心，2為半徑的圓的公共弦長(zhǎng)的一半，兩圓圓心距

點(diǎn)評(píng) 本題以阿氏圓為背景情境，過(guò)渡到阿氏球上，更加靈活，對(duì)空間想象力的要求極高.把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面解析幾何問(wèn)題，即把兩球相交的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓相交的問(wèn)題，運(yùn)算較為繁瑣.

空間向量的基本定理：已知三個(gè)非零向量a，b，c不共面，那么對(duì)于空間任意向量p，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)x，y，z滿足p=xa+yb+zc.其中a，b，c為一組空間向量的基向量，叫做基底.當(dāng)我們遇到某些立體幾何圖形本身沒(méi)有很明顯的垂直關(guān)系或是點(diǎn)坐標(biāo)不易求得等問(wèn)題時(shí)，不妨嘗試尋找空間中三個(gè)不共面的基向量，無(wú)需建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)基底法解決問(wèn)題.本題的具體解法如下：

整理，得c·（4b-a）=27.

所以點(diǎn)P到4b-a方向上的距離為

點(diǎn)評(píng) 利用基底法解題時(shí)，選取合適的基底十分關(guān)鍵，應(yīng)盡可能選擇三個(gè)模長(zhǎng)已知的向量，且向量的夾角也容易得出.本題使用向量基底法更簡(jiǎn)潔快速，是一個(gè)出彩的方法，不容易想到，難點(diǎn)在于先利用數(shù)量積的幾何意義求出投影，再把點(diǎn)P的軌跡的圓周長(zhǎng)的半徑轉(zhuǎn)化為距離［1］.

3 證明空間的位置關(guān)系和計(jì)算空間角

（1）證明：直線A1B∥平面AD1E；

（2）若CC1⊥平面ABCD，且CC1=3，求直線BB1與平面AD1E所成角的正弦值.

解法1 （1）延長(zhǎng)D1E和DC交于點(diǎn)M，連接MA交BC于點(diǎn)N，連接D1N，如圖3.

所以CM=4=AB.

則N為BC中點(diǎn).

此時(shí)A1D1∥B1C1∥BN，且A1D1=BN.

故四邊形A1BND1為平行四邊形.

所以A1B∥D1N.

所以A1B∥平面AD1E.

點(diǎn)評(píng) 第（1）問(wèn)輔助線的想法是把平面AD1E延展開(kāi)來(lái)，補(bǔ)形成四邊形AD1EN，而這種輔助線的作法又是學(xué)生比較畏懼的.相比較而言，第（2）問(wèn)三條直線兩兩垂直關(guān)系顯而易見(jiàn)，學(xué)生毫不費(fèi)力地建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量坐標(biāo)法直接計(jì)算，第（2）問(wèn)本文不再贅述.

平面向量的基本定理：如果兩個(gè)非零向量a，b不共線，那么向量c與a，b共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)x，y，使c=xa+yb.如果平面外一條直線的方向向量可以用這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量來(lái)表示，就可以判定直線和平面平行.

所以直線A1B∥平面AD1E.

設(shè)平面AD1E的法向量為n=xa+yb+zc，則

取x=-1，則z=2，y=2.

所以n=-a+2b+2c.

4 證明比例關(guān)系

例4 （2023年圓創(chuàng)教育三月測(cè)評(píng)第12題）如圖4，在正四面體ABCD中，棱AB的中點(diǎn)為M，棱CD的中點(diǎn)為N，過(guò)MN的平面交棱BC于點(diǎn)P，交棱AD于點(diǎn)Q，記多面體CAMPNQ的體積為V1，多面體BDMPNQ的體積為V2，則（? ）.

A.直線MQ與PN平行

C.點(diǎn)C與點(diǎn)D到平面MPNQ的距離相等

D. V1=V2

所以m=n，B正確；

CD選項(xiàng)本文不做說(shuō)明，此外也可以將正四面體放置于正方體中研究AB選項(xiàng).

5 結(jié)束語(yǔ)

空間向量基底法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的薄弱應(yīng)用，往往被人忽視，如果平時(shí)不注意使用和練習(xí)，久而久之向量的思維就會(huì)固化和鈍化，以至于一說(shuō)到向量法就只想到坐標(biāo)法.通過(guò)以上例題的分析，利用空間向量基底法求解也是一種簡(jiǎn)潔實(shí)用的方法，希望引起大家對(duì)這種方法的注意，加深認(rèn)識(shí)和體會(huì).

參考文獻(xiàn)：

［1］徐力.例談基底法在立體幾何解題中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（11）：44-46.

［2］ 魏東升.空間向量基底法在立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（05）：26-29.