基于數(shù)與運算一致性的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)探析

汪海龍

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要對教材中類似的知識點進行梳理，找到其中的相同點或相同的道理，促進學(xué)生知識體系結(jié)構(gòu)化。分數(shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣，都是平均分的過程，雖然教材沒變，但是教師必須基于數(shù)與運算一致性開展教學(xué)，以計數(shù)單位為抓手，促使學(xué)生將整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法深層次地聯(lián)系起來，促進知識體系結(jié)構(gòu)化，提升學(xué)生的思維水平。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)與運算一致性；知識體系結(jié)構(gòu)化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出：“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系?！边@就要求教師對教材中類似的知識點進行梳理，找到其中的相同點或相同的道理，促進學(xué)生知識體系結(jié)構(gòu)化。北師大版數(shù)學(xué)教材五年級下冊“分數(shù)除法（一）”一課是分數(shù)除法的起始課，教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然知道分數(shù)除以整數(shù)的計算方法是除以一個不為零的整數(shù)，相當于乘以這個整數(shù)的倒數(shù)，進而發(fā)現(xiàn)分數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的分數(shù)乘法進行計算，但是仍然不明白為什么整數(shù)、小數(shù)除法是平均分，而分數(shù)除法就不能平均分了，造成了小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化的障礙。對此，筆者認為，分數(shù)除法和整數(shù)除法、小數(shù)除法一樣，都是平均分的過程，教師必須基于數(shù)與運算一致性開展教學(xué)，以計數(shù)單位為抓手，促使學(xué)生將整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法深層次地聯(lián)系起來，形成結(jié)構(gòu)化知識體系，提升學(xué)生的思維水平。

一、細分分數(shù)單位——掌握分數(shù)除法的核心

新課標指出：“進一步理解計數(shù)單位對分數(shù)表達的重要性?！狈謹?shù)單位是分數(shù)除法計算的核心?；趯W(xué)生年齡特點，雖然整數(shù)、小數(shù)可以用小棒、計數(shù)器等直觀模型表示，但是筆者認為方格紙（面積模型）可以直觀地將整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的關(guān)系聯(lián)系起來，即方格紙可以看作“整體1”，基本可以表示小學(xué)范圍內(nèi)的整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，也可以表示其計數(shù)單位（分數(shù)單位）。方格紙可以表示整數(shù)，也可以把1張方格紙平均分成10份、100份、1000份等表示小數(shù)，還可以把1張方格紙平均分成若干份表示分數(shù)。在本課中，教師要用深、用透方格紙，讓學(xué)生經(jīng)歷細分分數(shù)單位的形成過程，理解細分分數(shù)單位的必要性，進而理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法的數(shù)與運算一致性。

本課共有三個問題串，其中第二個問題串涉及分數(shù)單位細分的問題，筆者和學(xué)生共同經(jīng)歷教材呈現(xiàn)的兩種思路，注重引導(dǎo)學(xué)生觀察方格紙表示的算式的變化，即分數(shù)單位細分的過程。

師：按照你們剛才的經(jīng)驗試一試，分一分。（學(xué)生操作）

師：分完的同學(xué)和小組同學(xué)說一說你是怎么分的，發(fā)現(xiàn)了什么問題。

師：這道題還能用你們剛才的經(jīng)驗做嗎？

師：那么，用畫圖能求出結(jié)果嗎？誰來講講？

成3份，取其中的一份就可以了。

師：同學(xué)們，你們來看他畫的圖，畫的是多少呢？

師：我聽明白了，同學(xué)們聽明白了嗎？可是在他的圖上還是不容易看出來陰影部分是整張紙的幾分之幾，怎么辦？

生：我有辦法，他只把這邊平均分成了3份，要再把另一邊也平均分成3份，不就是把整張紙平均分成相等的部分了嗎？

師：請同學(xué)仔細回想剛才畫圖的過程，我們是怎樣畫的？（學(xué)生匯報）

師：這位同學(xué)圖畫得很規(guī)范，講解得也很清楚，

師：同學(xué)們，我們在計算整數(shù)除法和小數(shù)除法時，如果高位上的數(shù)字或余數(shù)不夠除時，只需把余數(shù)和后一位的數(shù)相加，轉(zhuǎn)化成低位上的數(shù)就能夠繼續(xù)算下去。通過剛才的畫圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)當分子不能被除數(shù)整除時，就需要將被除數(shù)的分數(shù)單位細分，分成單位更小的分數(shù)。

師：由此可見，整數(shù)除法、小數(shù)除法、分數(shù)除法的算理都是相通的，都是平均分的過程，都是將計數(shù)單位細分的過程，只不過在分數(shù)除法里，計數(shù)單位是分數(shù)單位而已。

在教學(xué)三道題的畫圖過程中，學(xué)生經(jīng)歷了三次分數(shù)單位細分的過程。本環(huán)節(jié)是本課的核心環(huán)節(jié)，學(xué)生通過找到新的分數(shù)單位，理解了除法計算的本質(zhì)，感悟到數(shù)與運算的一致性，打通了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法的聯(lián)系，在整數(shù)、小數(shù)除法的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了新的生長點，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、理解算理，發(fā)現(xiàn)算法——促進知識結(jié)構(gòu)化

除法計算本身在小學(xué)計算中是難點，除法的基本算理是當大單位不夠分時，就轉(zhuǎn)化成較小的單位繼續(xù)往下分。因此，教師務(wù)必要把“平均分”講清楚，尤其碰到不夠分的情況時，必須讓學(xué)生明白其中的道理。算理的理解與算法的選擇是運算的重心。算法就是運算的方法，解決“怎么算”“知其然”的問題。學(xué)生明白了分數(shù)除法的運算道理后，算法自然迎刃而解。

整數(shù)除法和小數(shù)除法的進率都是10，而且都有豎式計算方法，算理都是如果前一位在平均分時有余數(shù)，只需要將余數(shù)和后一位數(shù)相加，繼續(xù)平均分即可。但是，分數(shù)除法沒有豎式計算方法，這就造成一些教師認為分數(shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的算理不同，但筆者認為分數(shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的算理是一致的。學(xué)生在五年級上冊學(xué)習(xí)了分數(shù)單位，知道分數(shù)的分母越大，說明該分數(shù)的分數(shù)單位越小，也說明“整體1”平均分的份數(shù)越多。學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)加減法的時候同樣知道要把不同分數(shù)單位的分數(shù)轉(zhuǎn)化為相同分數(shù)單位的分數(shù)，一般轉(zhuǎn)化成分數(shù)單位較?。ǚ帜笖?shù)字較大）的分數(shù)。分數(shù)除法也是同樣的道理，當分數(shù)不夠分時，只需要將現(xiàn)有被除數(shù)的分數(shù)單位繼續(xù)細分，分成分數(shù)單位較小的分數(shù)，再繼續(xù)平均分即可。只不過分數(shù)除法的進率不是十，而是與分數(shù)單位有關(guān)。在備課時，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生在對分數(shù)除法算理充分了解的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)分數(shù)除法和分數(shù)乘法的關(guān)系，理解算理和發(fā)現(xiàn)算法互為照應(yīng)，促使學(xué)生加深對分數(shù)除法的理解。

師：通過剛才的畫圖，我們知道了當分數(shù)單位不夠分時，就要細分分數(shù)單位，但是分數(shù)除法題千千萬，我們不能僅靠畫圖解決，還有什么好辦法？

師：學(xué)以致用，很棒，還有誰來說一說？

師：怎么樣，有沒有和你的想法不謀而合？第二道題誰來講一講？

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)所有的分數(shù)除以一個不為零的整數(shù)，都相當于乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。

師：這真是個偉大的發(fā)現(xiàn)，這個發(fā)現(xiàn)與分數(shù)乘法之間有什么關(guān)系？

生：分數(shù)除以不為零的整數(shù)，都可以將除法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的分數(shù)乘法進行計算。除以一個不為零的整數(shù)，相當于乘以這個整數(shù)的倒數(shù)，也就是整數(shù)分之一。

本環(huán)節(jié)，學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)算法，即除以一個不為零的整數(shù)，相當于乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。這也是分數(shù)除法與分數(shù)乘法的聯(lián)系。這么做既提高了學(xué)生的運算能力，又發(fā)展了推理意識。至此，學(xué)生將分數(shù)除法與整數(shù)除法、小數(shù)除法、分數(shù)乘法都建立起了聯(lián)系，形成了清晰的知識框架。

三、練習(xí)檢測，落實目標——注重對算理過程的理解

練習(xí)環(huán)節(jié)，筆者依舊緊緊圍繞分數(shù)除法的算理、算法、分數(shù)單位的細化，考查學(xué)生對分數(shù)除法算理的掌握情況，再次落實教學(xué)目標。

1.把大正方形的面積看作“整體1”，那么陰影部分的面積變化表示為（? ?）÷（? ?）=（? ?）×（? ?）=（? ? ）。

第1題既給了方格圖，也給了列式的提示，幫助學(xué)生梳理分數(shù)除法的算理和算法。第2題依托教材中的情境，繼續(xù)考查學(xué)生對于分數(shù)除法算理、算法的掌握情況，一是看畫圖是否將分數(shù)單位細分，二是看學(xué)生列式是否將分數(shù)除法的算法體現(xiàn)出來，即是否將分數(shù)除法與分數(shù)乘法的聯(lián)系體現(xiàn)出來。第3題將分數(shù)除法放在了真實的情境中，需要學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)信息，畫圖并解答。第4題是對分數(shù)除以整數(shù)算理的考查，考查學(xué)生是否真正理解了分數(shù)除以整數(shù)的算理。以上這四道題都離不開用圖來解釋，目的是讓學(xué)生通過觀察圖，再次深刻理解分數(shù)除法的算理。學(xué)生多次經(jīng)歷被除數(shù)分數(shù)單位細分的過程和除以一個整數(shù)，相當于乘以這個整數(shù)的倒數(shù)的算法過程，再次提升了數(shù)學(xué)思維。

教師要認識到：即使簡單的計算，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的良好契機，在充分理解的基礎(chǔ)上進行結(jié)構(gòu)化的計算同樣能體現(xiàn)學(xué)生的思維水平。這樣，能提升學(xué)生的運算能力，促進數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

參考文獻：

［1］董文彬.從運算能力走向運算素養(yǎng)：關(guān)于運算及運算教學(xué)的思考［J］.教育科學(xué)論壇，2019（28）.

［2］陳士策.在結(jié)構(gòu)中感悟運算的一致性：“分數(shù)乘整數(shù)”教學(xué)實踐與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2023（24）.