HPM視角下小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

竺君斐

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提倡設(shè)計(jì)與實(shí)施實(shí)踐活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等。HPM是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合，HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，既能發(fā)揮數(shù)學(xué)史“立德樹人”的教育價(jià)值，又能幫助學(xué)生深入理解知識(shí)本源，提升思維能力，實(shí)現(xiàn)文化傳承。教師要根據(jù)不同史料內(nèi)容，設(shè)計(jì)體驗(yàn)式、實(shí)驗(yàn)式、探究式、游戲式等不同形式的實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)“開啟智慧，潤澤生命，立德樹人”的教育目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：HPM；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在“教材編寫建議”中強(qiáng)調(diào)：“內(nèi)容設(shè)計(jì)要反映數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展史中偉大數(shù)學(xué)家，特別是中國古代與近現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家，以及他們的數(shù)學(xué)成果在人類文明發(fā)展中的作用，增強(qiáng)學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感?！?/p>

在現(xiàn)有的教材中，數(shù)學(xué)史內(nèi)容包括數(shù)學(xué)知識(shí)的由來（含數(shù)學(xué)符號(hào)演變史）、數(shù)學(xué)工具迭代史，數(shù)學(xué)家故事及主要成就、傳統(tǒng)游戲等。實(shí)際上，這些內(nèi)容多數(shù)并未安排在教材正文中，而是安排在教材各章節(jié)練習(xí)后面“你知道嗎”小欄目中，其展現(xiàn)形式往往僅有幾行文字和幾幅圖片。人教版數(shù)學(xué)教材中共有40處數(shù)學(xué)史內(nèi)容，共約17.5面；蘇教版數(shù)學(xué)教材中共有31處數(shù)學(xué)史內(nèi)容，共約14.5面。這些內(nèi)容短小精悍，教師只有深挖其內(nèi)涵，才能把底蘊(yùn)深厚的數(shù)學(xué)史融入學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)之中。

設(shè)計(jì)HPM視角下的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，絕不是直接“點(diǎn)綴”和“附加”史料，而是通過“重構(gòu)”，把數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中。在課堂上，教師要給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，引領(lǐng)他們操作、實(shí)驗(yàn)、探究、游戲，從而快樂地接受有歷史溫度、飽含古人智慧的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)深入理解知識(shí)本源、提升思維能力、傳承數(shù)學(xué)文化的目的。

一、設(shè)計(jì)體驗(yàn)式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，追溯知識(shí)演變史

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成經(jīng)歷了漫長的歷史演變過程，哪怕一個(gè)小小的數(shù)學(xué)符號(hào)都經(jīng)歷了很多變化。教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)體驗(yàn)式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生追溯知識(shí)演變史。

例如，在教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元起始課時(shí)，其核心知識(shí)點(diǎn)“大數(shù)”的本質(zhì)是十進(jìn)位值制。位值制，即同樣的數(shù)字在不同的位置上能表示不同數(shù)值。位值制對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來說是非常抽象的，為此，教師可以設(shè)計(jì)“寫數(shù)實(shí)踐”環(huán)節(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“中國算籌的位值制”與“古埃及的累加制”進(jìn)行對(duì)比，幫助他們深刻體驗(yàn)中國位值制的簡約與美妙，體會(huì)位值制的意義與優(yōu)勢(shì)。

【第一環(huán)節(jié)】用算籌創(chuàng)編235，用算籌表示5555。

教師介紹中國算籌有橫向與縱向兩種表示方法后，讓學(xué)生嘗試用算籌創(chuàng)編235（見圖1）。學(xué)生獨(dú)立思考，積極創(chuàng)造，教師呈現(xiàn)學(xué)生不同作品，師生評(píng)價(jià)交流，明確中國古人的記數(shù)規(guī)則，即“個(gè)位縱向十位橫向”。教師引導(dǎo)學(xué)生按照規(guī)則用算籌寫數(shù)5555。

【第二環(huán)節(jié)】用古埃及數(shù)表示5555。

教師出示圖2，介紹古埃及1～9，10，100，1000，10000以及古埃及記數(shù)235，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)古埃及記數(shù)規(guī)則，嘗試用古埃及數(shù)表示5555。學(xué)生用古埃及累加制記數(shù)5555時(shí)，紛紛感嘆“古埃及數(shù)5555好長，有16個(gè)符號(hào)”“手都寫酸了”。

【第三環(huán)節(jié)】教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第一次對(duì)比。

同樣是兩千多年前的記數(shù)方法，對(duì)比古埃及5555與古代中國5555，你想說些什么？

生：古埃及的個(gè)、十、百、千有專門的符號(hào)，古代中國的算籌則用位置加以區(qū)分。

生：古埃及的符號(hào)太多、太復(fù)雜，我們古代中國的算籌更方便。

生：我們古代中國人真聰明。

生： 作為中國人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二次對(duì)比：對(duì)比古代中國算籌和現(xiàn)代記數(shù)法，你想說什么？

生：用阿拉伯?dāng)?shù)寫5555更簡單。

【第四環(huán)節(jié)】教師小結(jié)。

數(shù)學(xué)追求簡潔美，它是人類共同的智慧結(jié)晶?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，凝聚了一代又一代數(shù)學(xué)家們的努力和智慧。用不同的數(shù)位表示個(gè)、十、百、千，叫做“位值制”，它表現(xiàn)了古代中國人的智慧，被馬克思稱為“人類最偉大的發(fā)明”。

數(shù)學(xué)知識(shí)的演變史（含數(shù)學(xué)符號(hào)演變史）內(nèi)容在現(xiàn)行教材中占比最多，教師都可以遵循“追根溯源，回歸歷史”的設(shè)計(jì)策略，引導(dǎo)學(xué)生開展類似的體驗(yàn)式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，使他們從歷史、文化等多角度理解知識(shí)本源，傳承科學(xué)精神。

二、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，了解度量衡工具迭代史

度量衡是專門用來測(cè)量長度、重量、容量、時(shí)間、方向等單位的器具。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的古代度量衡工具基本上都是中國發(fā)明的，有日晷、銅漏壺、指南針、算籌、算盤等。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生參觀博物館加以了解，也可以在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，幫助學(xué)生了解中國古代度量衡工具的優(yōu)勢(shì)與缺點(diǎn)，明白新舊工具迭代的原因，明晰進(jìn)化歷程，培養(yǎng)批判性思維。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)時(shí)間”單元時(shí)，教師可以結(jié)合中國古代計(jì)時(shí)工具——日晷，引導(dǎo)學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，四人為一小組合作探究，用手電筒模擬太陽光從東到西轉(zhuǎn)動(dòng)，描繪竹竿影子。教師提供白紙圓盤，中間插一根竹竿，讓學(xué)生手持手電筒照竹竿，模擬太陽從東到西地轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察竹竿受光照后留下的影子，分別記錄上午、中午、下午3個(gè)時(shí)間段的影子。學(xué)生記錄完以后，教師呈現(xiàn)學(xué)生《陽光下的影子》作品，讓學(xué)生說一說一天中竹竿影子的變化規(guī)律。對(duì)比自己的作品與日晷面、鐘面，學(xué)生發(fā)現(xiàn)相似之處，并尋找內(nèi)在關(guān)聯(lián)，體會(huì)計(jì)時(shí)工具的演變歷程。

雖然當(dāng)前日晷、水浮式指南針、滴漏壺、算籌、算盤等已經(jīng)被更先進(jìn)的工具所代替，但是其背后的原理，卻是中國古人智慧的結(jié)晶，值得后人了解、熟知，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，增強(qiáng)民族自豪感。實(shí)驗(yàn)式實(shí)踐活動(dòng)還可以讓數(shù)學(xué)與科學(xué)相融合，這樣有利于營造更為生動(dòng)有趣的課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

三、設(shè)計(jì)問題探究式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，領(lǐng)悟古人思想方法

《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《莊子》等中國古籍記載了大量數(shù)學(xué)思想與方法。教師可以借助問題鏈激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，使他們領(lǐng)悟古人的數(shù)學(xué)思想與方法。

例如，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三角形、梯形面積公式推導(dǎo)時(shí)，教材中的例題基本采用了倍拼法，而在推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)卻用了剪拼法，學(xué)生因遷移而質(zhì)疑：“三角形與梯形是否也可以用剪拼法變成其他規(guī)則圖形呢？”

此時(shí)，教師可以呈現(xiàn)教材中的數(shù)學(xué)史小欄目內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀，再實(shí)踐操作，最后自主推導(dǎo)得到面積公式（見圖3）。在學(xué)生畫一畫，剪一剪時(shí)，教師用問題鏈啟發(fā)學(xué)生思考，領(lǐng)悟“出入相補(bǔ)”的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生獨(dú)立思考能力與實(shí)踐能力，滲透數(shù)學(xué)文化。

【問題1】請(qǐng)觀察圖3，古人把三角形、梯形剪拼成長方形與平行四邊形，用“出入相補(bǔ)”原理得到面積計(jì)算公式，你能猜猜古人的“出入相補(bǔ)”是什么意思嗎？

【問題2】通過剪拼會(huì)改變面積的大小嗎？

【問題3】三角形變成長方形后，怎樣推導(dǎo)三角形的面積公式呢？

【問題4】梯形怎樣剪拼能變成長方形？梯形怎樣剪拼能變成平行四邊形？梯形怎樣剪拼能變成三角形？

在教學(xué)《九章算術(shù)》中圓柱、圓錐的體積計(jì)算，理解劉徽的割圓術(shù)、極限思想等時(shí)，教師都可以借助問題鏈激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生合作探究，使其與古人的數(shù)學(xué)思想方法實(shí)現(xiàn)碰撞。

四、設(shè)計(jì)游戲式數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，不斷進(jìn)階為系列化課程

適合小學(xué)生的數(shù)學(xué)益智類游戲有七巧板、華容道、數(shù)獨(dú)、魔方、漢諾塔等。教師可以將不斷進(jìn)階的游戲開發(fā)成系列化的游戲課程，以游戲促思維、激興趣，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)完“認(rèn)識(shí)圖形”后，教師就可以利用課內(nèi)或課外時(shí)間，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展“七巧板”游戲活動(dòng)。活動(dòng)單可以設(shè)計(jì)如下：

七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，為人類文化寶庫增添了不少色彩?？此坪唵蔚钠咔砂搴茉缇鸵蚜餍杏谑澜绺鞯?，被外國朋友稱為“唐圖”“東方魔板”。日本的七巧板、德國李希特的多巧板、丹麥庇德·哈恩的立體七巧板，都是根據(jù)中國的七巧板改良、發(fā)展而來的。

那么，中國的七巧板是怎么發(fā)明的呢？宋代黃伯思設(shè)計(jì)發(fā)明了長方形案幾（燕幾），共7件，它們寬度相等，長度關(guān)系非常巧妙。其可以視賓客的多少和菜肴的豐盛程度拼合成不同形狀的餐桌，一共能變化出76種組合。

明代的嚴(yán)澄在宋代黃伯思燕幾的基礎(chǔ)上又設(shè)計(jì)了蝶翅幾，首次出現(xiàn)了三角形幾、梯形幾。它們拼在一起是一只蝴蝶展翅的形狀，分開后可以拼成正方形、長方形、八邊形、S形等復(fù)雜的形狀。明代的戈汕將蝶翅幾創(chuàng)造出了一百多種組合。

到了清朝，兼有三角形、正方形、平行四邊形的七巧案幾問世了，后來人們把它改造成玩具，就是現(xiàn)在的七巧板。

那么，怎樣才能利用七巧板快速拼出美麗的圖案呢？首先，要會(huì)觀察，觀察邊與角，發(fā)現(xiàn)邊與邊之間的關(guān)系，角與角之間的關(guān)系。其次，要根據(jù)邊與角的特征拼組（見圖4）。

基于這樣的實(shí)踐活動(dòng)，教師還可以將其進(jìn)階為游戲式實(shí)踐活動(dòng)課程（見表1）。

基于新課標(biāo)的相關(guān)要求，將數(shù)學(xué)史融入課堂，開展體驗(yàn)式、實(shí)驗(yàn)式、探究式、游戲式實(shí)踐活動(dòng)，能促進(jìn)學(xué)生愉悅地學(xué)習(xí)有溫度、有內(nèi)涵、有情懷的數(shù)學(xué)知識(shí)；有利于學(xué)生習(xí)得系統(tǒng)的知識(shí)，知曉知識(shí)之間的聯(lián)系，促使學(xué)生形成更為完善的數(shù)學(xué)思想。HPM視角下的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，變學(xué)數(shù)學(xué)為做數(shù)學(xué)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)像數(shù)學(xué)家一樣去實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘，收獲成功的喜悅。這樣的實(shí)踐活動(dòng)拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)、歷史與現(xiàn)實(shí)之間的距離，培養(yǎng)了學(xué)生自主探究、合作交流的能力，建構(gòu)起學(xué)生對(duì)知識(shí)意義的理解，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加有效。

參考文獻(xiàn)：

［1］岳增成，汪曉勤.國際數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）發(fā)展歷程及啟示［J］.上海教育科研，2022（4）.

［2］王鑫，岳增成，汪曉勤.HPM研究的框架與進(jìn)展［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（6）.

［3］陳華聰，李玲，李黔蜀.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合：HPM的理論基礎(chǔ)與實(shí)踐方式［J］.教學(xué)與管理，2013（36）.