小學數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”的三個基本要素特征

【摘 要】新課標要求學生“有關聯(lián)地學”和教師“有結(jié)構地教”。要實現(xiàn)這一要求，有效“聯(lián)結(jié)”是一個追求的方向，構建“聯(lián)結(jié)課堂”是一條有效途徑?！奥?lián)結(jié)課堂”以結(jié)構化為特征，以整體建構為目標，促進師生聯(lián)結(jié)力的發(fā)展。教師圍繞課堂教學中的基本組成要素構建“聯(lián)結(jié)課堂”，要凸顯以下三個特征：教師維度要具有結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)能力；教材維度要提供結(jié)構化內(nèi)容和聯(lián)結(jié)支架；學生維度要進行結(jié)構化理解和聯(lián)結(jié)思考。

【關鍵詞】小學數(shù)學 聯(lián)結(jié)課堂 基本要素 主要特征

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，“幫助學生建立……結(jié)構化的數(shù)學知識體系”，讓他們“了解數(shù)學知識的……結(jié)構與關聯(lián)”[1]85，教師通過“整體設計，分步實施”，適當進行結(jié)構化整合等手段，“促進學生對數(shù)學教學內(nèi)容的整體理解與把握”[1]86。要實現(xiàn)上述要求，有效“聯(lián)結(jié)”是一個方向，它是數(shù)學學科特質(zhì)的體現(xiàn)。在當前的數(shù)學課堂教學中，教師和學生的聯(lián)結(jié)意識和能力還比較弱，與新課標的要求有一定差距。因此，努力構建一個數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”是當前的形勢所需。

所謂數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”，是指數(shù)學教師在課堂教學中，在結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)意識的統(tǒng)領下，厘清某一層級整體的內(nèi)在結(jié)構關聯(lián)，找準相應的聯(lián)結(jié)路徑，搭建聯(lián)結(jié)支架，帶領學生通過對聯(lián)結(jié)點的捕捉和進階聯(lián)網(wǎng)等一系列聯(lián)結(jié)思考活動，實現(xiàn)學生“有關聯(lián)地學”和教師“有結(jié)構地教”，進而發(fā)展師生的聯(lián)結(jié)力，達成整體建構的目標。

數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”以結(jié)構化為特征，以整體建構為目標。構建數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”首先要弄清那些起本質(zhì)作用的基本要素的特征。圍繞教師、教材和學生這三個基本組成要素，我們認為“聯(lián)結(jié)課堂”的有效構建至少需要具備以下三個方面的主要特征（見圖1）。

圖1 小學數(shù)學“聯(lián)結(jié)課堂”的主要特征

一、教師維度：具有結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)能力

教學中有效聯(lián)結(jié)的開啟者和主導者是教師，如果教師沒有結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)意識，那就不可能有聯(lián)結(jié)教學的行為。當然，有了思想和意識，如果操作層面的聯(lián)結(jié)能力較弱，有效聯(lián)結(jié)也難以深度發(fā)生。因此，一位教師頭腦中是否具有結(jié)構化思想和行為中有沒有聯(lián)結(jié)能力是能否構建“聯(lián)結(jié)課堂”的前提性要素。

數(shù)學教師的結(jié)構化思想體現(xiàn)在哪些方面？第一，頭腦中要有整體規(guī)劃和長程的思想，用長遠眼光審視整體，知會“昨天”，看清“今天”，放眼“明天”，既見樹木，更見森林[2]。第二，心中要有結(jié)構意識，針對不同層級的整體，都能有意識地去溝通元素與整體、元素與元素之間的內(nèi)在結(jié)構關聯(lián)，教學中能主動挖掘“構”功能，會用結(jié)構本質(zhì)進行整體聯(lián)結(jié)，追求“1+1＞2”的效果。例如，講授“小數(shù)加減”這一課，具有結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)意識的教師在備課時會首先將這一內(nèi)容放到“加減計算”的整體中去審視，弄清小學階段該整體的構成元素有“整數(shù)加減”（“昨天”已學）、“小數(shù)加減”（“今天”在學）和“分數(shù)加減”（“明天”要學）。接著去梳理元素之間的內(nèi)在結(jié)構關聯(lián)，發(fā)現(xiàn)它們之間“法不同、理相同”，被共同本質(zhì)統(tǒng)領著。該整體中起著紐帶作用的聯(lián)結(jié)點就是“相同計數(shù)單位個數(shù)的加減”，這樣就通過“聯(lián)動找點”梳理出了加減計算的共同本質(zhì)。在掌握了整體聯(lián)結(jié)后，教師就可以進行整體規(guī)劃，布下前有孕伏、不斷進階、一脈相承的結(jié)構化藍圖，并在分階段實施中抓住共同本質(zhì)進行教學，有力地促進結(jié)構化遷移，享受“構”功能帶來的紅利。

當教師頭腦中有了結(jié)構化思想和聯(lián)結(jié)意識之后，還要看他能不能把思想、意識轉(zhuǎn)化為行動，即觀察他在“有結(jié)構地教”各環(huán)節(jié)的“聯(lián)結(jié)力”表現(xiàn)。我們將數(shù)學課堂觀察評價分為“一般性評價（共性）”和“聯(lián)結(jié)力評價（特質(zhì)）”，兩者各占50分，總分100分?？荚u一位數(shù)學教師“聯(lián)結(jié)課堂”開展的有效程度，從整體上來說，可觀察該教師在整個教學過程中是否具有聯(lián)結(jié)意識，備課時是否進行了結(jié)構化設計，以及上課時是否開展了結(jié)構聯(lián)結(jié)實踐。具體可運用下面的評價量表來初步評估數(shù)學教師的結(jié)構化聯(lián)結(jié)力教學水平（見表1）。

二、教材維度：提供結(jié)構化內(nèi)容和聯(lián)結(jié)支架

從教材維度來看，有效聯(lián)結(jié)活動能否發(fā)生，主要看能否給學生提供具有結(jié)構化特征的學習材料（可用教材或?qū)滩倪M行二次開發(fā)設計）?！霸O計體現(xiàn)結(jié)構化特征的課程內(nèi)容”是新課標提出的五條課程理念之一[1]2。學習內(nèi)容的呈現(xiàn)是否具有結(jié)構化特征會產(chǎn)生不同的學習路徑，獲得不同的學習效果。在給學生提供結(jié)構化學習內(nèi)容的時候，為了使聯(lián)結(jié)學習活動順利展開，教師可以為學生搭建一個聯(lián)結(jié)支架，在操作層面引領導航。給學生提供了合適的結(jié)構化內(nèi)容和聯(lián)結(jié)支架，就為學生的聯(lián)結(jié)學習活動打好了基礎。

什么樣的學習內(nèi)容是具有結(jié)構化特征的呢？我們認為，首先，要具有整體性。這個整體可分為很多層級，可大可小。教師在確定了某一層級的整體后，提供給學生的學習材料要系統(tǒng)完整，為實現(xiàn)最終的整體建構做好內(nèi)容保障。其次，要對結(jié)構化學習具有驅(qū)動作用。教師要將學習材料由散狀分布轉(zhuǎn)為有結(jié)構地呈現(xiàn)，以利于學生開展分類探究、對比辨析、聯(lián)結(jié)本質(zhì)、溝通遷移等一系列結(jié)構化學習活動。最后，學習內(nèi)容要能促進聯(lián)結(jié)活動順利開展。教師要吃透相關聯(lián)內(nèi)容的邏輯序列，按內(nèi)在邏輯引領學生進行整體建構活動。

如何給初具結(jié)構化特征的內(nèi)容進一步搭建一個聯(lián)結(jié)支架，以便深入展開聯(lián)結(jié)學習活動？“聯(lián)結(jié)課堂”的聯(lián)結(jié)路徑按范圍進階分為課時、單元、板塊等，按是否新授又可分為新知探索路徑和練習復習路徑。不同的路徑有各自的聯(lián)結(jié)支架搭建策略，但都要圍繞聯(lián)結(jié)點或模塊結(jié)構來設計輔助支架。①單課時新授類型。既可以活用教材結(jié)構來搭建聯(lián)結(jié)支架，又可以根據(jù)改革需要對教材進行整合重組，設計結(jié)構化統(tǒng)整后的新課時聯(lián)結(jié)支架。該類型主要圍繞聯(lián)結(jié)點通過“點動成線”搭建線性聯(lián)結(jié)支架。②單元歸總和板塊梳理類型。該類型由于知識和方法的綜合性較強，聯(lián)結(jié)維度比較豐富，教師可以圍繞聯(lián)結(jié)點運用“線動成面”和“面動構體”等策略，給學生的結(jié)構化學習提供平面聯(lián)結(jié)支架和立體聯(lián)結(jié)支架。③練習復習題類型。該類型主要為新知模塊的形成和鞏固服務，以結(jié)構化練習（整理）取代碎片化題海（重復），實現(xiàn)以少勝多的聯(lián)結(jié)功效。教師可以圍繞模塊結(jié)構本質(zhì)給學生設計結(jié)構化題組型聯(lián)結(jié)支架。

例如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”這節(jié)課，要完成“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理算法探究，同時又是小學階段整數(shù)筆算的收官課。因此，這節(jié)課既有單課時新授的目標，又有聯(lián)結(jié)梳理的任務。要完成這些任務，教師可以為學生提供具有結(jié)構化特征的整體學習內(nèi)容和推進序列（聯(lián)結(jié)支架）：

用豎式計算13×2→13×12→113×12→12×

113（交換位置驗算）。

教師通過四個進階流程“一材多變”的多次探究，使學生明白：兩位數(shù)乘一位數(shù)是“算一層”；兩位數(shù)乘兩位數(shù)是“算二層”；三位數(shù)乘兩位數(shù)還是“算二層”（量變質(zhì)不變），實現(xiàn)了結(jié)構遷移；兩位數(shù)乘三位數(shù)是“算三層”，進行了結(jié)構拓展。學生通過步步深入地對比辨析和聯(lián)結(jié)遷移，明白了整數(shù)豎式筆算的本質(zhì)內(nèi)涵（聯(lián)結(jié)點）是“算幾層由下面這個乘數(shù)的位數(shù)決定”，這樣，以后不管學幾位數(shù)乘幾位數(shù)，學生都能按照這個結(jié)構本質(zhì)進行類推了，從而實現(xiàn)了該系列內(nèi)容的整體建構[3]。

又如，學習“商不變規(guī)律”一課，其模塊結(jié)構本質(zhì)是探索“被除數(shù)和除數(shù)怎樣變化時商才不變”。為了強化該模塊中被除數(shù)和除數(shù)的聯(lián)結(jié)規(guī)律，在練習應用階段，教師可為學生提供這樣的題組型聯(lián)結(jié)支架進行鞏固深化：

（80○□）÷（20○□）=4，在○里填加減乘除符號，在□里填數(shù)字。

在該聯(lián)結(jié)支架的引領下，學生通過開放式組合可以填出一系列的題組算式，在填的過程中學生會發(fā)現(xiàn)：“數(shù)字相同運算符號不同”和“運算符號相同數(shù)字不同”以及“運算符號和數(shù)字都不同”這幾種情況都不能實現(xiàn)“商不變”的目標，并且“同時加或減相同的數(shù)”商也變了，只有“同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外）”商才不變，而且□里的數(shù)可以是整數(shù)（除不盡也可以）、小數(shù)、分數(shù)或字母……通過這樣的結(jié)構化題組訓練，學生深化了對“商不變規(guī)律”本質(zhì)特征的認識，聯(lián)結(jié)思維獲得了發(fā)展。

三、學生維度：進行結(jié)構化理解和聯(lián)結(jié)思考

教師具有了聯(lián)結(jié)的意識和能力，行動上也給學生提供了結(jié)構化的學習內(nèi)容，搭建好了聯(lián)結(jié)支架，最終考查有效聯(lián)結(jié)活動是否深度發(fā)生，落腳點還是在學生。因此，“聯(lián)結(jié)課堂”能否成功構建關鍵在于學生是否進行了結(jié)構化理解和聯(lián)結(jié)思考。獲得“結(jié)構化理解”是結(jié)構化學習追求的目標，要達到這一目標，就要有效開展聯(lián)結(jié)思考活動，通過聯(lián)結(jié)性思維對所學的知識和方法進行整體深度認知，獲得融會貫通的系統(tǒng)性結(jié)構，進而實現(xiàn)整體建構[4]。

學生的結(jié)構化理解表現(xiàn)在哪些地方？數(shù)學結(jié)構化學習的思維方式從“散點狀態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢w思考”，學習結(jié)果由“碎片疊加”轉(zhuǎn)變?yōu)椤跋到y(tǒng)入構”，學習過程表現(xiàn)為主動求聯(lián)、對比辨析、本質(zhì)溝通、結(jié)構遷移等。學生通過結(jié)構化的深度理解，實現(xiàn)對數(shù)學知識和方法的整體建構。具體表現(xiàn)在兩個方面：①結(jié)構化知識。所獲得的結(jié)構化數(shù)學知識具有整體性和邏輯性，有利于記憶；所獲得的結(jié)構化數(shù)學知識具有關聯(lián)性，有利于結(jié)構化理解和應用；所獲得的結(jié)構化數(shù)學知識具有類推性，有利于舉一反三。②結(jié)構化方法。所形成的結(jié)構化方法能運用同化和順應自主開展數(shù)學學習活動；能自覺運用各種表征方式結(jié)構化地理解數(shù)學知識和解決數(shù)學問題；能夠關聯(lián)各種元素實現(xiàn)數(shù)學認知方法的有效遷移。

“聯(lián)結(jié)思考能力”這一特質(zhì)素養(yǎng)如何觀察評估？學生的聯(lián)結(jié)思考能力是“聯(lián)結(jié)力”的核心部分，它是指學生在學習思考過程中將相關的數(shù)學知識與技能、思維與方法聯(lián)結(jié)起來形成網(wǎng)狀結(jié)構的能力。具體來說，就是學生在面對數(shù)學新知識、新問題時，能主動關聯(lián)已有認知結(jié)構，激活解決當前問題的相關聯(lián)結(jié)經(jīng)驗，運用多元表征等手段展開提取與分析，借助聯(lián)結(jié)的力量形成整體認知結(jié)構網(wǎng)，并能主動通過結(jié)構化遷移應用到類似的新情境中。評估時，由低到高可以將學生的水平層級分為“不會聯(lián)結(jié)”“知識關聯(lián)”“多元聯(lián)結(jié)”“反思遷移”，教師具體可運用以下測評量表（見表2）來考查學生是否“有關聯(lián)地學”[5]。

表2 學生數(shù)學聯(lián)結(jié)力等級測評量表

水平層級 測評要素 具體描述

水平0

不會聯(lián)結(jié) 孤立、點狀 不能激活已有知識來解決新問題，不能建立信息之間的關聯(lián)，學習處于孤立無序狀態(tài)

水平1

知識關聯(lián) 單聯(lián)、線性 能結(jié)合學習的問題有序羅列、關聯(lián)、提取所需知識，但關聯(lián)維度比較單一，無法多角度進行聯(lián)結(jié)

水平2

多元聯(lián)結(jié) 多聯(lián)、平面 能多途徑聯(lián)結(jié)提取學習新知所需的信息，能對所學新知的意義進行多角度解釋和多元表征，并獲得較完整的認知結(jié)構

水平3

反思遷移 網(wǎng)狀、立體 能整體聯(lián)結(jié)出知識之間的立體網(wǎng)狀結(jié)構，能主動對所獲知識和方法進行結(jié)構化反思，并能將學習方法和策略通過結(jié)構化遷移運用到后續(xù)同類學習中

例如，探索“三角形的面積計算方法”時，聯(lián)結(jié)能力弱的學生不會用已有的平行四邊形面積公式的推導經(jīng)驗來解決這一新問題，難以建立起相互關聯(lián)。處于“知識關聯(lián)”水平的學生可以把三角形轉(zhuǎn)化成已學過的圖形來進行推導，還知道用割補法來進行等積變形，但由于關聯(lián)維度比較單一，他們不知道三角形怎么割補（割補方法不同，難以直接類推），無法通過多角度聯(lián)結(jié)找到新的轉(zhuǎn)化方法。處于“多元聯(lián)結(jié)”水平的學生能多途徑尋找聯(lián)結(jié)關系，他們能從平行四邊形中連接對角線，發(fā)現(xiàn)可以將平行四邊形分成兩個完全一樣的三角形，然后逆向思考得出“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”，找到了“倍拼”的轉(zhuǎn)化方法（有兩種倍拼方式）；同時還能變換方向繼續(xù)通過割補找到轉(zhuǎn)化方法，通過轉(zhuǎn)化前后的對應關系推導出三角形的面積計算公式，形成新的認知結(jié)構。達到“反思遷移”水平的學生，除了會用上述方法之外，還能進行整體聯(lián)結(jié)，他們通過結(jié)構化反思發(fā)現(xiàn)平面圖形這個整體中的梯形和三角形有結(jié)構相通之處，本節(jié)課的策略和方法完全可以類推運用到梯形面積公式的推導中去，從而有效進行結(jié)構化遷移，并能將平行四邊形、三角形和梯形的面積計算方法進行歸總梳理，最終聯(lián)結(jié)成該板塊知識和方法的立體結(jié)構網(wǎng)，實現(xiàn)整體建構。

數(shù)學的最大魅力在于它的相通性。相通性體現(xiàn)在聯(lián)結(jié)上。數(shù)學學習中大量的內(nèi)容都是通過“以舊迎新”“化新為舊”來往前推進的，推進的抓手就是元素與元素之間、元素與整體之間的聯(lián)結(jié)，這就是數(shù)學學科的特質(zhì)。

影響“聯(lián)結(jié)課堂”構建的因素有很多，本文只從三個基本維度展開分析。這三個基本維度是為了研究需要而細分出來的。在教學實踐中，這三個基本維度不可分割地有機結(jié)合在一起發(fā)生作用，它們具有進階性。首先，教師備課時用結(jié)構化思想去鉆研和開發(fā)教材，為學生設計出結(jié)構化的內(nèi)容，搭建好聯(lián)結(jié)支架。其次，課堂上教師發(fā)揮自己的聯(lián)結(jié)能力，帶領學生對結(jié)構化的學習任務展開聯(lián)結(jié)思考活動，達成結(jié)構化理解的目標。最后，從整體建構高度實現(xiàn)學生“有關聯(lián)地學”和教師“有結(jié)構地教”，從而構建起一個靈動的“聯(lián)結(jié)課堂”。

參考文獻

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本文系浙江省重點課題“基于結(jié)構化的數(shù)學聯(lián)結(jié)教學研究”（立項號：Z2021030）主要成果之一。

（作者系浙江省武義縣教育局教研室正高級教師）

責任編輯：趙繼瑩