破解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的三把“密鑰”

□周清麗

孩子數(shù)學(xué)交“白卷”為哪般

期末測(cè)評(píng)，五年級(jí)的犇犇數(shù)學(xué)又掛了“紅燈”。爸爸拿過(guò)試卷后發(fā)現(xiàn)，凡是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，試卷上全是空白。爸爸的火氣騰一下就上來(lái)了：“這些題為什么都沒(méi)有做？”

犇：“不會(huì)！”

爸：“為什么不會(huì)？”

犇：“不會(huì)就是不會(huì)，要知道為什么不就會(huì)了？”

爸：“你還犟嘴，考前給你講了那么多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，你就一點(diǎn)兒渣沒(méi)掛??？”

犇：“掛住了，但是你講的那些題一道都沒(méi)考，試卷上這些題一道沒(méi)做過(guò)?！?/p>

爸：“沒(méi)做過(guò)，你不會(huì)用腦子想一想？”

犇：“想了，還是不會(huì)。”

爸：……

犇犇這種情況并非個(gè)例。這樣的孩子之所以交“白卷”，是因?yàn)槠綍r(shí)不動(dòng)腦筋，遇到難題就等大人輔導(dǎo)，給出現(xiàn)成答案。到了考場(chǎng)上遇見(jiàn)“熟臉題”，他們會(huì)憑借記憶列式，倘若碰見(jiàn)“生臉題”，只能束手無(wú)策，像犇犇一樣“交白卷”了。

輔導(dǎo)，顧名思義就是輔助引導(dǎo)。孩子是作業(yè)的主體，家長(zhǎng)輔導(dǎo)的意義，不在于“魚(yú)”——給孩子現(xiàn)成答案，讓他們“聽(tīng)明白”，而在于“漁”——從方向、方法上引導(dǎo)孩子動(dòng)腦，讓他們自己“想明白”。

破解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的三把“密鑰”

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一大難點(diǎn)。但難點(diǎn)都是相對(duì)的，有三把“密鑰”可以破解。家長(zhǎng)輔導(dǎo)時(shí)，只要讓孩子握住這三把“密鑰”，再難的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也會(huì)“迎刃而解”。

密鑰一：建模型。什么是模型？簡(jiǎn)單地說(shuō)，模型就是一類(lèi)事物的模樣。比如，牛馬羊是動(dòng)物的模型，自行車(chē)、汽車(chē)、火車(chē)是車(chē)的模型。模型在現(xiàn)實(shí)中并不存在，是人抽象思維的結(jié)果。就小學(xué)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)模型就是依據(jù)事物中的數(shù)量關(guān)系建立起來(lái)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，“可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑。”比如，行程問(wèn)題的模型：距離=速度×?xí)r間；工程問(wèn)題模型：工程量=工作效率×?xí)r間。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題模型：分?jǐn)?shù)=部分/整體，或?qū)懗桑悍謹(jǐn)?shù)=部分÷整體。

有人說(shuō)，這不就是一個(gè)公式嗎？對(duì)，公式就是人們俗稱(chēng)的數(shù)學(xué)模型。之所以叫模型，是因?yàn)檫@個(gè)公式中的兩個(gè)量——“部分”與“整體”，不是現(xiàn)成的，需要人運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象才能得來(lái)。

例1：小紅從圖書(shū)館借了一本書(shū)共200 頁(yè)，第一天看了80頁(yè)，占全書(shū)的2/5。

在這個(gè)問(wèn)題中，整體是全書(shū)共200頁(yè)，部分是第一天讀了80頁(yè)，分?jǐn)?shù)是80÷200=2/5。

例2：光明畜牧場(chǎng)養(yǎng)了900 頭肉牛，養(yǎng)了3600 頭奶牛，肉牛占奶牛的1/4。

在這個(gè)問(wèn)題中，整體是奶牛的數(shù)量3600 頭，部分則成了肉牛的數(shù)量900 頭，分?jǐn)?shù)是肉牛數(shù)量占奶牛數(shù)量的比例900÷3600=1/4。

由例1 和例2 不難看出，數(shù)學(xué)里的“部分”和“整體”，可以指一個(gè)事物，也可以指兩個(gè)或多個(gè)事物，但最終的“分?jǐn)?shù)”，不是比較事物本身，而是事物背后的數(shù)量。

小結(jié)：解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，腦中首先要抽象出哪些是“整體”，哪些是“部分”，這是解決問(wèn)題的前提。

密鑰二：定類(lèi)型。由分?jǐn)?shù)模型：分?jǐn)?shù)=部分÷整體，我們可以得出兩個(gè)變式模型：部分=整體×分?jǐn)?shù)；整體=部分÷分?jǐn)?shù)。

現(xiàn)實(shí)中，不管問(wèn)題有多么復(fù)雜，都可以歸結(jié)為以下這三種基本類(lèi)型。

一是求分?jǐn)?shù)：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用除法。

二是求部分：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法。

三是求整體：已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法。

例3：五年級(jí)有男生20 人，女生25 人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的幾分之幾？

分析：已知“部分”是男生20 人，“整體”是女生25人，求分?jǐn)?shù)，用除法。

解：分?jǐn)?shù)=部分÷整體=20/25=4/5。

例4：小紅從圖書(shū)館借了一本書(shū)共200 頁(yè)，第一天看了全書(shū)的2/5，看了多少頁(yè)？

分析：已知“整體”是全書(shū)共200 頁(yè)，“分?jǐn)?shù)”是2/5，求部分，用乘法。

解：部分=整體×分?jǐn)?shù)=200×2/5=80（頁(yè)）。

例5：光明畜牧場(chǎng)養(yǎng)了900 頭肉牛，是奶牛數(shù)量的1/4，奶牛有多少頭？

分析：已知“部分”是奶牛900 頭，“分?jǐn)?shù)”是1/4，求整體，用除法。

解：整體=部分÷分?jǐn)?shù)=900÷1/4=3600（頭）。

小結(jié)：不管多復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，都是在這三種基本類(lèi)型上發(fā)展或綜合而成的?！罢w”“部分”“分?jǐn)?shù)”三個(gè)量，給出其中兩個(gè)，求其中一個(gè)，只要弄清楚三個(gè)量分別指的是什么，已知什么，然后就可以套公式了。

密鑰三：找分?jǐn)?shù)。通過(guò)對(duì)前面的例題進(jìn)行分析，我們不難看出，分?jǐn)?shù)模型中，分?jǐn)?shù)的分子和分母分別對(duì)應(yīng)著“部分”和“整體”，也就是整體平均分成了幾份（分母），部分占幾份（分子）。這樣，在比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，找出對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)，就成為解題的關(guān)鍵。

例6：小紅從圖書(shū)館借了一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的2/5,還剩120頁(yè)，這本書(shū)共多少頁(yè)？

分析：已知“部分”剩余120頁(yè)，已經(jīng)看過(guò)的分?jǐn)?shù)是2/5，求整體。

在這個(gè)問(wèn)題中，如果直接套用模型，整體=部分÷分?jǐn)?shù)=120÷2/5=300，那就錯(cuò)了。因?yàn)檫@里的2/5 是看過(guò)的，而120 頁(yè)是剩下的，二者并不對(duì)應(yīng)。所以，要找出與“120頁(yè)部分”相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)才行。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，我們知道“整體1”就是整本書(shū)的頁(yè)數(shù)，看過(guò)了2/5，剩下沒(méi)看的當(dāng)然就是1-2/5=3/5 了。這時(shí)我們?cè)偬子媚Ｐ凸骄涂梢粤恕?/p>

解：整體=部分÷分?jǐn)?shù)=120÷3/5=200（頁(yè)）。

列成綜合算式就是：120÷（1-2/5）=120÷3/5=200（頁(yè)）。

小結(jié)：“部分”與“分?jǐn)?shù)”一定要對(duì)應(yīng)才行，如果不對(duì)應(yīng)，就利用“整體1”找出對(duì)應(yīng)部分。

如果問(wèn)題比較復(fù)雜，可以借助線段圖找出對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)。

例7：果園里有棗樹(shù)280 棵，比梨樹(shù)棵數(shù)的3/5 多10 棵，兩種樹(shù)一共有多少棵?

分析：第一層，要求兩種樹(shù)一共多棵，先要知道兩種樹(shù)各自有多少，現(xiàn)在已知棗樹(shù)280棵，只要再求出梨樹(shù)有多少就行了。第二層，這個(gè)題就轉(zhuǎn)向了求梨樹(shù)的數(shù)量，轉(zhuǎn)成了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題——使用密鑰一：建模型。第三層次，部分是棗樹(shù)，整體是梨樹(shù)，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)成了知道部分求整體——使用密鑰二：定類(lèi)型。現(xiàn)在只要使用密鑰三，找出對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)就行了。

棗樹(shù)280 棵，棗樹(shù)比梨樹(shù)的3/5 多10 棵。這個(gè)分?jǐn)?shù)比較復(fù)雜，我們可以借助線段圖來(lái)尋找。

第1 步：先畫(huà)出一條線段當(dāng)作“整體梨樹(shù)”，將“整體1”平均分成5份。第2步：比照著梨樹(shù)的分?jǐn)?shù)畫(huà)出3份棗樹(shù)，因?yàn)闂棙?shù)比這3份還多10棵，然后再向后延伸一小段，當(dāng)作10棵。這樣，數(shù)量關(guān)系就一目了然了：

3/5表示的“部分”是280-10=270（棵）。

這樣，梨樹(shù)棵樹(shù)（整體）=270÷3/5=450（棵），最后，兩種樹(shù)的棵樹(shù)=280+450=730（棵）。

列成總合算式就是：280+（280-10）÷3/5=730（棵）。

家長(zhǎng)輔導(dǎo)孩子解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，不是列出式子給他們“講明白”，而是要引領(lǐng)他們手握“建模型”“定類(lèi)型”“找分?jǐn)?shù)”這三把密鑰自己去打開(kāi)數(shù)學(xué)思維的大門(mén)，借助線段圖，明析數(shù)量的整體和部分，找出和分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的“部分”，就可以用“不變”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題模型，解決“萬(wàn)變”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。