在問題探究中發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

摘? 要：以一道解析幾何題的教學(xué)為例，通過問題研究促使學(xué)生主動(dòng)思考，探究在問題的求解過程中如何探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，以及在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙如何適當(dāng)調(diào)整以便突破障礙，提高運(yùn)算能力. 結(jié)合例題教學(xué)，思考總結(jié)了在教學(xué)中提高學(xué)生運(yùn)算能力的幾個(gè)策略.

關(guān)鍵詞：運(yùn)算方向；運(yùn)算程序；運(yùn)算能力

中圖分類號(hào)：G633.65????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1673-8284（2024）01-0057-04

引用格式：周明芝. 在問題探究中發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：以一道解析幾何題的教學(xué)為例［J］. 中國數(shù)學(xué)

教育（高中版），2024（1）：57-60.

基金項(xiàng)目：北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度一般課題——高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)資源的開發(fā)和應(yīng)用（CDDB2020263）.

作者簡介：周明芝（1973— ），女，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)驗(yàn)研究.

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是演繹推理和計(jì)算機(jī)解決問題的基礎(chǔ). 運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形中各幾何量的計(jì)算求解，等等. 運(yùn)算求解能力主要包括會(huì)根據(jù)法則或公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡潔的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算. 運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合. 在高中階段，學(xué)生通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過運(yùn)算促進(jìn)思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

如何提高學(xué)生的運(yùn)算求解能力是一線教師需要持續(xù)探討的重要問題. 除了要掌握運(yùn)算法則外，在問題的求解過程中如何探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法是學(xué)生的主要難點(diǎn)所在. 而在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙能適當(dāng)調(diào)整以突破障礙，則是運(yùn)算能力的重要體現(xiàn).

二、案例探究

例? 已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1]過點(diǎn)[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）過點(diǎn)[B-4，0]的直線[l]交橢圓[C]于點(diǎn)[M，N]，直線[MA，NA]分別交直線[x=-4]于點(diǎn)[P，Q]，求[PBBQ]的值.

該題第（2）小題考查圓錐曲線中的一類定點(diǎn)定值問題，內(nèi)涵豐富，解法多樣，注重對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題能力的考查，對(duì)促進(jìn)學(xué)生分析、解決問題的能力和運(yùn)算能力有重要的作用. 在教學(xué)中，教師要深入挖掘、充分應(yīng)用試題資源，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，從通性通法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果. 下面談?wù)勗诮鉀Q第（2）小題時(shí)，教師如何通過問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.

1. 通法探究，合理設(shè)參，探索運(yùn)算思路

通性通法指具有普遍性的數(shù)學(xué)解題方法，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最高層次的概括與提煉，因此解決一類問題要注重對(duì)通性通法的探究，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練. 第（1）小題容易求解，得到橢圓的方程為[x28+y22=1.]

畫出圖1輔助分析第（2）小題. 從要求的比值[PBBQ]出發(fā)分析，[PB]與[BQ]的取值分別隨點(diǎn)[M，N]位置的變化而變化，而點(diǎn)[M，N]的位置隨著直線[l]的變化而變化. 因此，直線[l]是刻畫問題的主元. 按照通法，構(gòu)造過點(diǎn)[B]的直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，再構(gòu)造直線[MA，AN，] 分別與直線[x=-4]聯(lián)立，得到點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入[PBBQ]后化簡即可.

問題1：如何設(shè)直線[l]的方程？

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)定點(diǎn)的位置不同，可以設(shè)方程的不同形式. 每種形式有其特征及運(yùn)用的情境，選擇不同的方程會(huì)有不同的解法. 合理選擇直線[l]的方程形式是進(jìn)行后續(xù)探究的前提條件.

解法1：設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為[y=kx+4]，與橢圓交于點(diǎn)[Mx1，y1]，點(diǎn)[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，y=kx+4，] 得[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0].

由判別式[Δ=32k22-44k2+164k2-8=321-4k2>0，]

解得[-12

直線MA的方程為[y+1=y1+1x1+2x+2]，

將[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[yPyQ=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4]

[=2k+1x1+42k+1x1+2 · x2+22k+1x2+42k+1]

[=x1+4x1+2 · x2+2x2+4]

[=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

故[PBBQ=yPyQ=x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8].

問題2：要化簡[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]，就是要找到[x1，x2]之間的聯(lián)系，湊出公因式. 怎樣尋找呢？

【設(shè)計(jì)意圖】在這類問題中，大多數(shù)情況下學(xué)生遇到的是能湊成[x1+x2]和[x1x2]的式子，然后代入求解即可. 但是在此題中出現(xiàn)了與以往經(jīng)驗(yàn)沖突的情況，此時(shí)就需要學(xué)生有靈活的轉(zhuǎn)化能力，能夠通過調(diào)整運(yùn)算來突破遇到的障礙.

解決路徑1：要想求出[PBBQ]的值，就需要式子[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]能約分. 對(duì)比分子和分母的差異，發(fā)現(xiàn)可以從尋找[x1]與[x2]的關(guān)系入手.

由方程[4k2+1x2+32k2x+64k2-8=0]，得

[x1+x2=-32k24k2+1]，[x1x2=64k2-84k2+1=64k24k2+1-84k2+1].

所以[x1x2+8=-2x1+x2-84k2+1+8=-2x1+x2+]

[32k24k2+1=-3x1+x2].

所以[x1x2=-3x1-3x2-8].

代入上式，得[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8 =][-x1+x2x1-x2=1].

所以[PBBQ=1].

解決路徑2：分式[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8]及兩根和、積的關(guān)系式中有[x1]，[x2]，[k]三個(gè)字母，要能達(dá)到約分的目的，需要減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，所以可以進(jìn)行以下代換.

[x1x2+2x1+4x2+8x1x2+4x1+2x2+8=64k2-84k2+1+2x1+4-x1-32k24k2+1+864k2-84k2+1+4x1+2-x1-32k24k2+1+8=][-32k2-8k2x1-2x18k2x1+2x1+32k2=1].

解題感悟：[x1+x2]和[x1x2]的關(guān)系式，本質(zhì)上是[x1]，[x2]，[k]三個(gè)量之間的聯(lián)系，故通過兩個(gè)關(guān)系式總可以把其中的一個(gè)量用另外兩個(gè)量表示出來，進(jìn)而減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，達(dá)到約分的目的.

問題3：考慮到問題的解決主要依據(jù)點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)，且直線[l]過定點(diǎn)[-4，0]，故可以選擇另外一種直線方程形式[x=my-4]，這樣會(huì)給運(yùn)算帶來什么改變呢？

解法2：設(shè)過點(diǎn)[B]的直線為[x=my-4]，點(diǎn)[Mx1，y1]，點(diǎn)[Nx2，y2].

由[x28+y22=1，x=my-4，] 得[m2+4y2-8my+8=0].

直線MA的方程為[y+1=y1+1x1+2x+2]，

將[x=-4]代入，得[yP=-x1+2y1+4x1+2].

同理，可得[yQ=-x2+2y2+4x2+2].

所以[PBBQ=yPyQ]

[=x1+2y1+4x1+2 · x2+2x2+2y2+4=my1+2y1my1-2 · my2-2my2+2y2]

[=m+2y1my1-2 · my2-2m+2y2]

[=my1y2-2y1my1y2-2y2].

因?yàn)閇y1+y2=8mm2+4]，[y1y2=8m2+4]，

所以[y1+y2y1y2=m]，即[y1=my1y2-y2].（也可以由[y1+][y2=8mm2+4=m · 8m2+4=my1y2]直接得出[y1=my1y2-y2].）

所以[PBBQ=][my1y2-2my1y2+2y2my1y2-2y2][=-my1y2+2y2my1y2-2y2=][my1y2-2y2my1y2-2y2][=1].

解題感悟：可以看出，解法2的運(yùn)算過程比解法1簡化了一些. 這是由于從命題的結(jié)論來看，需要研究點(diǎn)[P]和點(diǎn)[Q]的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而且直線[l]經(jīng)過[x]軸上的定點(diǎn)，所以將過點(diǎn)[B]的直線方程設(shè)為[x=my-4]. 因此，在計(jì)算路徑的選擇上，不僅要關(guān)注對(duì)題目條件的分析，還要注意對(duì)題目結(jié)論的剖析. 兩者聯(lián)系，才能合理探究運(yùn)算方向，巧妙設(shè)計(jì)運(yùn)算過程，提高運(yùn)算的合理性和簡潔性.

2. 數(shù)形結(jié)合，拓展思維，優(yōu)化運(yùn)算方法

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì). 在分析和求解的過程中，學(xué)生要具有“動(dòng)手嘗試、探索實(shí)踐”的能力并掌握“先猜后證”的基本研究方法.

問題4：對(duì)直線[l]的特殊位置進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)（如[k=0]時(shí)），你能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

問題5：探求出所求比值為1后，原命題可以進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化嗎？

追問：可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為什么樣的結(jié)論呢？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)形結(jié)合，通過特殊值驗(yàn)證，猜想一般結(jié)論，再進(jìn)行推理證明，有助于整體把握問題的本質(zhì).

此題中，探求出所求比值為1后，可以證明原命題的等價(jià)命題[yP+yQ=0]，利用兩根和、積的齊次式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

解法1：設(shè)過點(diǎn)[B]的直線方程為[y=kx+4]，

則[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-2k+1x1+2x2+22x1x2+6x1+x2+16]

[=][-2k+1x1+2x2+22×64k2-84k2+1+6×-32k24k2+1+16]

[=][-2k+1x1+2x2+24k2+1128k2-16-192k2+164k2+1]

[=0].

解法2：設(shè)過點(diǎn)[B]的直線方程為[x=my-4]，

則[yP+yQ=-x1+2y1+4x1+2-x2+2y2+4x2+2]

[=-m+2y1x1+2+m+2y2x2+2]

[=-m+2x1+2x2+2y1my2-2+y2my1-2]

[=-m+2x1+2x2+22my1y2-2y1+y2]

[=-m+2x1+2x2+22m×8m2+4-2×8mm2+4=0.]

解題感悟：分析幾何特征有利于簡化抽象的代數(shù)運(yùn)算，是解析幾何中突破思維難點(diǎn)的重要途徑. 構(gòu)造齊次式“設(shè)而不求”是解析幾何運(yùn)算的一種基本方法，該方法可以化繁為簡. 齊次化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美和和諧美. 探究和選擇運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵. 上述問題分析的過程，基于確定直線基本量的條件，通過把握問題的本質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化，明確算理，合理選擇運(yùn)算路徑，最終達(dá)到優(yōu)化運(yùn)算的目的.

優(yōu)化運(yùn)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)是合理選擇運(yùn)算路徑，在探究過程中通過層層深入的問題設(shè)計(jì)讓學(xué)生充分體會(huì)合理選擇直線方程的形式，以及設(shè)直線后能否整體代換，達(dá)到運(yùn)算優(yōu)化的效果.

3. 變式探究，深度理解，培養(yǎng)運(yùn)算能力

例題的價(jià)值不只停留在知識(shí)的鞏固、解法的探究上，還可以圍繞關(guān)鍵條件或結(jié)論進(jìn)行一題多變及拓展推廣，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生的運(yùn)算能力.

問題6：基于對(duì)以上問題的探究，你能根據(jù)題目的條件或結(jié)論提出新的問題并求解嗎？提問的出發(fā)點(diǎn)是什么？

變式1：已知橢圓[C： x2a2+y2b2=1]過點(diǎn)[A-2，-1]，且[a=2b].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）若直線[l]交橢圓[C]于點(diǎn)[M，N，] 直線[MA，NA]分別交直線[x=-4]于點(diǎn)[P，Q]，[PB=BQ]. 直線[l]是否經(jīng)過[x]軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由．

變式2：已知橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的一個(gè)頂點(diǎn)為[A0，1]，離心率[e=63]．

（1）求橢圓[E]的方程；

（2）過點(diǎn)[P-3，1]作斜率為[k]的直線與橢圓[E]交于不同的兩點(diǎn)[B，C]，直線[AB，AC]分別與[x]軸交于點(diǎn)[M，N]. 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為[D]，求[MDMN]的值.

【設(shè)計(jì)意圖】在例題中，由于直線[x=-4]的特殊性，點(diǎn)[B，M，N]三點(diǎn)共線，故可以探究其逆命題，求直線過定點(diǎn). 也可以將[y]軸上的點(diǎn)改為[x]軸上的點(diǎn)進(jìn)行變式探究，還可以研究題目中四條直線斜率之間的關(guān)系，進(jìn)行進(jìn)一步的變式探究.

三、對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的思考

數(shù)學(xué)運(yùn)算指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 在教學(xué)中要注意以下幾個(gè)方面.

1. 精心探索運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算過程，提高運(yùn)算的合理性和簡潔性

對(duì)于數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，式子的組合變形與分解變形，幾何圖形中幾何量的計(jì)算求解，無論哪種運(yùn)算，都要先理解運(yùn)算、掌握運(yùn)算律. 在運(yùn)算時(shí)，還要探索運(yùn)算的不同思路，進(jìn)行分析、比較，選擇運(yùn)算步驟少、變形簡單、運(yùn)算量小的解題方案. 另外，還要注意抓住問題的本質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，提高運(yùn)算的合理性和簡潔性.

2. 靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，化繁為簡，優(yōu)化運(yùn)算方法和運(yùn)算過程

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的眼光看待幾何問題，在解析幾何中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)需要培養(yǎng)學(xué)生“以形助算”的意識(shí)和“以算知形”的眼光．借助圖形的幾何特征分析圖形間的關(guān)系，通過圖形中蘊(yùn)含的背景幫助學(xué)生從“形”的角度突破思維難點(diǎn)，使運(yùn)算方法和運(yùn)算過程得到優(yōu)化．

3. 重視運(yùn)算思維過程，通過體驗(yàn)和反思，獲得運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)

提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵是思考算理，判斷運(yùn)算的方向，掌握一些運(yùn)算的方法. 在教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生親身體驗(yàn)、思考，進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié). 因此，在解題教學(xué)中要讓學(xué)生積極參與整個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算思路的探索過程，使學(xué)生有體會(huì)、有感悟、有收獲、有創(chuàng)新，最終優(yōu)化運(yùn)算思維，提升運(yùn)算素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］朱瀟，李鴻昌. 從數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵，談運(yùn)算能力的培養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（1）：57-59.

［3］辛民. 高三學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的現(xiàn)狀調(diào)查、分析、思考與建議［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（21）：29-32.