基于灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同效應(yīng)權(quán)重配置的費(fèi)用預(yù)測(cè)模型

趙 潞, 方志耕, 于 亮, 張亞?wèn)|, 邱璽睿, 華晨晨

(1. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司, 北京 100048)

0 引 言

復(fù)雜裝備是指客戶需求復(fù)雜、產(chǎn)品組成復(fù)雜、產(chǎn)品技術(shù)復(fù)雜、制造過(guò)程復(fù)雜、項(xiàng)目管理復(fù)雜的一類裝備,如航天器、飛機(jī)、航空母艦、武器系統(tǒng)等[1]。隨著時(shí)代的進(jìn)步,費(fèi)用逐漸成為影響裝備發(fā)展的首要問(wèn)題,如何篩選影響復(fù)雜裝備費(fèi)用的關(guān)鍵要素并精確有效地進(jìn)行費(fèi)用估算預(yù)測(cè),提高經(jīng)費(fèi)使用效率,越來(lái)越成為軍事領(lǐng)域關(guān)注的重點(diǎn)。

現(xiàn)有的費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題研究可分為兩類,一類是通過(guò)歷年的裝備費(fèi)用樣本數(shù)據(jù),研究?jī)H考慮時(shí)序的費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題[2-4];另一類是根據(jù)樣本的費(fèi)用及參數(shù)信息,對(duì)目標(biāo)裝備的費(fèi)用進(jìn)行估算預(yù)測(cè),常見的傳統(tǒng)方法包括參數(shù)法、類比法和工程估算法等[5]。由于影響復(fù)雜裝備費(fèi)用的要素眾多,而裝備本身又具有小樣本、貧信息的特點(diǎn),通過(guò)一般傳統(tǒng)方法較難解決這類問(wèn)題。王景玫等[6]針對(duì)航天裝備小子樣、復(fù)雜度高等問(wèn)題,提出了基于技術(shù)成熟度與支持向量機(jī)的航天型號(hào)研制成本預(yù)測(cè)模型,提高了預(yù)測(cè)精度。Zhang等[7]設(shè)計(jì)了基于模糊集的民用飛機(jī)通用性指標(biāo)評(píng)估方法,通過(guò)層次分析法確定各指標(biāo)權(quán)重并構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,用于預(yù)測(cè)新型飛機(jī)的研發(fā)成本。蔡偉寧等[8]利用3種預(yù)測(cè)方法構(gòu)建組合預(yù)測(cè)模型,對(duì)飛機(jī)研制費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測(cè),取得了良好效果。此外,灰色系統(tǒng)理論也被廣泛應(yīng)用于解決復(fù)雜裝備小樣本、多變量費(fèi)用預(yù)測(cè)的問(wèn)題,Jiang等[9]通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正模型對(duì)傳統(tǒng)灰色模型GM(1,N)模型進(jìn)行改善,提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。袁泉等[10]對(duì)GM(0,N)中參數(shù)的累加順序進(jìn)行改進(jìn)。吳利豐等[11-12]從相似度和敏感性角度對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行重新排序,上述幾種方法都提高了GM(0,N)模型的費(fèi)用預(yù)測(cè)精度。Tian等[13]提出了一種基于灰色數(shù)列的IN-GM(0,N)模型,用以解決信息不確定的成本因素下商用飛機(jī)成本預(yù)測(cè)問(wèn)題。Chen等[14]通過(guò)建立跨界缺失數(shù)據(jù)的特征序列N-GM(0,N)模型預(yù)測(cè)總體成本空缺數(shù)據(jù)的灰色區(qū)間,并通過(guò)對(duì)參考序列的排序?qū)⑵浒谆?實(shí)現(xiàn)復(fù)雜裝備總體成本的估算。Chen等[15-16]使用灰色關(guān)聯(lián)分析篩選費(fèi)用關(guān)鍵影響要素并進(jìn)行相關(guān)性分析,通過(guò)二次回歸分析降低要素間相關(guān)性的影響,并進(jìn)行商用航空飛機(jī)的費(fèi)用估算;在后續(xù)研究中,又提出了變量重要性投影分析方法和回歸模型的組合,通過(guò)逐步回歸解決小樣本和參數(shù)間強(qiáng)相關(guān)性問(wèn)題,以此提高成本預(yù)測(cè)精度。灰色系統(tǒng)理論還可以和信息熵理論[17]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18-22]等不同理論方法結(jié)合,以進(jìn)一步提高復(fù)雜裝備費(fèi)用預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

隨著研究的深入發(fā)現(xiàn),在灰色整數(shù)階預(yù)測(cè)結(jié)果較差時(shí),采用分?jǐn)?shù)階模型能夠取得更好的結(jié)果。文獻(xiàn)[23-25]提出并總結(jié)了分?jǐn)?shù)階累加的離散灰色模型,并研究了其適用范圍。羅佑新[26]在單變量分?jǐn)?shù)階灰色模型FGM(1,1)的基礎(chǔ)上,建立了多變量分?jǐn)?shù)階累加灰色模型FMGM(1,N),并驗(yàn)證了模型的有效性。方世力[27]通過(guò)極大熵理論篩選費(fèi)用關(guān)鍵影響要素并確定權(quán)重,構(gòu)建異階多參數(shù)分?jǐn)?shù)階灰色模型FOGM(0,N),有效提高了運(yùn)載火箭費(fèi)用預(yù)測(cè)精度。在已有的相關(guān)研究中,往往存在以下幾個(gè)方面的問(wèn)題:① 以樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)時(shí)未考慮到各樣本與目標(biāo)間的不同相似度會(huì)對(duì)費(fèi)用關(guān)鍵影響要素的篩選和費(fèi)用預(yù)測(cè)產(chǎn)生影響;② 在多參數(shù)費(fèi)用估算預(yù)測(cè)問(wèn)題中,分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)通常是一個(gè)恒等常數(shù);③ 估算預(yù)測(cè)模型中各要素間往往存在著協(xié)同效應(yīng)和共線性,難以解決這類情況下關(guān)鍵要素的篩選和實(shí)際權(quán)重分配問(wèn)題。

本文針對(duì)同類型復(fù)雜裝備小子樣、貧信息的情況,根據(jù)相似信息優(yōu)先原理,將各樣本按與目標(biāo)的相似度大小進(jìn)行排序;在灰色關(guān)聯(lián)度篩選并確定費(fèi)用關(guān)鍵影響要素權(quán)重大小的基礎(chǔ)上,提出了在要素間具有協(xié)同效應(yīng)的情況下,參考Shapley值思想進(jìn)行權(quán)重的進(jìn)一步分配,并借助異階參數(shù)的分?jǐn)?shù)階GM(0,N)模型進(jìn)行費(fèi)用預(yù)測(cè)。經(jīng)過(guò)實(shí)例測(cè)算對(duì)比,本文方法能夠有效地提高復(fù)雜裝備費(fèi)用預(yù)測(cè)的精度,證明了所提方法的有效性和可行性。

1 考慮協(xié)同效應(yīng)的灰色預(yù)測(cè)模型構(gòu)建

1.1 灰色關(guān)聯(lián)度分析

灰色關(guān)聯(lián)度分析是在小樣本、貧信息下,將因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相似或相異程度,亦即“灰色關(guān)聯(lián)度”,作為衡量因素間關(guān)聯(lián)程度的一種方法。當(dāng)兩個(gè)因素變化的趨勢(shì)具有一致性,即同步變化程度較高時(shí),可謂二者關(guān)聯(lián)程度較高;反之,則較低[28]。

在進(jìn)行費(fèi)用預(yù)測(cè)前,通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)度分析能夠較為有效地確定與目標(biāo)裝備更為相似的樣本。若樣本與目標(biāo)裝備各參數(shù)指標(biāo)值趨近一致,則二者費(fèi)用應(yīng)接近;若樣本與目標(biāo)裝備各參數(shù)指標(biāo)值變動(dòng)趨勢(shì)相似,則二者指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的費(fèi)用也應(yīng)符合指標(biāo)變動(dòng)規(guī)律。同理,若多個(gè)相似樣本的某一費(fèi)用影響要素(即特征參數(shù))的變動(dòng)趨勢(shì)與費(fèi)用變動(dòng)趨勢(shì)一致,則說(shuō)明該要素的變動(dòng)引起費(fèi)用的同步變動(dòng),該要素對(duì)費(fèi)用的影響程度相對(duì)較大,可初步選作費(fèi)用關(guān)鍵影響要素?；疑P(guān)聯(lián)分析定義如定義1所示。

定義 1設(shè)Xi={xi(j)|i=1,2,…,n;j=1,2,…,m}為系統(tǒng)行為序列,X0={x0(1),x0(2),…,x0(m)}為參考序列。

則

(1)

稱

(2)

為序列Xi與X0的灰色關(guān)聯(lián)度[28]。

(3)

定理 1當(dāng)原始數(shù)據(jù)的累加階數(shù)r∈(0,1)時(shí),將樣本數(shù)據(jù)按關(guān)聯(lián)度大小從低到高排序,與目標(biāo)型號(hào)灰色關(guān)聯(lián)度大的樣本中,其同類要素權(quán)重更大。

x(0)(i)的系數(shù)為

x(0)(i-1)的系數(shù)為

因此,在同類要素x(r)(k)的表達(dá)式中,x(0)(i)比x(0)(i-1)具有更大的權(quán)重,x(0)(i)所在的樣本對(duì)應(yīng)的灰色關(guān)聯(lián)度大于x(0)(i-1)所在的樣本,符合相似信息優(yōu)先原則,即與目標(biāo)型號(hào)越相似的樣本數(shù)據(jù)在建模時(shí)應(yīng)具有越高的權(quán)重。

證畢

根據(jù)定理1,計(jì)算各樣本型號(hào)Ai(i=1,2,…,n-1)與目標(biāo)型號(hào)An費(fèi)用影響要素間的灰色關(guān)聯(lián)度,從低到高進(jìn)行重新排序并除去關(guān)聯(lián)度較低的樣本數(shù)據(jù),以保證關(guān)聯(lián)度越高的樣本型號(hào)數(shù)據(jù)在預(yù)測(cè)費(fèi)用時(shí)所占的權(quán)重越大。最終重新排列后的數(shù)據(jù)矩陣如下所示:

(4)

此時(shí),An-1為與所求型號(hào)An最相似的樣本型號(hào)數(shù)據(jù),A1為在滿足設(shè)定的關(guān)聯(lián)度邊界條件下與所求型號(hào)An最不相似的樣本型號(hào)數(shù)據(jù)。

對(duì)式(4)中的各費(fèi)用影響要素做與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度分析,劃定關(guān)聯(lián)度邊界值θ,當(dāng)γj1(j=2,3,…,N)>θ時(shí),保留該項(xiàng)要素作為費(fèi)用的關(guān)鍵影響要素,反之則舍去,獲得要素篩選矩陣如下所示:

(5)

1.2 考慮要素協(xié)同效應(yīng)的Shapley值權(quán)重配置模型

一般來(lái)說(shuō),要素對(duì)費(fèi)用的影響程度越大,則該要素在費(fèi)用估算預(yù)測(cè)模型中的權(quán)重應(yīng)越大。由于通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)度篩選的費(fèi)用關(guān)鍵影響要素間可能存在著協(xié)同效應(yīng),若直接采用要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度大小來(lái)確定要素權(quán)重,則忽視了要素間協(xié)同作用的影響,使得各要素權(quán)重配置不合理,費(fèi)用預(yù)測(cè)的偏差增大。通過(guò)相關(guān)性分析雖能判斷兩個(gè)要素間可能存在協(xié)同效應(yīng),但難以衡量單個(gè)要素對(duì)費(fèi)用的實(shí)際影響程度,也難以測(cè)定各要素在費(fèi)用估算預(yù)測(cè)模型中的實(shí)際權(quán)重。因此,可通過(guò)灰色比較關(guān)聯(lián)重要性進(jìn)行協(xié)同作用下費(fèi)用關(guān)鍵影響要素實(shí)際權(quán)重的配置。

(6)

定義 4設(shè)γj1(j=2,3,…,m,23,24,…,23,…,m)表示各要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度,I={2,3,…,m}為m-1個(gè)原始要素的集合,參考Shapley值思想進(jìn)行要素協(xié)同效應(yīng)下灰關(guān)聯(lián)提高的貢獻(xiàn)度分配,分配計(jì)算內(nèi)容如表1所示。

表1 要素灰色比較關(guān)聯(lián)重要性計(jì)算表Table 1 Table for calculating importance of grey comparative association of elements

其中,s為I的子集,s?I;v(s)為s對(duì)應(yīng)的灰色關(guān)聯(lián)度,若組合后集合的灰色關(guān)聯(lián)度低于組成該集合的任一原始要素的灰色關(guān)聯(lián)度,則表1中該集合的v(s)=0,即該組合不存在正向協(xié)同效應(yīng);v(si)為集合s中除去要素i后剩余要素集合的灰色關(guān)聯(lián)度,若v(si)>v(s),則v(s)=v(si)=0,即要素i參與后對(duì)灰色關(guān)聯(lián)度提高起到負(fù)作用,加入要素i后的組合也不存在正向協(xié)同效應(yīng);v(s)-v(si)為要素i使灰色關(guān)聯(lián)度提高的邊際貢獻(xiàn);|s|為集合中元素的個(gè)數(shù);w(|s|)為各元素個(gè)數(shù)所占的權(quán)重;w(|s|)[v(s)-v(si)]為在要素i存在協(xié)同效應(yīng)的各子集中i的貢獻(xiàn)度,累加后為要素i的總貢獻(xiàn)度,即i的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性。

定理 2若存在要素間的灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng),集合s對(duì)應(yīng)的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性權(quán)重w(|s|)=(|s|-1)!·(n-|s|)!/n!。

證畢

定理 3若存在要素間的灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng),各原始單要素的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性應(yīng)為∑s∈Siw(|s|)[v(s)-v(si)],Si為子集個(gè)數(shù)。

證明s為I的子集,當(dāng)s=1、即不考慮與其他要素間關(guān)系時(shí),v(s)為該要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度,v(si)為除去該要素后子集中的其他要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度,該要素的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性權(quán)重為w(|1|)=(n-1)!/n!=1/n,故該要素在不考慮協(xié)同效應(yīng)影響下的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性為w(|1|)[v(1)-v(1i)];當(dāng)s=2、即考慮兩個(gè)要素間的協(xié)同效應(yīng)時(shí),根據(jù)上述步驟可知,所求要素對(duì)應(yīng)情況下的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性為w(|2|)[v(2)-v(2i)]。以此類推,當(dāng)要素間存在灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng)時(shí),要素在各子集s下對(duì)應(yīng)的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性為w(|s|)[v(s)-v(si)],故該要素的總灰色比較關(guān)聯(lián)重要性為∑s∈Siw(|s|)[v(s)-v(si)]。

證畢

在構(gòu)造要素灰色比較關(guān)聯(lián)重要性計(jì)算表時(shí),只考慮灰色關(guān)聯(lián)度擴(kuò)大的灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)貢獻(xiàn)度的分配,故要素灰色比較關(guān)聯(lián)重要性計(jì)算表在形式上與Shapley值計(jì)算表相似,但在不滿足Shapley值思想有效性的前提下也可進(jìn)行分配計(jì)算。

定理 4當(dāng)存在要素間的灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng)時(shí),各關(guān)鍵影響要素的實(shí)際權(quán)重為灰色比較關(guān)聯(lián)重要性的歸一化值。

證畢

定理 5當(dāng)不存在要素間的灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同影響效應(yīng)時(shí),要素的權(quán)重應(yīng)為灰色關(guān)聯(lián)度的歸一化值。

證畢

1.3 異階離散分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型

在灰色分?jǐn)?shù)階累加模型中,多參數(shù)的累加模型階數(shù)一般都為同階,而異階離散分?jǐn)?shù)階模型不同參數(shù)的階數(shù)不同,且分別代表其權(quán)重。通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同效應(yīng)權(quán)重配置獲得各費(fèi)用關(guān)鍵影響因子的實(shí)際權(quán)重,以此作為對(duì)應(yīng)參數(shù)的累加階數(shù),構(gòu)建異階離散分?jǐn)?shù)階累加費(fèi)用預(yù)測(cè)模型。

(7)

參數(shù)的最小二乘估計(jì)滿足:

[a,b2,b3,…,bm]T=(BTB)-1BTY

(8)

其中

(9)

(10)

引理 1在異階離散分?jǐn)?shù)階累加GM(0,N)模型中,累加階數(shù)ri越大,在相對(duì)擾動(dòng)界中影響力越大,對(duì)解的影響越敏感,反映費(fèi)用影響要素的權(quán)重越大,反之亦然。相關(guān)證明過(guò)程詳見文獻(xiàn)[27]。

模型中的累加階數(shù)ri分別為各要素在協(xié)同效應(yīng)下的實(shí)際權(quán)重,由于費(fèi)用不參與要素協(xié)同效應(yīng)的權(quán)重分配,故其階數(shù)r1可取各要素權(quán)重的平均值。以最小二乘求得模型系數(shù)后計(jì)算得到目標(biāo)費(fèi)用的r1階累加值,通過(guò)累減還原得到預(yù)測(cè)費(fèi)用。

1.4 預(yù)測(cè)模型構(gòu)建及求解步驟

綜上所述,基于灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同效應(yīng)權(quán)重配置的費(fèi)用預(yù)測(cè)模型構(gòu)建及求解步驟如下。

步驟 1計(jì)算樣本與待預(yù)測(cè)裝備的灰色關(guān)聯(lián)度。

步驟 2根據(jù)步驟1中結(jié)果的大小對(duì)樣本進(jìn)行篩選排序,計(jì)算各費(fèi)用影響要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度,篩選費(fèi)用關(guān)鍵影響要素。

步驟 3構(gòu)建樣本協(xié)同效應(yīng)矩陣,并計(jì)算各關(guān)鍵影響要素協(xié)同效應(yīng)下的灰色關(guān)聯(lián)度。

步驟 4計(jì)算各關(guān)鍵影響要素的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性及權(quán)重。

步驟 5構(gòu)建灰色分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型并求解系數(shù)。

步驟 6將待預(yù)測(cè)裝備各關(guān)鍵影響要素累加值代入預(yù)測(cè)模型,累減還原得到費(fèi)用預(yù)測(cè)結(jié)果。

2 實(shí)例分析

2.1 民用飛機(jī)成本費(fèi)用預(yù)測(cè)

為了便于比較,本文采用文獻(xiàn)[18]中的相同樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)裝備的費(fèi)用估算預(yù)測(cè),并與原文方法進(jìn)行對(duì)比,以此證明本文方法的合理性及可行性。

表2為部分進(jìn)行脫密處理后的民用飛機(jī)參數(shù)和成本費(fèi)用信息,現(xiàn)使用表中前7組數(shù)據(jù),對(duì)機(jī)型8和機(jī)型9兩種大型飛機(jī)的成本費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測(cè),并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果精度進(jìn)行比較。

表2 各型號(hào)民用飛機(jī)成本費(fèi)用與相關(guān)參數(shù)Table 2 Cost expenditure and related parameters of each type of civil aircraft

步驟 1原始數(shù)據(jù)無(wú)量綱化處理。

以機(jī)型8為待預(yù)測(cè)裝備為例,通過(guò)均值法進(jìn)行無(wú)量綱化處理,消除數(shù)據(jù)中不同量綱的影響,得到處理后的數(shù)據(jù)矩陣如表3所示。

表3 各型號(hào)民用飛機(jī)成本費(fèi)用與相關(guān)參數(shù)處理表Table 3 Cost expenditure and related parameter processing table of different types of civil aircraft

步驟 2計(jì)算各樣本與待預(yù)測(cè)型號(hào)的灰色關(guān)聯(lián)度。

由于機(jī)型8為待預(yù)測(cè)裝備,沒(méi)有成本費(fèi)用數(shù)據(jù),在計(jì)算樣本與待預(yù)測(cè)型號(hào)的灰色關(guān)聯(lián)度時(shí)僅考慮各費(fèi)用影響要素間的相似性。根據(jù)式(1)和式(2)計(jì)算樣本型號(hào)1～7與待預(yù)測(cè)型號(hào)8的灰色關(guān)聯(lián)度,此時(shí)系統(tǒng)行為序列為

以此類推,分別計(jì)算得到各樣本與待預(yù)測(cè)型號(hào)的灰色關(guān)聯(lián)度并劃定邊界值θ,將關(guān)聯(lián)度大于θ的樣本型號(hào)按關(guān)聯(lián)度從低到高進(jìn)行排序,此處取θ=0.60,計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 型號(hào)8灰色關(guān)聯(lián)度排序表Table 4 Model 8 grey relational grade ranking table

步驟 3篩選費(fèi)用關(guān)鍵影響要素。

對(duì)篩選完成后不包含待預(yù)測(cè)裝備的數(shù)據(jù)矩陣重新進(jìn)行無(wú)量綱化處理,以便根據(jù)高相似度的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行費(fèi)用關(guān)鍵影響要素的選取。篩選排序并無(wú)量綱化后的數(shù)據(jù)矩陣如表5所示。

表5 篩選排序數(shù)據(jù)處理表Table 5 Filtering and sorting data processing table

對(duì)表5中的費(fèi)用影響要素,即特征參數(shù)進(jìn)行篩選,確定關(guān)鍵影響要素,此時(shí)系統(tǒng)行為序列為各費(fèi)用影響要素序列:X1={2.233 3,1.575 3,1.024 9,0.917 3,0.650 1,0.259 6,0.339 5},X2={1.031 2,1.019 1,0.994 8,1.019 1,1.031 2,0.958 4,0.946 3},…,X6={1.311 1,1.157 5,1.053 3,1.141 1,1.020 4,0.559 6,0.757 1};參考序列為X0={1.831 8,1.400 3,1.012 1,1.221 2,0.854 7,0.223 8,0.456 0}。

根據(jù)式(1)和式(2)計(jì)算得到上述民用飛機(jī)的費(fèi)用影響要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度分別為:0.748 5,0.583 5,0.683 2,0.570 4,0.737 7,0.679 7。由式(9)和式(10)可知,第1行的樣本數(shù)據(jù)一般不參與分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型的系數(shù)求解,而在測(cè)算過(guò)程中往往取比參與計(jì)算的樣本數(shù)量少2個(gè)左右的要素作為費(fèi)用關(guān)鍵影響要素[27]。當(dāng)選擇要素過(guò)多時(shí),不易求解含常數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)方程系數(shù);當(dāng)選擇要素過(guò)少時(shí),所建立的方程丟失信息過(guò)多,忽略了部分對(duì)費(fèi)用變動(dòng)較為敏感的要素。由于灰色關(guān)聯(lián)度越高,要素對(duì)費(fèi)用的影響程度越大,此處設(shè)定影響要素灰色關(guān)聯(lián)度邊界值θ=0.65,故選取最大起飛重量、發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力、最大載油量和機(jī)身長(zhǎng)度作為民用飛機(jī)費(fèi)用的關(guān)鍵影響要素。

步驟 4構(gòu)建協(xié)同效應(yīng)矩陣并計(jì)算要素灰色關(guān)聯(lián)度。

將費(fèi)用關(guān)鍵影響要素指標(biāo)值分別相乘,構(gòu)建如式(6)所示的協(xié)同效應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣,對(duì)所得矩陣進(jìn)行無(wú)量綱化處理后根據(jù)式(1)和式(2)分別計(jì)算單要素指標(biāo)、兩要素相乘指標(biāo)、三要素相乘指標(biāo)、…、n要素相乘指標(biāo)與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度,以判斷是否存在協(xié)同效應(yīng),計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表6 協(xié)同效應(yīng)下要素與費(fèi)用的灰色關(guān)聯(lián)度Table 6 Grey relational grade between elements and costs under synergistic effect

步驟 5要素間協(xié)同效應(yīng)下權(quán)重的分配。

根據(jù)定義4,通過(guò)Shapley值思想計(jì)算各要素的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性,具體過(guò)程如表7所示。

表7 要素1灰色比較關(guān)聯(lián)重要性計(jì)算表Table 7 Table for calculating relational importance of grey comparative of elements 1

根據(jù)定理3,由表7中數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果可知,要素1的灰色比較關(guān)聯(lián)重要性為

φ1=0.173 8+0.014 3+0+0.017 3+0+0+0+

0=0.205 4。

同理可得φ2=0.182 5,φ3=0.204 2,φ4=0.224 5。由此,可根據(jù)定理4確定各要素對(duì)費(fèi)用影響程度的權(quán)重為w1=0.251 6,w2=0.223 5,w3=0.250 0,w4=0.274 9。

步驟 6灰色分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型構(gòu)建及求解。

根據(jù)引理1,以步驟4中獲得的各要素權(quán)重作為分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型中各要素的累加階數(shù),由于費(fèi)用不參與要素協(xié)同效應(yīng)的權(quán)重分配,故費(fèi)用項(xiàng)的階數(shù)為各要素權(quán)重的平均值0.25。根據(jù)分?jǐn)?shù)階累加公式:

以此分別計(jì)算各費(fèi)用關(guān)鍵影響要素的樣本參數(shù)累加值,得到樣本數(shù)據(jù)矩陣為

Y=(265.675,235.671 9,272.747 7,236.857 1,
147.046 5,161.281 7)T

通過(guò)式(8)最小二乘法求得分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型的系數(shù)值,將其代入式(7),得到分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型為

步驟 7累減還原得到預(yù)測(cè)結(jié)果。

由于該預(yù)測(cè)模型所需的自變量值為分?jǐn)?shù)階累加后的參數(shù)值,因此在進(jìn)行費(fèi)用預(yù)測(cè)時(shí)需通過(guò)分?jǐn)?shù)階累加公式計(jì)算在已有樣本情況下待預(yù)測(cè)型號(hào)的各參數(shù)累加值,即

累減還原后得到型號(hào)8的預(yù)測(cè)費(fèi)用為

預(yù)測(cè)誤差為-9.561 6%。經(jīng)過(guò)相同步驟得到型號(hào)9的預(yù)測(cè)費(fèi)用為172.933 8百萬(wàn)元,預(yù)測(cè)誤差為0.309 6%。與原文模型的擬合預(yù)測(cè)對(duì)比結(jié)果如表8和表9所示。

表8 多元線性回歸模型、GM(0,N)模型、GM(0,N)-BP組合模型與本文模型擬合預(yù)測(cè)效果檢驗(yàn)表Table 8 Multiple linear regression model, GM(0,N) model, GM(0,N)-BP combination model and the proposed model fit prediction effect test table

表9 不同預(yù)測(cè)模型平均誤差結(jié)果對(duì)比Table 9 Comparison of the average error results of different prediction models %

由表8和表9可知多元線性回歸、GM(0,N)模型和GM(0,N)-反向傳播(back propagation, BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型的平均擬合誤差分別為1.980 0%、5.325 7%和0.002 9%,預(yù)測(cè)平均誤差分別為16.670 0%、26.725 0%和11.650 0%。與這3種方法相比,采用本文所提方法的擬合誤差為1.562 9%,預(yù)測(cè)平均誤差降低到4.935 6%,擬合精度相比前兩種方法均有所降低,而預(yù)測(cè)平均誤差為所采用的4種方法中最佳的。

為避免數(shù)據(jù)測(cè)算出現(xiàn)的偶然性,證明本文所提出的方法具有一定的有效性和可行性,對(duì)表2中各型號(hào)的費(fèi)用分別進(jìn)行了估算預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如表10所示。

表10 各型號(hào)民用飛機(jī)成本費(fèi)用預(yù)測(cè)誤差表Table 10 Cost expenditure forecast error of each type of civil aircraft

表10中的預(yù)測(cè)結(jié)果表明,通過(guò)本文方法對(duì)多組參數(shù)樣本分別進(jìn)行模型構(gòu)建和費(fèi)用預(yù)測(cè),盡管由于部分待預(yù)測(cè)型號(hào)與其余已知樣本間的總體灰色關(guān)聯(lián)度不高,相似程度較低,使得預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較大,但預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為6.41%。若使用與目標(biāo)更為相似的多個(gè)樣本則能使預(yù)測(cè)精度進(jìn)一步提高,總體而言,預(yù)測(cè)結(jié)果仍具有較高的精確性,在一定程度上能夠滿足工程實(shí)際問(wèn)題中的需要。

2.2 原樣本變化情況下民用飛機(jī)成本費(fèi)用預(yù)測(cè)

由于在樣本相似度排序和費(fèi)用關(guān)鍵影響要素篩選中都運(yùn)用了灰色關(guān)聯(lián)分析,當(dāng)樣本數(shù)量變動(dòng)時(shí),有時(shí)會(huì)導(dǎo)致排序順序和要素篩選結(jié)果的變動(dòng),從而使得預(yù)測(cè)模型及預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)生變化。本節(jié)以表2中的數(shù)據(jù)為例,分別考慮新增和減少一個(gè)民機(jī)樣本的情況下,型號(hào)8的成本費(fèi)用預(yù)測(cè)變動(dòng)情況。

(1) 減少一個(gè)樣本數(shù)據(jù)

去除表2中與型號(hào)8灰色關(guān)聯(lián)度較高的樣本型號(hào)1,計(jì)算得到剩余樣本與待預(yù)測(cè)型號(hào)的灰色關(guān)聯(lián)度如表11所示。經(jīng)上述步驟計(jì)算得到各費(fèi)用影響要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度分別為:0.661 7,0.563 6,0.616 9,0.531 1,0.689 2,0.653 7。

表11 型號(hào)8灰色關(guān)聯(lián)度排序表Table 11 Model 8 grey relational grade ranking table

當(dāng)選擇最大起飛重量、發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力、最大載油量和機(jī)身長(zhǎng)度4個(gè)要素作為費(fèi)用關(guān)鍵影響要素時(shí),各要素的累加階數(shù)(即權(quán)重)分別為0.228 7,0.261 4,0.244 7,0.265 2,費(fèi)用的累加階數(shù)為0.25。通過(guò)最小二乘回歸得到型號(hào)8的費(fèi)用估算預(yù)測(cè)模型為

經(jīng)預(yù)測(cè)得到型號(hào)8的費(fèi)用為44.41百萬(wàn)元。

當(dāng)選擇最大起飛重量、最大載油量和機(jī)身長(zhǎng)度3個(gè)要素作為費(fèi)用關(guān)鍵影響要素時(shí),各要素的累加階數(shù)(即權(quán)重)分別為0.335 3,0.285 1,0.379 6,費(fèi)用的累加階數(shù)為1/3。通過(guò)最小二乘回歸得到的型號(hào)8的費(fèi)用估算預(yù)測(cè)模型為

預(yù)測(cè)所得型號(hào)8的費(fèi)用為48.654 8百萬(wàn)元。

(2) 增加一個(gè)樣本數(shù)據(jù)

在表2樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,增加型號(hào)10的樣本數(shù)據(jù),其費(fèi)用及各參數(shù)值如表12所示。計(jì)算得到的所有樣本與待預(yù)測(cè)型號(hào)8的灰色關(guān)聯(lián)度如表13所示。

表12 型號(hào)10樣本數(shù)據(jù)Table 12 Model 10’s sample data

表13 型號(hào)8灰色關(guān)聯(lián)度排序表Table 13 Model 8 grey relational grade ranking table

經(jīng)上述步驟計(jì)算得到各費(fèi)用影響要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度分別為:0.715 8,0.542 7,0.812 1,0.540 3,0.640 5,0.657 1。設(shè)定灰色關(guān)聯(lián)度邊界值θ=0.60,選擇最大起飛重量、發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力、最大載油量和機(jī)身長(zhǎng)度4個(gè)要素作為費(fèi)用關(guān)鍵影響要素,各要素的累加階數(shù)(即權(quán)重)分別為0.226 8,0.321 2,0.200 7,0.251 4,費(fèi)用的累加階數(shù)為0.25。通過(guò)最小二乘回歸得到的型號(hào)8的費(fèi)用估算預(yù)測(cè)模型為

預(yù)測(cè)所得型號(hào)8的費(fèi)用為57.36百萬(wàn)元。

與原樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)對(duì)比的結(jié)果如表14所示。

表14 不同樣本量預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差對(duì)比Table 14 Comparison of prediction results and errors for different sample sizes

通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析可知,由于本文預(yù)測(cè)模型中相似樣本的選取排序、關(guān)鍵影響要素的篩選和權(quán)重的設(shè)定都是基于灰色關(guān)聯(lián)度進(jìn)行的,當(dāng)樣本數(shù)量發(fā)生變動(dòng)時(shí),各樣本間及要素與費(fèi)用間的灰色關(guān)聯(lián)度都會(huì)發(fā)生變動(dòng),導(dǎo)致最終預(yù)測(cè)結(jié)果發(fā)生改變。通過(guò)對(duì)比原始數(shù)據(jù)和增減樣本后的要素灰色關(guān)聯(lián)度可以發(fā)現(xiàn),在減少一個(gè)相似度較高的樣本后,剩余樣本的總體灰色關(guān)聯(lián)度降低,預(yù)測(cè)結(jié)果偏差增大;在增加一個(gè)相似度較高的樣本后,樣本的總體灰色關(guān)聯(lián)度提高,預(yù)測(cè)結(jié)果偏差變小,且在樣本變動(dòng)時(shí),各要素灰色關(guān)聯(lián)度間的大小關(guān)系發(fā)生了變化,由此可見樣本量的變動(dòng)會(huì)對(duì)關(guān)鍵影響要素的篩選產(chǎn)生影響。因此,在原有樣本數(shù)據(jù)發(fā)生變動(dòng)時(shí),關(guān)鍵影響要素的選取、權(quán)重的確定和預(yù)測(cè)模型也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變,預(yù)測(cè)結(jié)果也會(huì)發(fā)生變化。

此外,通過(guò)算例對(duì)比分析可知,在小子樣情況下,關(guān)鍵影響要素選擇比樣本數(shù)量少2時(shí)能夠在一定程度上提高預(yù)測(cè)精度;樣本與待預(yù)測(cè)裝備的總體灰色關(guān)聯(lián)度越高,關(guān)鍵影響要素的篩選及權(quán)重的確定越準(zhǔn)確,預(yù)測(cè)精度越高。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同效應(yīng)貢獻(xiàn)度分配的由要素權(quán)重配置確定灰色多元離散分?jǐn)?shù)階模型階數(shù)的方法。該方法考慮了各費(fèi)用影響要素間的協(xié)同效應(yīng),依據(jù)各要素灰色比較關(guān)聯(lián)重要性的大小,將權(quán)重分配到各個(gè)獨(dú)立要素中,進(jìn)一步挖掘了費(fèi)用影響要素的潛在作用。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示,該方法比傳統(tǒng)的多元線性回歸、GM(0,N)模型及部分改進(jìn)后的GM(0,N)模型具備更高的估算預(yù)測(cè)精度,也具有一定的適用性。

在復(fù)雜裝備研制初期,尤其是樣本量不足、相關(guān)的費(fèi)用影響要素較少且存在大量協(xié)同效應(yīng)的情況下,本文提出的方法能夠更好地適用于復(fù)雜裝備的費(fèi)用估算,并取得了良好的預(yù)測(cè)效果。

本文通過(guò)灰色關(guān)聯(lián)協(xié)同效應(yīng)權(quán)重配置模型和異階灰色分?jǐn)?shù)階累加預(yù)測(cè)模型,較好地解決了貧信息背景下同類或相似類型復(fù)雜裝備的費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題,但在面對(duì)全新的新型復(fù)雜裝備費(fèi)用預(yù)測(cè)問(wèn)題時(shí),可能出現(xiàn)以往樣本與待預(yù)測(cè)新裝備關(guān)聯(lián)度低或無(wú)樣本信息的情況。本文方法僅能通過(guò)添加與目標(biāo)裝備的費(fèi)用關(guān)鍵影響要素較為接近的樣本來(lái)嘗試進(jìn)行預(yù)測(cè),易出現(xiàn)預(yù)測(cè)偏差較大或無(wú)法進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果。因此,在面對(duì)全新的復(fù)雜裝備時(shí),如何對(duì)費(fèi)用進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè),仍需進(jìn)一步研究。