天波超視距雷達(dá)非均勻采樣信號(hào)頻譜重構(gòu)

陳子睿, 陳阿磊, 劉維建, 楊 軍, 陳文峰, 馬曉巖

(空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

天波超視距雷達(dá)(over-the-horizon radar, OTHR)作為一種特殊體制的遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá),利用電離層對(duì)電磁波的折射和反射效應(yīng),能夠突破地球曲率的限制,實(shí)施視距之外的海況信息提取和艦船目標(biāo)檢測(cè)等任務(wù)[1-4]。與常規(guī)微波雷達(dá)相比,OTHR能夠更早地發(fā)現(xiàn)大、中型艦船,將海面預(yù)警效率提高了30～50倍[5]。但利用OTHR快速、及時(shí)地定位海面目標(biāo)需要克服許多尚未解決的難題[6]。在對(duì)海探測(cè)模式下,強(qiáng)大的海雜波是影響海面目標(biāo)檢測(cè)的主要因素,雜噪比(clutter to noise ratio, CNR)通常在50 dB以上[7-8],因此需要足夠長(zhǎng)的相參積累時(shí)間(coherent integration time, CIT)來(lái)提高信雜噪比(signal-clutter-noise ratio, SCNR)與多普勒分辨率[1]。而較長(zhǎng)的CIT會(huì)帶來(lái)兩個(gè)問(wèn)題[7,9]:① 對(duì)于空海探測(cè)兼容工作模式,對(duì)海探測(cè)的長(zhǎng)CIT會(huì)導(dǎo)致空中目標(biāo)被照射的間隔過(guò)長(zhǎng)、數(shù)據(jù)更新率較低,不利于目標(biāo)的快速跟蹤。② OTHR的電波傳播路徑中存在嚴(yán)重的相位污染和瞬態(tài)干擾問(wèn)題,長(zhǎng)CIT條件下通常難以得到完整、均勻采樣的有效數(shù)據(jù)。

針對(duì)上述問(wèn)題,有兩種解決方案:① 短CIT條件下的目標(biāo)檢測(cè)。通過(guò)縮減CIT克服上述問(wèn)題,此方案受到CIT較短的限制,通常利用超分辨譜估計(jì)方法解決多普勒分辨率較低的問(wèn)題[10],或利用雜波抑制方法抑制海雜波以凸顯目標(biāo)[11-13]。② 長(zhǎng)CIT條件下非均勻采樣信號(hào)的目標(biāo)檢測(cè)。將長(zhǎng)CIT中受到干擾的信號(hào)或用于對(duì)空探測(cè)的信號(hào)抽出,然后通過(guò)帶有缺損的非均勻采樣信號(hào)重構(gòu)完整頻譜[14-18]。本文主要針對(duì)方案②的非均勻采樣信號(hào)頻譜重構(gòu)問(wèn)題進(jìn)行研究。由于信號(hào)缺損,一般采用先對(duì)缺損信號(hào)補(bǔ)零、再采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)的方法實(shí)現(xiàn),但這會(huì)導(dǎo)致頻譜出現(xiàn)嚴(yán)重的柵瓣。為解決此問(wèn)題,文獻(xiàn)[15-16]利用海雜波與目標(biāo)信號(hào)在頻域上的稀疏特性,通過(guò)基于壓縮感知(compressed sensing, CS)的貪婪類重構(gòu)算法對(duì)非均勻采樣信號(hào)進(jìn)行頻譜重構(gòu)。此類算法在處理低維度、小尺度問(wèn)題上具有較高的運(yùn)算效率,但重構(gòu)精度并不理想。此外,包括貪婪算法在內(nèi)的大多數(shù)CS重構(gòu)算法注重對(duì)稀疏信號(hào)的重構(gòu),忽略對(duì)背景特性的保留,因此通過(guò)CS重構(gòu)的信號(hào)難以與現(xiàn)有的雜波抑制和恒虛警(constant false alarm rate, CFAR)處理方法相結(jié)合,為后續(xù)處理增加了難度[19]。文獻(xiàn)[9]通過(guò)構(gòu)造具有低秩特性的Hankel矩陣,利用非精確增廣拉格朗日乘數(shù)(inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)法實(shí)現(xiàn)低秩矩陣恢復(fù)(low-rank matrix recovery, LRMR)。文獻(xiàn)[18]利用修正的奇異值閾值(singular value thresholding, SVT)算子的思想求解魯棒主成分分析(robust principal component analysis, RPCA)問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)LRMR。LRMR類方法在缺損信號(hào)數(shù)量較少的條件下,具有較高的重構(gòu)精度,而隨著缺損信號(hào)數(shù)量增加,重構(gòu)性能急劇下降,且此類算法較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間難以滿足OTHR對(duì)實(shí)時(shí)探測(cè)的要求。

針對(duì)上述方法的不足,本文提出了一種快速自適應(yīng)復(fù)近似消息傳遞(fast adaptive complex approximate message passing, FACAMP)頻譜重構(gòu)算法對(duì)非均勻采樣信號(hào)進(jìn)行頻譜重構(gòu)。首先,建立了OTHR頻域信號(hào)的稀疏模型。然后,針對(duì)復(fù)近似消息傳遞(complex approximate message passing, CAMP)算法[20]自適應(yīng)參數(shù)選擇問(wèn)題和重構(gòu)誤差問(wèn)題[21],對(duì)CAMP算法進(jìn)行改進(jìn),使用基于最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)準(zhǔn)則的復(fù)降噪函數(shù)代替復(fù)軟閾值函數(shù),并在迭代過(guò)程中自適應(yīng)估計(jì)閾值參數(shù)。最后,利用FACAMP實(shí)現(xiàn)OTHR頻譜重構(gòu),通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與現(xiàn)有方法對(duì)比分析其重構(gòu)性能。FACAMP頻譜重構(gòu)算法具有以下優(yōu)勢(shì):① 重構(gòu)精度高。不僅能夠恢復(fù)海雜波與目標(biāo)信號(hào)的幅度和相位信息,而且能夠保留原噪聲背景的高斯性,使得重構(gòu)信號(hào)能夠直接與現(xiàn)有信號(hào)處理方案結(jié)合并進(jìn)行后續(xù)處理。② 運(yùn)算復(fù)雜度低。具有較快的收斂速度和較低的單次迭代復(fù)雜度,算法的運(yùn)算時(shí)間能夠滿足OTHR對(duì)實(shí)時(shí)探測(cè)的需求。③ 自適應(yīng)性強(qiáng)。能夠在不同環(huán)境的海雜波背景和不同采樣數(shù)條件下,自適應(yīng)估計(jì)并選擇合適的閾值參數(shù)。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)均驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 信號(hào)模型與CAMP算法

本節(jié)分別對(duì)OTHR完整和非均勻采樣回波信號(hào)進(jìn)行建模,闡述了如何使用CAMP解決頻譜重構(gòu)問(wèn)題,并指出了現(xiàn)有方法的不足。

1.1 完整回波信號(hào)模型

信號(hào)重構(gòu)實(shí)現(xiàn)于波束形成和匹配濾波之后,OTHR使用FFT實(shí)現(xiàn)相參積累,將某個(gè)距離單元的慢時(shí)間回波向量y∈CN×1變換到頻域x∈CN×1,通過(guò)逆快速傅里葉變換(inverse fast Fourier transform, IFFT)得到,即y=IFFT(x),其中N為一個(gè)CIT內(nèi)的脈沖個(gè)數(shù),y可表示為

y(n)=s(n)+c(n)+r(n),n=1,2,…,N

(1)

式中:n為脈沖數(shù)索引;s、c和r分別表示目標(biāo)向量、雜波向量和噪聲向量,維數(shù)均為N×1。由于海面艦船目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度較慢,可視其為勻速運(yùn)動(dòng),且由于OTHR的距離分辨單元尺寸較大,其在一次CIT內(nèi)的距離走動(dòng)可以忽略[22]。因此,目標(biāo)向量s的第n個(gè)數(shù)據(jù)[23-24]為

s(n)=aexp(j2πfd(n-1)Tr)

(2)

根據(jù)Bragg散射理論[25-26],OTHR海雜波頻譜可建模為兩個(gè)關(guān)于0 Hz對(duì)稱的Bragg峰[27-28],稱為一階海雜波,而二階及更高階海雜波比一階海雜波低約10～40 dB,一般可直接用高斯白噪聲或正弦信號(hào)表示[7]。因此,在不考慮頻譜展寬的情況下,海雜波向量的第n個(gè)數(shù)據(jù)為

c(n)=b1exp(j(2πfb(n-1)Tr+φ1(n)))+
b2exp(j(-2πfb(n-1)Tr+φ2(n)))

(3)

式中:b1、b2分別為正負(fù)Bragg峰對(duì)應(yīng)的幅度系數(shù);fb為海雜波對(duì)應(yīng)的Bragg頻率;φ1(n)、φ2(n)為由電離層不穩(wěn)定造成的相位擾動(dòng)項(xiàng)[29-30]。

將式(2)和式(3)代入式(1)得到:

y(n)=aexp(j2πfd(n-1)Tr)+
b1exp(j(2πfb(n-1)Tr+φ1(n)))+
b2exp(j(-2πfb(n-1)Tr+φ2(n)))+
r(n),n=1,2,…,N

(4)

慢時(shí)間向量y與頻域向量x的對(duì)應(yīng)關(guān)系可通過(guò)逆傅里葉矩陣A∈CN×N表示:

y=Ax

(5)

式中:矩陣A的第(p,q)個(gè)元素為ap,q=exp(j2π(p-1)(q-1)/N),p=1,2,…,N;q=1,2,…,N。由式(4)可知,目標(biāo)和雜波對(duì)應(yīng)的頻率分別為fd和±fb,而噪聲相對(duì)雜波和目標(biāo)較弱。因此,頻域向量x具有近似稀疏性,非零值集中在頻率fd和±fb處。

1.2 非均勻采樣回波信號(hào)模型

(6)

式中:M

圖1 感知矩陣構(gòu)造方式Fig.1 Construction way of sensing matrix

因此,式(5)在非均勻采樣條件下可改寫為欠定方程組:

y′=A′x

(7)

式(7)的解有無(wú)窮多個(gè),但由于x具有近似稀疏性,式(7)可轉(zhuǎn)換為最小絕對(duì)收縮和選擇(least absolute shrinkage and selection operator, LASSO)問(wèn)題,從而通過(guò)CS重構(gòu)算法恢復(fù)信號(hào)完整頻譜[20,31]:

(8)

1.3 CAMP算法

針對(duì)式(8),CAMP算法執(zhí)行迭代如下[20]:

(9)

(10)

(11)

由于雜波背景的復(fù)雜性和缺損信號(hào)數(shù)量的不確定性,最佳閾值參數(shù)τ是變化的。文獻(xiàn)[19]給出了一種自適應(yīng)方案,但需要多次執(zhí)行CAMP算法以選擇最佳閾值,運(yùn)算量較高。此外, LASSO問(wèn)題導(dǎo)出的復(fù)軟閾值函數(shù)會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)精度下降[21]。為解決上述問(wèn)題,本文提出FACAMP頻譜重構(gòu)算法。

2 FACAMP頻譜重構(gòu)算法

本節(jié)對(duì)FACAMP算法進(jìn)行理論分析,首先推導(dǎo)了基于MMSE準(zhǔn)則的復(fù)降噪函數(shù)ηMMSE,并以此代替復(fù)軟閾值函數(shù);其次,給出了ηMMSE參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)方案;最后,給出了FACAMP算法的實(shí)現(xiàn)步驟。

2.1 構(gòu)造復(fù)降噪函數(shù)

文獻(xiàn)[33]針對(duì)實(shí)數(shù)信號(hào),將稀疏信號(hào)的非零元素建立為伯努利-高斯先驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚34]:

(12)

(13)

(14)

式中:

(15)

2.2 參數(shù)估計(jì)

2.2.1σ0t的估計(jì)

(16)

2.2.2pt的估計(jì)

(17)

(18)

則錯(cuò)誤判決概率為

(19)

將錯(cuò)誤判決概率設(shè)為α,得到閾值γt:

(20)

(21)

式中:sum(·)為計(jì)數(shù)函數(shù);1(·)為指示函數(shù)。

2.2.3ut與σ1t的估計(jì)

(22)

假設(shè)各元素獨(dú)立同分布,構(gòu)造似然函數(shù):

(23)

(24)

至此,給出了所有未知參數(shù)的估計(jì)。將式(14)改寫為

(25)

2.3 FACAMP頻譜重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)步驟

綜上所述,FACAMP頻譜重構(gòu)算法流程歸納為算法1所示。

算法 1 FACAMP頻譜重構(gòu)算法輸入 非均勻采樣慢時(shí)間信號(hào)y',感知矩陣A';輸出 頻譜x的非稀疏估計(jì)x～;初始化:x^0=0,z0=y',t=1,tmax=100;步驟 1 更新非稀疏估計(jì)x～t=A'Hzt-1+x^t-1;步驟 2 通過(guò)式(20)計(jì)算閾值γt;步驟 3 分別通過(guò)式(16)、式(21)、式(24)計(jì)算估計(jì)值σ^0t,p^t,σ^1t和μ^t;步驟 4 更新中間變量zt=y'-A'x^t-1+zt-11δ?η^MMSEt(R)?x(R)(x～t);步驟 5 更新稀疏估計(jì)和迭代次數(shù)x^t=η^MMSEt(x～t),t=t+1;步驟 6 迭代終止條件若t>tmax或x^t+1-x^t22/x^t22<10-5終止迭代,否則執(zhí)行步驟1至步驟5的循環(huán)操作。

(26)

(27)

至此,本文給出了FACAMP頻譜重構(gòu)算法的實(shí)現(xiàn)步驟。下面對(duì)比現(xiàn)有算法對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果,分析FACAMP頻譜重構(gòu)算法的重構(gòu)性能。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證所提算法的有效性,本文采用某OTHR海面回波實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證分析。數(shù)據(jù)的脈沖數(shù)量為N=512,在距離維度截取了80個(gè)距離單元。通過(guò)FFT進(jìn)行相參積累,得到完整信號(hào)的距離多普勒(range Doppler, RD)圖,如圖2所示。幅度單位已轉(zhuǎn)換為dB,為更好展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果,值域范圍設(shè)置為230～290 dB,圖中包含強(qiáng)海雜波和3個(gè)目標(biāo),分別標(biāo)注為目標(biāo)1、目標(biāo)2和目標(biāo)3,目標(biāo)參數(shù)設(shè)置如表1所示,其中信噪比表示相參積累后的信噪比,由于目標(biāo)頻率均未設(shè)置在網(wǎng)格點(diǎn)上,各目標(biāo)的相參積累增益不同。

圖2 完整回波信號(hào)RD圖Fig.2 RD diagram of complete echo signal

實(shí)驗(yàn)測(cè)試包括頻譜重構(gòu)結(jié)果、采樣信號(hào)數(shù)量對(duì)重構(gòu)精度的影響、算法復(fù)雜度分析和目標(biāo)檢測(cè)性能分析4個(gè)方面。對(duì)比算法分別為補(bǔ)零FFT法、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[15-16]法、自適應(yīng)復(fù)近似消息傳遞(adaptive complex approximate message passing, ACAMP)[19]法、奇異值閾值算子的魯棒主成分分析(robust principal component analysis-singular value thresholding, RPCA-SVT)[18]法和非精確增廣拉格朗日乘數(shù)(inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)[9]法,參數(shù)設(shè)置與原文獻(xiàn)保持一致。其中OMP、ACAMP和FACAMP為CS重構(gòu)算法,RPCA-SVT與IALM為L(zhǎng)RMR算法。

3.1 頻譜重構(gòu)結(jié)果

分別將降采樣率δ設(shè)置為0.5和0.78,對(duì)應(yīng)有效采樣脈沖個(gè)數(shù)分別為M=256和M=400,采樣方式為隨機(jī)采樣。圖3展示了當(dāng)M=256時(shí),通過(guò)各算法重構(gòu)的RD圖,圖4為第13個(gè)距離單元(目標(biāo)3)的頻譜。圖5展示了當(dāng)M=400時(shí),通過(guò)各算法重構(gòu)的RD圖,圖6為第46個(gè)距離單元(目標(biāo)2)的頻譜。對(duì)重構(gòu)的目標(biāo)所在位置進(jìn)行了標(biāo)注。

圖3 RD圖重構(gòu)結(jié)果(M=256)Fig.3 RD map reconstruction results (M=256)

圖4 頻譜重構(gòu)結(jié)果(M=256)Fig.4 Spectrum reconstruction results (M=256)

圖5 RD圖重構(gòu)結(jié)果(M=400)Fig.5 RD map reconstruction results (M=400)

圖6 頻譜重構(gòu)結(jié)果(M=400)Fig.6 Spectrum reconstruction results (M=400)

從圖3、圖4可知:當(dāng)M=256時(shí),OMP、ACAMP、FACAMP能夠較好地實(shí)現(xiàn)頻譜重構(gòu),補(bǔ)零FFT、RPCA-SVT和IALM的重構(gòu)性能欠佳。其中OMP重構(gòu)信號(hào)是不連續(xù)的,因?yàn)楸尘爸邪S多零值,而ACAMP和FACAMP則能夠較好地同時(shí)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)、海雜波與噪聲的重構(gòu)。

從圖5、圖6可知:當(dāng)M=400時(shí),除補(bǔ)零FFT外的所有算法均能實(shí)現(xiàn)信號(hào)與海雜波的重構(gòu)。其中RPCA-SVT重構(gòu)的RD圖含有較多的虛假重構(gòu)點(diǎn),IALM、ACAMP與FACAMP的重構(gòu)效果相對(duì)較好,與原信號(hào)頻譜最為接近。此外,根據(jù)近似消息傳遞的狀態(tài)演化分析[32],FACAMP重構(gòu)的噪聲信號(hào)與原信號(hào)一樣,均服從零均值高斯分布。

3.2 采樣信號(hào)數(shù)量對(duì)重構(gòu)精度的影響

圖7 NMSE與采樣脈沖數(shù)曲線Fig.7 NMSE versus sampling pulse number curve

從圖7可知,基于CS的OMP、ACAMP和FACAMP在采樣脈沖數(shù)少于384時(shí),NMSE低于RPCA-SVT和IALM算法,FACAMP相對(duì)于ACAMP的NMSE降低了約2～3 dB。隨著采樣數(shù)的增加,RPCA-SVT和IALM的NMSE不斷降低,其中IALM在采樣脈沖數(shù)高于400時(shí),NMSE最低。因此,可以得出以下結(jié)論:在低采樣數(shù)條件下,CS重構(gòu)算法的重構(gòu)精度高于LRMR重構(gòu)算法;在高采樣數(shù)條件下,RPCA-SVT和IALM的重構(gòu)精度更高;在CS重構(gòu)算法中,FACAMP的重構(gòu)精度始終高于OMP和ACAMP。

3.3 算法復(fù)雜度分析

圖8 FACAMP收斂曲線Fig.8 FACAMP convergence curve

因此,上述算法總復(fù)雜度由高到低的排序?yàn)?IALM>RPCA-SVT>ACAMP>OMP>FACAMP。

算法復(fù)雜度可以通過(guò)運(yùn)算時(shí)間表征。在采用Intel八核處理器和內(nèi)存為16G的計(jì)算機(jī)上,利用上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),采用仿真軟件對(duì)5種算法進(jìn)行RD譜重構(gòu),分別設(shè)置不同的采樣脈沖數(shù),得到運(yùn)算時(shí)間曲線,如圖9所示。通過(guò)圖9可知,運(yùn)算時(shí)間隨采樣脈沖數(shù)的變化并不明顯,其中FACAMP的運(yùn)算時(shí)間約為1 s,OMP的運(yùn)算時(shí)間約為10～20 s,ACAMP的運(yùn)算時(shí)間約為30 s。RPCA-SVT的運(yùn)算時(shí)間約為400～700 s,而IALM的運(yùn)算時(shí)間達(dá)到2 000 s以上。FACAMP的運(yùn)算時(shí)間明顯少于其他算法,與理論分析結(jié)果保持一致。

圖9 運(yùn)算時(shí)間曲線Fig.9 Running time curve

綜上所述,將各算法的重構(gòu)性能歸納于表2,運(yùn)算時(shí)間和NMSE均為對(duì)本文的RD圖進(jìn)行重構(gòu)而得到的數(shù)據(jù)。

表2 算法重構(gòu)性能比較Table 2 Algorithm reconstruction performance’s comparison

3.4 目標(biāo)檢測(cè)性能分析

本節(jié)通過(guò)繪制檢測(cè)性能曲線,進(jìn)一步驗(yàn)證算法對(duì)目標(biāo)的重構(gòu)性能。根據(jù)CAMP算法的狀態(tài)演化分析,其具有保持背景噪聲高斯性的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)[20],且由于多普勒域存在強(qiáng)海雜波的干擾,使用距離維單元平均恒虛警處理(cell average-CFAR, CA-CFAR)得到目標(biāo)的檢測(cè)性能曲線。設(shè)置虛警概率為Pf=10-3,檢測(cè)閾值通過(guò)106次蒙特卡羅仿真計(jì)算得到,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)范圍設(shè)置為0～26 dB,其定義為SNR=10lg(Ps/Pn),其中Ps和Pn分別表示信號(hào)功率和噪聲功率。將參考單元和保護(hù)單元的數(shù)量分別設(shè)置為24和4,通過(guò)在2 000組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中注入目標(biāo)以計(jì)算檢測(cè)概率。圖10為采樣脈沖數(shù)分別為256、320、384時(shí)FACAMP和補(bǔ)零FFT的檢測(cè)性能曲線,以及完整采樣條件下FFT的檢測(cè)性能曲線。

圖10 檢測(cè)性能曲線Fig.10 Detection performance curve

從圖10可知,當(dāng)采樣脈沖數(shù)分別為256、320、384時(shí),由補(bǔ)零FFT導(dǎo)致的頻譜失真現(xiàn)象會(huì)使目標(biāo)覆蓋于噪聲背景中。當(dāng)SNR為0～26 dB時(shí),幾乎無(wú)法檢測(cè)到目標(biāo)。而FACAMP有效解決了頻譜失真問(wèn)題,使目標(biāo)的檢測(cè)性能有了很大的提升,且隨著采樣脈沖數(shù)的增加,目標(biāo)的檢測(cè)性能不斷提升。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)OTHR非均勻采樣的頻譜重構(gòu)問(wèn)題,提出了一種FACAMP頻譜重構(gòu)算法,算法具有重構(gòu)精度高、運(yùn)算速度快、自適應(yīng)性強(qiáng)和可保留背景噪聲高斯性的優(yōu)點(diǎn)。與低秩矩陣恢復(fù)算法相比,所提算法在低采樣脈沖數(shù)下具有更高的重構(gòu)精度,且運(yùn)算復(fù)雜度顯著降低;與CS重構(gòu)算法相比,所提算法運(yùn)算速度和重構(gòu)精度均有一定提升,且能夠與現(xiàn)有CFAR處理方案結(jié)合。由于在實(shí)際應(yīng)用中,采樣數(shù)量是已知的,在下一步工作中,可以通過(guò)自適應(yīng)選擇頻譜重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)最高的重構(gòu)精度,同時(shí)需綜合考慮運(yùn)算時(shí)間的成本,選擇最佳頻譜重構(gòu)方案。