文化之所向 素養(yǎng)之所往
——2022年浙江省各地區(qū)數(shù)學(xué)中考文化類試題的賞析

? 浙江省杭州市臨安區(qū)青山湖科技初級中學(xué) 李建英

? 浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 易良斌

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在課程內(nèi)容中指出“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展與數(shù)學(xué)文化,繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1],旨在教學(xué)活動中創(chuàng)設(shè)和積累以數(shù)學(xué)文化為背景的問題,滲透數(shù)學(xué)文化,突出文化價值,讓數(shù)學(xué)文化落地生根.

1 文化試題數(shù)量、內(nèi)容與類型剖析

通過對2022年浙江省九個地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)學(xué)文化類試題的統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共有20道以數(shù)學(xué)文化為背景的試題,其中杭州、寧波、溫州卷各有3題,其他地區(qū)除麗水卷外均有2題.中考數(shù)學(xué)文化試題的具體內(nèi)容和考查知識點見表1.

表1

通過對2018-2022年浙江省中考數(shù)學(xué)試卷的分析,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化類試題在2022年的比重尤其突出(如圖1),試題內(nèi)容除了涉及數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等,還增加了更多數(shù)學(xué)與人文社會及其他學(xué)科融合的試題.

圖1

2 數(shù)學(xué)文化類試題賞析

對2022年浙江省中考數(shù)學(xué)文化類試題進行賞析,發(fā)現(xiàn)不同的試題背景下,數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造著不同的價值.命題者分別從融合多學(xué)科、滲透數(shù)學(xué)史、凸顯數(shù)學(xué)美、串聯(lián)現(xiàn)代科技的視角挖掘數(shù)學(xué)文化的工具價值、人文價值、思維價值和素養(yǎng)價值.

2.1 融合多學(xué)科,體現(xiàn)工具價值

例1(嘉興卷·15)某動物園利用杠桿原理稱象:如圖2,在點P處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長的鋼梁(呈水平狀態(tài)),將裝有大象的鐵籠和彈簧秤(秤的重力忽略不計)分別懸掛在鋼梁的點A,B處,當(dāng)鋼梁保持水平時,彈簧秤讀數(shù)為k(單位:N).若鐵籠固定不動,移動彈簧秤使BP擴大到原來的n(n>1)倍,且鋼梁保持水平,則彈簧秤讀數(shù)為(單位:N)(用含n,k的代數(shù)式表示).

圖2

2.2 滲透數(shù)學(xué)史,體現(xiàn)人文價值

從2022年浙江省中考數(shù)學(xué)文化類試題的類型可以看出,數(shù)學(xué)史占總數(shù)量的44%,足以看出命題者對數(shù)學(xué)史的重視程度.不同的命題人會選擇不同的載體融入數(shù)學(xué)史,有外揚型、內(nèi)嵌型和引譯型.外揚型是基于數(shù)學(xué)家的著名成就,增設(shè)條件,改變情境.內(nèi)嵌型是問題本身看不出數(shù)學(xué)文化,但在解題中需要借鑒數(shù)學(xué)史帶來的啟示解決問題.引譯型是直接引用數(shù)學(xué)著作中的問題,用譯文映射到考題中.

2.2.1 外揚型滲透,展示文化貢獻

圖3

解決此題的過程貫通了正方形、銳角三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形、解直角三角形等初中數(shù)學(xué)幾何核心知識間的聯(lián)系,同時滲透了方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.解題余味濃厚,計算發(fā)現(xiàn)C是EH的黃金分割點,L是CM的黃金分割點.通過此題不僅向?qū)W生展示了文化貢獻,提升思維層級,還寓意著在巨人的肩膀上不斷前行.

2.2.2 內(nèi)嵌型滲透,凸顯文化意義

圖4

賞析：趙爽弦圖中蘊含著豐富的幾何特征和代數(shù)結(jié)構(gòu),被稱為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”.命題者在反比例函數(shù)的背景下將趙爽弦圖內(nèi)嵌其中,將數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得酣暢透徹.解題的關(guān)鍵是需要將圖中的“斜”正方形轉(zhuǎn)為“正”正方形,俗稱“改斜歸正”.構(gòu)圖的啟發(fā)來源于趙爽弦圖,既可以如圖5構(gòu)造外弦圖,也可以如圖6構(gòu)造內(nèi)弦圖.將數(shù)學(xué)文化以這種內(nèi)嵌式的方式進行滲透,增強學(xué)生的幾何直觀、模型意識、模型觀念等核心素養(yǎng),凸顯數(shù)學(xué)文化的意義.

圖5

圖6

2.2.3 引譯型滲透,揭示文化發(fā)展

賞析：《九章算術(shù)》是一本反映我國古代數(shù)學(xué)成就的重要著作,全書總結(jié)了246個古人在生產(chǎn)生活中遇到的數(shù)學(xué)問題,此題就是其中之一.命題者既關(guān)注情境應(yīng)用,也關(guān)注文化滲透.首先以引譯型的方式將古代問題呈現(xiàn)在考生面前,引用部分是為了提升學(xué)生對我國數(shù)學(xué)成就的文化自信,增強民族自豪感;譯文部分揭示了文化的發(fā)展,也為保證考試的公平性.本題主要考查學(xué)生根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,建立模型觀念.

2.3 凸顯數(shù)學(xué)美,體現(xiàn)思維價值

圖7

2.4 關(guān)聯(lián)前瞻性,體現(xiàn)素養(yǎng)價值

圖8

圖9

(1)點F的高度EF為_____m;

(2)設(shè)∠DAB=α,∠D′A′B′=β,則α與β的數(shù)量關(guān)系是.

賞析：此題以光伏發(fā)電的場景為背景,看似是一個陌生的背景,實則在浙教版七年級下冊第一章閱讀材料“地球有多大”中就有預(yù)設(shè),因此在考試中同樣具有公平性.我國在太陽能光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)的發(fā)展占據(jù)全球前列,因而該試題是展現(xiàn)數(shù)學(xué)成果在人類發(fā)展中的作用.命題者將光伏發(fā)電這樣的現(xiàn)代科技抽象成數(shù)學(xué)問題,反映數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活,服務(wù)于生活.解決本題的關(guān)鍵是靈活運用光的反射原理,如圖11,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì),通過∠NAG=∠MA′G,轉(zhuǎn)化得到∠FAN與∠FA′M的數(shù)量關(guān)系,進而求解.解決此題既可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在社會和科技發(fā)展中的應(yīng)用,又能培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達世界[2],這正是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的三個方面.

圖11

3 教學(xué)啟示

3.1 以“著名與成果”為引領(lǐng),挖掘數(shù)學(xué)文化

在教學(xué)中,教師要善于挖掘教材中關(guān)于數(shù)學(xué)成果的介紹.如,浙教版教材在八年級上冊的作業(yè)題中記載有《九章算術(shù)》中的一道數(shù)學(xué)題[3],教學(xué)中要以此為契機,組織學(xué)生開展對該書的閱讀活動,弘揚民族自信,拓寬學(xué)生視野,并在閱讀后征集更多有趣的數(shù)學(xué)問題進行研究.又如,浙教版八年級下冊第二章閱讀材料中記載了《幾何原本》《大衍歷》《田畝比類乘除捷法》等書中對于一元二次方程的不同解法,教師在教學(xué)中可嘗試讓學(xué)生整理解法,關(guān)注古代解法與現(xiàn)代解法的異曲同工之妙,體會數(shù)學(xué)思想方法,也可以找出不同解法的優(yōu)缺點,培養(yǎng)反思質(zhì)疑精神.

3.2 以“綜合與實踐”為依托,著力素養(yǎng)提升

筆者對浙教版六本初中數(shù)學(xué)教材的“綜合與實踐”內(nèi)容進行了整理,共有110個學(xué)習(xí)資源,這些資源大多集中在閱讀材料、設(shè)計題和探究活動的位置,這些位置的內(nèi)容有助于學(xué)生更系統(tǒng)化、整體化和結(jié)構(gòu)化地理解數(shù)學(xué)知識,使學(xué)生更有效地進行知識遷移.如浙教版九年級上冊第一章的設(shè)計題,需要學(xué)生設(shè)計實驗探索一個物體自由沿著斜面作直線運動時,路程與時間的關(guān)系.學(xué)生親自經(jīng)歷設(shè)計方案、實驗過程、獲取數(shù)據(jù)以及畫圖、猜想函數(shù)式、檢驗等各環(huán)節(jié),鞏固二次函數(shù)的有關(guān)知識,培養(yǎng)模型觀念,使得學(xué)生的思維具有開放性和獨創(chuàng)性.又如浙教版九年級下冊第一章探究活動,需學(xué)生探究sin18°和黃金比的關(guān)系,教學(xué)中可以融入對黃金三角形、五角星等圖形的探究,引導(dǎo)學(xué)生一題多解,使學(xué)生思維具有統(tǒng)整性和靈活性.

3.3 以“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”為契機,拓展數(shù)學(xué)價值

為了拓展數(shù)學(xué)的價值,跨學(xué)科的研究是必不可少或缺的.跨學(xué)科學(xué)習(xí)是指從課內(nèi)到課外開展項目化學(xué)習(xí),以提升學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察真實世界,解決現(xiàn)實問題的素養(yǎng),感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合,培養(yǎng)學(xué)生的多元化思考.如“體育與心率”項目以怎樣運動更健康更有效為驅(qū)動性問題,融合了模型觀念,依托信息技術(shù),融合了生物學(xué)知識儲備和體育運動數(shù)據(jù)收集處理等內(nèi)容.通過項目學(xué)習(xí),學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程當(dāng)中提升運用知識分析問題、解決問題的能力.以“跨學(xué)科學(xué)習(xí)”為契機培養(yǎng)學(xué)生的實踐與創(chuàng)新能力、應(yīng)用意識與合作意識,感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義,進一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,最終實現(xiàn)立德樹人的育人目標(biāo).

命題者將數(shù)學(xué)文化融入試題,教師將數(shù)學(xué)文化滲入教學(xué),學(xué)生將數(shù)學(xué)文化擁入靈魂[4],只有教、學(xué)、評一致,方能發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的最大價值,促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面形成.