提升計(jì)算能力 培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)*
——“解一元二次方程——配方法”教學(xué)實(shí)錄與反思

? 廣東省教育研究院黃埔實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鄭妙蘭

1 基本情況

1.1 學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生在八年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了完全平方公式,具備一定的配方技巧與運(yùn)算能力,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

1.2 教材分析

“解一元二次方程——配方法”為人教版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第21章第2節(jié)的內(nèi)容,本章主要內(nèi)容是一元二次方程及其解法和應(yīng)用.這是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的重要工具,對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、解決問(wèn)題的能力有重要意義.由于配方法與二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)性,方程更是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型,凸顯了配方法的重要性以及解決實(shí)際問(wèn)題的需要.

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的步驟,能熟練用直接開(kāi)方法解一元二次方程;

(2)能用配方法解形如(x+p)2=q的一元二次方程并掌握轉(zhuǎn)化技能.

1.4 重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn):用配方法解一元二次方程.

難點(diǎn):把常數(shù)項(xiàng)移到方程(二次項(xiàng)系數(shù)化為1)右邊后,兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 復(fù)習(xí)引入

解下列方程:

(1)x2=4; (2)2x2=18; (3)(x+3)2=25.

前面已學(xué)過(guò)平方的概念及利用平方的定義求相應(yīng)未知數(shù)的值.因此,這三題可通過(guò)開(kāi)方降次的方法來(lái)求解.復(fù)習(xí)回顧所學(xué)內(nèi)容,同時(shí)為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作銜接.

教師提問(wèn):你會(huì)解下面的方程嗎?(教師板書(shū))

x2+6x+4=0.

當(dāng)方程變?yōu)樾稳鏰x2+bx+c=0(a≠0)的形式該如何求解?充分引發(fā)學(xué)生思考,引起其思維活動(dòng),激發(fā)其探知欲.

2.2 探索新知

溫故而知新(學(xué)生回答):

a2+2ab+b2=(a+b)2;

a2-2ab+b2=(a-b)2.

對(duì)完全平方公式“形”的認(rèn)識(shí).

在下列各空白處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式,使各等式成立.(學(xué)生上臺(tái)演算)

(1)x2+6x+=(x+3)2;

(2)x2+8x+=(x+)2;

(3)x2-4x+=(x)2;

(4)x2+px+=(x+)2.

共同點(diǎn):左邊所填常數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

教師再次提問(wèn):如何求解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程?

引發(fā)學(xué)生思考,自主總結(jié)規(guī)律,教師適當(dāng)引導(dǎo),促進(jìn)學(xué)生對(duì)完全平方公式“神”的認(rèn)識(shí).

利用配方法解方程x2+6x+4=0的過(guò)程可以用框圖來(lái)表示,如圖1表示.

圖1

教師板書(shū),一步一步分析,體現(xiàn)思維的演變過(guò)程.

像這樣,通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法,叫配方法.

教師總結(jié):可以看出,配方是為了降次,把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解.

解一元二次方程的基本思路:

把原方程變?yōu)樾稳?x+h)2=k(其中h,k是常數(shù))的形式,然后兩邊開(kāi)平方求解,具體情況如圖2所示.

圖2

2.3 例題展示

解下列一元二次方程:

(1)x2+4x+4=0; (2)x2+8x-9=0;

(3)x2-2x+5=0.

在介紹完配方的基礎(chǔ)知識(shí)后,要求學(xué)生自主解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程.學(xué)生上臺(tái)演示,教師訂正,達(dá)到對(duì)所學(xué)新知及時(shí)鞏固的目的.

2.4 變式訓(xùn)練

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí),該如何求解?引導(dǎo)學(xué)生思考,如3x2+12x+24=0.

2.5 課堂總結(jié)

用配方法解一元二次方程的步驟如圖3所示:

圖3

2.6 互動(dòng)游戲

看看哪個(gè)是最牛小組:在規(guī)定時(shí)間內(nèi),看看哪個(gè)小組正確率高,得分最高者獲勝!

讓學(xué)生在學(xué)中玩,玩中學(xué),達(dá)到學(xué)以致用.

3 設(shè)計(jì)說(shuō)明與反思

3.1 設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)課基于一元二次方程的概念,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)完全平方公式的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用,學(xué)會(huì)配方,感受新知與舊知之間的關(guān)系,積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),提高計(jì)算能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).根據(jù)學(xué)情、知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)等,將整節(jié)課分為六個(gè)環(huán)節(jié)即復(fù)習(xí)引入、探索新知、例題演示、變式訓(xùn)練、課堂總結(jié)、互動(dòng)游戲進(jìn)行授課.

在“復(fù)習(xí)引入”中用平方的知識(shí)喚起學(xué)生對(duì)舊知的回顧,充分利用好前面所學(xué)內(nèi)容,對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用.讓學(xué)生充分體會(huì)到解決一元二次方程要將其轉(zhuǎn)化為形如x2=a(a≥0)的形式,并學(xué)會(huì)如何轉(zhuǎn)化成這個(gè)形式.尤其要讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)上認(rèn)清公式,這往往就是學(xué)習(xí)的開(kāi)始,由此引導(dǎo)學(xué)生的思考方向,為本節(jié)課指定學(xué)習(xí)方向標(biāo).

在“探索新知”中設(shè)置了學(xué)生自主思考與探究環(huán)節(jié),對(duì)方程進(jìn)行了適當(dāng)變式,增設(shè)新問(wèn)題,讓學(xué)生體會(huì)完全平方公式從“形”變到“神”變的過(guò)程,從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)完全平方公式,掌握配方的解題方法.從二次項(xiàng)系數(shù)為1到二次項(xiàng)系數(shù)不為1的變式演練,加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解,有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決,從特殊到一般,適當(dāng)引導(dǎo),進(jìn)而歸納出用配方法解一元二次方程的步驟.

3.2 反思

(1)把時(shí)間還給學(xué)生

把時(shí)間還給學(xué)生,讓學(xué)生成為課堂的主人,切實(shí)體現(xiàn)新課改提出的把學(xué)生培養(yǎng)成發(fā)展的人,同時(shí)達(dá)到有效教學(xué)的效果.當(dāng)學(xué)生把學(xué)習(xí)變成自身的自主行為,其自主性得到了發(fā)展,學(xué)生積極了,老師在課堂上也就輕松多了.這節(jié)課的重點(diǎn)在于學(xué)生練習(xí)并總結(jié)方法和規(guī)律,很多技能雖然要求掌握的層次不同,但都是每個(gè)學(xué)生應(yīng)真正掌握的知識(shí).

(2)把演示交給學(xué)生

合作解疑和激勵(lì)引導(dǎo)一直是課堂上需要攻破的重要節(jié)點(diǎn).學(xué)生的疑問(wèn)不是老師一味的講解就能解決的,應(yīng)放手讓學(xué)生去試錯(cuò)、去探究,可以從本質(zhì)上讓學(xué)生體會(huì)“為什么?”“該怎么做?”對(duì)題目的理解不應(yīng)處于似懂非懂的狀態(tài),而應(yīng)是徹底通透的理解.如本節(jié)課中配方法的探究,讓學(xué)生在探究過(guò)程中自行摸索后上臺(tái)演示,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)題目的理解程度,有助于教師在關(guān)鍵處適當(dāng)引導(dǎo).