以問題為鑰，開啟小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)之門
——以“圓的認(rèn)識”教學(xué)為例

浙江溫州市泰順縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)（325511） 蘇浙閩

問題引導(dǎo)是一種以問題為核心，讓學(xué)生在解決問題的過程中獲得知識和技能的教學(xué)策略。實(shí)施問題引導(dǎo)教學(xué)策略時(shí)，教師不再是單純的知識傳授者，而是引導(dǎo)者和協(xié)助者，學(xué)生則從被動接受者變?yōu)橹鲃犹剿髡?。這種教學(xué)策略有利于引導(dǎo)學(xué)生主動思考和分析問題，培養(yǎng)他們的批判性思考能力、邏輯推理能力及問題解決能力。

一、以問題開展深度教學(xué)的方案設(shè)計(jì)

小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)的方案設(shè)計(jì)需遵循三項(xiàng)原則。第一，目的性原則。強(qiáng)調(diào)在教學(xué)過程中必須有明確的目標(biāo)，教師應(yīng)確保所教授的內(nèi)容與設(shè)定的目標(biāo)相符，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)的意義和目的。第二，順序性原則。內(nèi)容的呈現(xiàn)和教學(xué)應(yīng)按照一定的邏輯和順序進(jìn)行，從簡單到復(fù)雜、從淺顯到深入，使學(xué)生逐步加深對數(shù)學(xué)知識的理解。第三，適度性原則。在確定教學(xué)內(nèi)容和難度時(shí)，需要考慮學(xué)生的實(shí)際能力和接受程度。過于簡單的問題可能會讓學(xué)生失去興趣，難度過大的問題則可能會讓他們產(chǎn)生挫敗感，難度適當(dāng)?shù)膯栴}可以體現(xiàn)“以生為本”的教學(xué)理念，并激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。

筆者通過“提出問題→分析問題→解決問題→深化問題”四個(gè)環(huán)節(jié)來開展深度教學(xué)，由淺入深、層層遞進(jìn)，并對每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)過程進(jìn)行了詳細(xì)、具體化的操作展示（如圖1），以逐步夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

圖1

二、以問題開展深度教學(xué)的實(shí)踐論證

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入教學(xué)內(nèi)容

1.以問題明確探究方向

問題①：請利用身邊的物品繪制一個(gè)圓。

問題②：你能使用圓規(guī)繪制不同尺寸的圓嗎？

由于不同學(xué)生的認(rèn)知水平不同，教師需要借助對話互動、游戲等多種方式，引導(dǎo)學(xué)生思考并探索情境中的數(shù)學(xué)問題，促使他們提高從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力。

例如，在出示問題①后，有的學(xué)生利用杯子的底部來畫圓，有的學(xué)生使用膠帶圈來畫圓，不過大多數(shù)學(xué)生是利用圓規(guī)來畫圓。基于這樣的教學(xué)情況，筆者提出問題②，引導(dǎo)學(xué)生將注意力集中在“利用圓規(guī)畫圓”上。整個(gè)繪制圓的過程直觀展示了圓的本質(zhì)特征，而選擇不同工具繪制圓的過程則加深了學(xué)生對圓本質(zhì)特征的思考。

2.以問題促進(jìn)探究體驗(yàn)

問題③：為什么用圓規(guī)可以畫出規(guī)范的圓？

問題④：為什么有的人用圓規(guī)畫的圓不標(biāo)準(zhǔn)？

利用圓規(guī)畫圓時(shí)，大部分學(xué)生都可以畫出規(guī)范的圓，甚至有的學(xué)生可以獨(dú)立描述繪制圓的各個(gè)步驟，但還有小部分學(xué)生未能真正理解用圓規(guī)畫圓畫得標(biāo)準(zhǔn)的原因。筆者抓住這一關(guān)鍵機(jī)會對學(xué)生提出問題④，引導(dǎo)學(xué)生探尋畫圓的關(guān)鍵。

生1：這個(gè)圓里有許多小孔，可見他在畫圓時(shí)圓規(guī)針尖移動了。

生2：這個(gè)圓的邊緣不平整，可能是因?yàn)楫媹A的過程中圓規(guī)兩腳之間的距離改變了。

生3：用圓規(guī)畫圓時(shí)，最好持握圓規(guī)最上面的部分。若我們持握的是它的腳，那么畫出的圓就不夠規(guī)范。

師：你們說的基本正確，那我們應(yīng)如何保證每次都能畫出規(guī)范的圓呢？

生4：確保圓規(guī)針尖位置固定不變，且圓規(guī)兩腳之間的距離也應(yīng)保持不變。

由于語言能力所限，學(xué)生的表達(dá)可能不夠標(biāo)準(zhǔn)，但他們想要表達(dá)的意思非常明確，且給出的建議都基于他們的實(shí)踐體驗(yàn)。在畫圓的活動中，學(xué)生的探索欲得到激發(fā)，且都能夠熱衷于分享自己的觀點(diǎn)，這種由學(xué)生自主思考并得出結(jié)論的方式的教學(xué)效果往往比教師直接給出答案好得多。

（二）分組合作，延長探究深度

1.以問題促進(jìn)深度思考

問題⑤：為什么有的人將圓畫在紙的左邊，有的人畫在紙的右邊？

問題⑥：為什么有的人畫出的圓很大，有的人畫出的卻很??？

通過展示學(xué)生的畫圓成果，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫出的圓各式各樣、不盡相同。利用問題⑤可以自然地引出圓的位置這一重要知識點(diǎn)，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)“圓心”對圓的位置的重要性；利用問題⑥可以很好地引出“半徑”的概念，讓學(xué)生明白“半徑”與圓的大小之間的關(guān)系。在這一過程中，筆者借助問題引導(dǎo)學(xué)生從表面現(xiàn)象中提煉本質(zhì)，進(jìn)而提升其思維深度。若一開始筆者便詢問：“什么是圓心？什么是半徑？”這樣直接的問題雖接近要點(diǎn)，卻不足以激發(fā)學(xué)生對知識的深入探索欲。

在疑問的引導(dǎo)下，學(xué)生更加愿意主動探求答案，從而培養(yǎng)自身良好的學(xué)習(xí)思維。因此，教師在探究性教學(xué)中應(yīng)重視提出與學(xué)生直接相關(guān)的問題，引導(dǎo)學(xué)生對自身的實(shí)際操作步驟進(jìn)行思考，使其在思考中加深認(rèn)知、積累經(jīng)驗(yàn)。

2.以問題促進(jìn)知識內(nèi)化

實(shí)踐、探究和交流是掌握數(shù)學(xué)知識以及鍛煉數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，給予學(xué)生充分的課堂時(shí)間、空間，讓學(xué)生有機(jī)會在實(shí)驗(yàn)中觀測、推斷、體會和反思。為了讓學(xué)生深入研究圓的基本特征，筆者事先為學(xué)生準(zhǔn)備了不同半徑的圓形紙片，采用開放式教學(xué)方式，鼓勵學(xué)生在課堂上自由發(fā)揮，為創(chuàng)意思考提供平臺。

問題⑦：通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我先在一張紙片上畫出幾條半徑，然后用直尺測量其長度，發(fā)現(xiàn)每條半徑的長度都相同。

生2：我剪下與半徑同樣長的一根繩子，將繩子的一端固定在圓心，另一端繞邊緣旋轉(zhuǎn)一圈，發(fā)現(xiàn)繩子的另一端始終在圓的邊緣上。

問題⑧：誰還有其他發(fā)現(xiàn)？

生3：我發(fā)現(xiàn)不論從圓心畫出多少條線，只要它們都到達(dá)圓的邊緣，它們的長度就都是一樣的。

師：你的想法非常特別！你能說說為什么所有從圓心到邊緣的線的長度都是一樣的嗎？

生4：因?yàn)閳A心與邊緣上任意一點(diǎn)的連線都可以視為半徑，而半徑的特征就是同一個(gè)圓的所有半徑相等。

生5：我發(fā)現(xiàn)同一個(gè)圓內(nèi)兩條半徑的長度之和等于一條直徑的長度。

在教學(xué)“圓的認(rèn)識”時(shí)，若一味采取折疊、測量、對比等活動引出“圓有無數(shù)條半徑”“同一個(gè)圓的所有直徑長度相等”等知識點(diǎn)，并采取不斷訓(xùn)練的方式讓學(xué)生加深理解，難免會忽略對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，致使部分學(xué)生因未真正理解“圓”而強(qiáng)行記憶。因此，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生進(jìn)行推測、實(shí)證，再進(jìn)行總結(jié)和應(yīng)用，促使其主動思考并開展邏輯推理，從而深入理解圓的本質(zhì)特征。

（三）結(jié)合實(shí)踐，提升應(yīng)用能力

1.以問題引出知識價(jià)值

問題⑨：你能從數(shù)學(xué)的角度解釋車輪為什么要做成圓的，車軸為什么裝在車輪的中心嗎？

生1：圓形的輪子沒有邊角，可以在地面上流暢運(yùn)動。

生2：假如輪子是方形的，它轉(zhuǎn)動時(shí)會產(chǎn)生顛簸，很不平穩(wěn)。

生3：車軸位于圓形車輪的中心，行駛時(shí)就很穩(wěn)定，如果車軸偏離中心，行駛時(shí)就會不穩(wěn)定。

師：為什么車軸位于圓心時(shí)，車能夠平穩(wěn)地行駛？

生4：因?yàn)閳A的半徑長度是固定的，車軸在圓心時(shí)，它到地面的距離始終是相同的，這就能讓車輛行駛平穩(wěn)。

筆者按照“生活中的圓→數(shù)學(xué)中的圓→圓的特征→回歸生活”的順序教學(xué)，通過“發(fā)現(xiàn)問題→操作探究→知識內(nèi)化→應(yīng)用”的流程緊密結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)踐提出問題，發(fā)展學(xué)生的高階思維。經(jīng)過教與學(xué)的互動，學(xué)生不僅能從實(shí)際問題中抽象出圓的關(guān)鍵特征，還展示了他們對這一特征的個(gè)性化認(rèn)識。

2.以問題彰顯數(shù)學(xué)魅力

圓是生活中常見的形狀，為了讓學(xué)生更深刻地感受圓的價(jià)值，教師可以展示一系列與圓有關(guān)的圖片：圓形的時(shí)鐘，時(shí)針、分針、秒針圍繞中心旋轉(zhuǎn)的軌跡是圓形；古老的建筑，如羅馬斗獸場的設(shè)計(jì)使用了圓形和半圓形；舞蹈和繪畫運(yùn)用了圓形這一元素；石子投入湖中蕩開一圈又一圈的圓形波紋；太陽下盛開的向日葵；陽光產(chǎn)生的圓形光暈。還可以向?qū)W生滲透：在中國文化中，圓象征著團(tuán)聚和完整，在表達(dá)美好祝愿時(shí)，人們也喜歡使用“圓滿”和“圓夢”等詞匯，以及許多文學(xué)作品往往是圓滿的大結(jié)局。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入探索圓的歷史、文化和美感，能讓他們更加珍視和欣賞圓的無盡魅力。

（四）拓展延伸，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維

1.以問題拓展思維寬度

“圓的認(rèn)識”是被安排在學(xué)生對圓有了直觀認(rèn)識以及對平面圖形有了較為系統(tǒng)認(rèn)知后學(xué)習(xí)的。筆者通過如下同一份問卷來了解學(xué)生學(xué)習(xí)這一課前后的情況，以及學(xué)生對知識的內(nèi)化程度，并根據(jù)學(xué)情調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，從而拓展學(xué)生的思維寬度。

（1）你對圓了解嗎？

A.很了解 B.一般 C.不了解

（2）你能畫出一個(gè)規(guī)范的圓嗎？

A.可以 B.可以，但不一定規(guī)范

C.不可以

（3）你認(rèn)為圓形物體在生活中的價(jià)值如何？

A.價(jià)值很大 B.價(jià)值一般 C.沒有價(jià)值

（4）關(guān)于圓，你最想了解哪些問題？

分析課前調(diào)查數(shù)據(jù)，筆者發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生對圓的知識掌握較淺，且不同學(xué)生在理解程度上表現(xiàn)出較大差距，關(guān)于問卷最后的開放性問題，學(xué)生主要提出以下問題：

①如何快速畫出一個(gè)圓？

②如何畫出任意大小的圓？

③如何快速計(jì)算圓的周長與面積？其計(jì)算公式是什么？

④學(xué)習(xí)圓對我們的生活有什么幫助？

在學(xué)生學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識”一課后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出的問題變得更加深刻且具體，提出的問題有：

①祖沖之使用了哪些方法來計(jì)算圓周率？

②通過計(jì)算機(jī)可以將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后多少位？

③為什么生活中常見的下水道井蓋是圓形的，還有部分是方形的？

④圓形有那么多好處，為什么不將房子建成圓形？

⑤現(xiàn)實(shí)生活中有沒有完美而規(guī)范的圓形物體？

⑥畫圓的最好方式就是用圓規(guī)嗎？

⑦圓是什么時(shí)候被發(fā)現(xiàn)并被定義的呢？

用同一份問卷對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)前后的兩次調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的想象力是非常豐富的，如果教師僅僅依照教學(xué)大綱開展教學(xué)活動，有可能會扼殺學(xué)生對知識的好奇心和探索欲。即使學(xué)生提出的某些問題超出了教材范圍，教師也應(yīng)適當(dāng)進(jìn)行課堂拓展，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲。

2.以問題延伸思維深度

不斷地質(zhì)疑問難、主動地深入探索、及時(shí)地自我反思……這些都是學(xué)生養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的有效方式。因此，在對上述的問卷反饋信息進(jìn)行分析、總結(jié)之后，筆者從中挑選出多數(shù)學(xué)生感興趣的問題，構(gòu)建班級共同目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生開展更為深入的研究。探究內(nèi)容及步驟如下。

【探究問題】為什么生活中常見的下水道井蓋是圓形的？

【探究形式】分組合作、自主探究。

【探究方法】上網(wǎng)查閱資料、到圖書館查閱資料、組內(nèi)成員商議或向小區(qū)物業(yè)人員尋求幫助。

【探究結(jié)果】

大多數(shù)井蓋是圓形的原因如下。

①安全性高。無論如何旋轉(zhuǎn)，圓形井蓋的直徑始終大于其下方的開口，圓形井蓋不會突然掉進(jìn)井內(nèi)。而其他形狀，如正方形或矩形，如果斜著放置，可能會掉入井內(nèi)。

②易于移動、安裝。由于其圓形結(jié)構(gòu)，工作人員可以通過滾動輕松移動它，而不必費(fèi)力地抬起它，且在重新放置圓形井蓋時(shí)不需要對其進(jìn)行位置對齊。

③均勻分布壓力。圓形可以更均勻地分散地面上的壓力，有效降低因?yàn)橹匦蛙囕v經(jīng)過而導(dǎo)致的損壞風(fēng)險(xiǎn)。

小區(qū)下水道井井蓋為方形的原因如下。

由于某些下水道井的深度較淺，其內(nèi)部空間要求也不大，為了最大程度上便于施工，自然就將其做成了方形。除此之外，住宅小區(qū)內(nèi)部的地磚多為方形，如果配備圓形的井蓋，則會給鋪磚工作帶來極大的不便。因此，從人工成本的角度考慮，方形更為適宜。生活中除圓形和方形外，還有很多其他形狀的井蓋，這是根據(jù)不同場景需要設(shè)計(jì)的。

在上述探究過程中，學(xué)生不僅得到了認(rèn)知方面的提升，還獲得了反思、概括、舉一反三等方面的能力。另外，學(xué)生還能深刻感受到數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用價(jià)值，領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活”的深刻道理。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上就是不斷提出、分析、解決以及深化問題的過程。對于實(shí)行數(shù)學(xué)深度教學(xué)，教師應(yīng)該認(rèn)識到學(xué)生的既有知識和能力，并在遵循目的性、順序性以及適度性三原則的基礎(chǔ)上優(yōu)化教學(xué)框架，通過合適的問題場景引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己經(jīng)驗(yàn)的局限，并激勵他們開展探究性學(xué)習(xí)活動，不斷深入探索數(shù)學(xué)的奧秘，開啟數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)之旅。