多元表征：學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)有跡生長(zhǎng)的路徑尋繹

江蘇連云港師范高等?？茖W(xué)校第三附屬小學(xué)（222006） 楊宇超

近年來(lái)，多元表征在教育領(lǐng)域越來(lái)越受到關(guān)注，研究的重點(diǎn)也逐漸從實(shí)驗(yàn)情境中多元外在表征對(duì)學(xué)習(xí)的影響，轉(zhuǎn)向真實(shí)課堂中如何有效運(yùn)用多元表征進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識(shí)。研究結(jié)果顯示，科學(xué)地將多元表征運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，可以幫助學(xué)生進(jìn)行有意義的知識(shí)建構(gòu)。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該靈活運(yùn)用多元表征優(yōu)化教學(xué)思路，以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

一、意蘊(yùn)探尋：多元表征的涵義闡釋與現(xiàn)狀分析

（一）多元表征的涵義闡釋

在數(shù)學(xué)中，多元表征指的是把同一種數(shù)學(xué)知識(shí)通過(guò)不同的形式表現(xiàn)出來(lái)。筆者認(rèn)為，可以用外在多元表征結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（如圖1）來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程。從教學(xué)角度來(lái)講，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是基礎(chǔ)概念教學(xué)的推進(jìn)，利用基礎(chǔ)概念來(lái)解決生活中的一些問(wèn)題。問(wèn)題解決表征大體可以分為四種：語(yǔ)言或文字表征、圖形或圖表表征、數(shù)字或符號(hào)表征、操作或過(guò)程表征。在小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，運(yùn)用多元表征可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確理解，幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的最佳方法，并促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

圖1

（二）多元表征的現(xiàn)狀分析

目前，多元表征的研究已經(jīng)取得了一定的成果，但也存在一些不足之處。首先，部分鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)對(duì)多元表征的關(guān)注度明顯不足，運(yùn)用多元表征進(jìn)行教學(xué)仍處于起步階段；其次，大多數(shù)教師已經(jīng)意識(shí)到多元表征的重要性，但在成果轉(zhuǎn)化方面，他們僅停留在對(duì)具體課例的“見(jiàn)招拆招”上，缺乏經(jīng)驗(yàn)性策略的總結(jié)和一般理論支撐的建構(gòu)，缺乏深層次的思考；最后，目前的多元表征研究大多側(cè)重于多元表征的現(xiàn)狀和簡(jiǎn)單應(yīng)用，對(duì)于表征轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯策略的研究相對(duì)較少，并且缺乏與學(xué)生思維意識(shí)相結(jié)合的研究，對(duì)于解決核心問(wèn)題缺乏深入探討的勇氣。

二、理性厘析：多元表征實(shí)踐訴求及價(jià)值尋繹

（一）減少認(rèn)知負(fù)荷——多元表征教學(xué)的初衷

認(rèn)知負(fù)荷理論是由澳大利亞心理學(xué)家約翰·斯威勒提出的，認(rèn)知負(fù)荷可以看作是完成某項(xiàng)任務(wù)對(duì)認(rèn)知系統(tǒng)所造成的負(fù)荷。在小學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生通過(guò)單一的語(yǔ)言或文字表征往往難以深入理解抽象概念的內(nèi)涵。因此，教師需要降低學(xué)生的內(nèi)在和外在負(fù)荷，增加有效負(fù)荷。多元表征的運(yùn)用可以將復(fù)雜抽象的概念分解，從而降低知識(shí)本身的內(nèi)在負(fù)荷。

（二）實(shí)現(xiàn)智慧課堂——多元表征教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是知識(shí)的積累，還伴隨著思維與邏輯的發(fā)展。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該超越課本上具體概念與知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步探索在思維的發(fā)散和碰撞中萌發(fā)的數(shù)學(xué)智慧。多元表征的運(yùn)用使數(shù)學(xué)知識(shí)的表征變得更加多樣化，有助于深化學(xué)生對(duì)核心內(nèi)容的理解。多元表征能夠使知識(shí)學(xué)習(xí)變得更加緊密和系統(tǒng)化，有助于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維意識(shí)得到更廣泛的拓展。如此，學(xué)生構(gòu)建新知識(shí)將變得更加容易。

（三）解決問(wèn)題核心——多元表征教學(xué)的價(jià)值

恰當(dāng)?shù)爻尸F(xiàn)、互換和融合不同類型的數(shù)學(xué)表征，能夠幫助學(xué)生發(fā)展思維意識(shí)，從而有效提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。不同類型的表征在解決相同問(wèn)題時(shí)往往呈現(xiàn)出不同的效果，其中圖形表征更具直觀性，更能幫助學(xué)生理解問(wèn)題的核心。

三、實(shí)踐構(gòu)建：基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂運(yùn)用及轉(zhuǎn)換策略

（一）意識(shí)凝聚：層層珠連，聚焦多元表征建模萌發(fā)

1.重視“數(shù)形+結(jié)合”，促進(jìn)多元表征的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯

多元表征的核心在于表征之間的轉(zhuǎn)換或轉(zhuǎn)譯。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常通過(guò)圖形或?qū)嵨锊僮鞯确椒◣椭鷮W(xué)生理解，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后使用文字或符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行標(biāo)注。在這些過(guò)程的相互作用下，學(xué)生能夠更深入地理解知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)。數(shù)和形之間的緊密聯(lián)系能夠激活學(xué)生的思維，使學(xué)生的理解模型化、具體化和清晰化，形成一系列思維碎片。然而，最關(guān)鍵的是如何將這些碎片進(jìn)行整合，重新構(gòu)建數(shù)和形的關(guān)系，將數(shù)量、結(jié)構(gòu)、內(nèi)涵等進(jìn)行融合，形成一個(gè)完整的體系。對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，建立“形”與“數(shù)”之間的聯(lián)結(jié)，以及建立“形”的結(jié)構(gòu)、內(nèi)涵意義與運(yùn)算關(guān)系之間的聯(lián)結(jié)并不是一件容易的事情。教師需要思考如何幫助學(xué)生建立這些聯(lián)結(jié)。

2.重視“操作+思考”，促進(jìn)多元表征學(xué)習(xí)的精致化

學(xué)習(xí)是一個(gè)需要反復(fù)強(qiáng)化的過(guò)程，以便形成永久性記憶。同樣，多元表征學(xué)習(xí)建模過(guò)程也是如此，學(xué)生需要對(duì)多元表征信息進(jìn)行多次的抽象、概括、轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯、加工、拓展等認(rèn)知操作，才能形成深刻的記憶。在這幾種認(rèn)知操作中，抽象和概括是學(xué)生通過(guò)日常學(xué)習(xí)形成的能力，轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯經(jīng)過(guò)教師的技巧傳授，學(xué)生通常也能夠掌握。加工和拓展則屬于學(xué)生日常積累和知識(shí)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，是多元表征整合的核心內(nèi)容，這個(gè)過(guò)程是必要的，它是學(xué)生自我經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn)，也是學(xué)生對(duì)自身知識(shí)匹配性的辯證和完善。通過(guò)將“操作”與“思考”結(jié)合，進(jìn)行集合、類比、轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯、抽象、概括等思維過(guò)程，學(xué)生能夠在細(xì)節(jié)化的思考過(guò)程中使抽象的內(nèi)容越來(lái)越具體、清晰、豐滿，從而實(shí)現(xiàn)有意義的知識(shí)建構(gòu)。

3.重視“關(guān)聯(lián)+類比”，促進(jìn)多元表征縱深發(fā)展

多元表征與其他學(xué)習(xí)方式之間最大的區(qū)別在于多元表征的學(xué)習(xí)更加注重關(guān)聯(lián)性，這更像一個(gè)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，相互獨(dú)立又互為補(bǔ)充。多元表征的學(xué)習(xí)還具有類比化和結(jié)構(gòu)化，其學(xué)習(xí)過(guò)程的多元性與豐富性也是其他形式的學(xué)習(xí)難以比擬的，各知識(shí)點(diǎn)都具有承上啟下的作用，學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)也在溫故，溫故能為學(xué)習(xí)新知識(shí)做好鋪墊。在多種表征方式的對(duì)應(yīng)與聯(lián)結(jié)中，在豐富與拓展多元表征學(xué)習(xí)中，在不同表征方式的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯中，學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系會(huì)越來(lái)越具體和清晰，學(xué)生的理解也會(huì)越來(lái)越接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，最終走向思維深度理解和有意義的建構(gòu)。

（二）思維扎根：巧妙設(shè)計(jì)，驅(qū)動(dòng)素養(yǎng)生長(zhǎng)內(nèi)在動(dòng)力

1.適時(shí)呈現(xiàn)，讓知識(shí)內(nèi)核“看得見(jiàn)”

多元表征之所以稱之為多元表征，最顯著的特征就是多元。多元意味著解決問(wèn)題的方法多，針對(duì)不同的問(wèn)題，可以通過(guò)不同的表征與手段進(jìn)行解決，并引導(dǎo)學(xué)生分層次逐步抽象數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象。通過(guò)多元化“抽絲剝繭”，揭示知識(shí)的本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)自然呈現(xiàn)，從而讓知識(shí)內(nèi)核真正“看得見(jiàn)”，使學(xué)生更容易理解知識(shí)的要點(diǎn)與學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。

以“升和毫升”為例，教師可以先展示一個(gè)標(biāo)量為1 升的立方體量杯，通過(guò)視覺(jué)表征和語(yǔ)言表征等方式幫助學(xué)生建立起初步的1 升的直觀認(rèn)知；再適時(shí)出示一個(gè)長(zhǎng)、寬、高均為10 厘米的正方體量杯，并通過(guò)測(cè)量其體積以及用1升水能倒?jié)M幾個(gè)500毫升量杯的操作，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)1 升水的體積與長(zhǎng)、寬、高均為10厘米的正方體的體積相同，1升等于2 個(gè)500 毫升，即1000 毫升。通過(guò)視覺(jué)表征和準(zhǔn)確的語(yǔ)言表征，學(xué)生能夠自然地在腦海中形成關(guān)于升、毫升及它們之間相互關(guān)系的表象。視覺(jué)、語(yǔ)言和記憶的相互作用使得學(xué)生的思維方法和推導(dǎo)過(guò)程十分清晰，從而讓知識(shí)內(nèi)核真正“看得見(jiàn)”。

2.精細(xì)關(guān)聯(lián)，讓思維方法“看得清”

小學(xué)數(shù)學(xué)前后學(xué)習(xí)的知識(shí)通常是存在聯(lián)系的，教師在教學(xué)中應(yīng)該靈活運(yùn)用多元表征，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)各個(gè)支線將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)或轉(zhuǎn)化合并，讓思維方法“看得清”。這不僅是學(xué)生理解的標(biāo)志，也是學(xué)生真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的標(biāo)志。

以“認(rèn)識(shí)小數(shù)”為例，教師可以先讓學(xué)生使用長(zhǎng)方形紙來(lái)表示十分之四（如圖2-1），從而揭示0.4表示的實(shí)際意義；再引導(dǎo)學(xué)生探究1 元2 角是多少元（如圖2-2），將分?jǐn)?shù)與小數(shù)聯(lián)系起來(lái)，借助兩個(gè)概念之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系來(lái)豐富學(xué)生的認(rèn)知。通過(guò)有層次的問(wèn)題設(shè)計(jì)和多元表征的方式揭示概念的內(nèi)涵與外延，就能讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和理解新概念。

圖2-1

圖2-2

3.多元展現(xiàn)，讓思維過(guò)程“看得深”

以“相遇求路程的實(shí)際問(wèn)題”的習(xí)題為例：小明和小芳同時(shí)從家出發(fā)走向?qū)W校，經(jīng)過(guò)4 分鐘兩人在校門(mén)口相遇，求他們兩家相距多少米。教師可通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式（如圖3），運(yùn)用圖形表征、數(shù)字表征與過(guò)程表征，展現(xiàn)思維過(guò)程，助力學(xué)生理解。這樣也能通過(guò)“70×4+60×4=（70+60）×4”進(jìn)一步驗(yàn)證乘法分配律，建立“形”的結(jié)構(gòu)、內(nèi)涵意義與運(yùn)算關(guān)系之間的聯(lián)結(jié)。

圖3

數(shù)學(xué)思維是抽象且無(wú)形的，但通過(guò)多元表征的方法可以將數(shù)學(xué)思維過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)，將內(nèi)在的知識(shí)外顯化，即將內(nèi)在的表征轉(zhuǎn)化為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的外化表征，從而幫助學(xué)生構(gòu)建良好的生態(tài)學(xué)習(xí)循環(huán)系統(tǒng)。通過(guò)恰當(dāng)?shù)亩嘣碚鞒尸F(xiàn)、互換互譯和內(nèi)外融合，可以讓學(xué)生的思維“看得見(jiàn)”，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓思維過(guò)程“看得深”。

（三）品格提升：自主深入，推動(dòng)思維能力提檔升級(jí)

1.初窺門(mén)徑：基于多元表征提高學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，而多元表征教學(xué)的根本任務(wù)正是利用多種表征形式，準(zhǔn)確地揭示概念的內(nèi)涵和外延。教師利用多元表征讓學(xué)生以自我實(shí)踐的方式進(jìn)行理解，通過(guò)多種形式讓學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，將枯燥、難以理解的概念變得可視化、實(shí)體化、狀態(tài)化，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為模型語(yǔ)言，為學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題提供助力，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，讓概念教學(xué)與學(xué)生的思維意識(shí)從表象走向深度。

以“加法交換律”為例，可以用以下四種方式進(jìn)行表征（見(jiàn)表1）。首先，通過(guò)數(shù)據(jù)列舉的形式進(jìn)行表征，展現(xiàn)加法交換律的外在表現(xiàn)形式，讓學(xué)生理解交換的外延，并在頭腦中初步形成概念的表象；接著，用圖形表征讓學(xué)生更直觀地觀察加法交換律的交換過(guò)程，鞏固數(shù)據(jù)表征的成果，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵的理解；然后，利用文字表征進(jìn)行總結(jié)，將科學(xué)概念展示給學(xué)生，使意義建構(gòu)得以順利進(jìn)行；最后，利用符號(hào)表征規(guī)律，并呈現(xiàn)一般意義上的表達(dá)公式。

表1 “加法交換律”的四種表征形式

2.融會(huì)貫通：基于多元表征發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)力

教師應(yīng)該利用多元表征的方式進(jìn)行多元化教學(xué)，將圖形表征與情景表征融合，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，進(jìn)而提高他們的思維能力和學(xué)習(xí)力，增強(qiáng)他們的核心競(jìng)爭(zhēng)力。

例如，教學(xué)“圓柱的體積”時(shí)，教師可以將圓柱按照一定的方式進(jìn)行分割（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生先發(fā)現(xiàn)分成的扇形越多，拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方體，再根據(jù)體積不變，推導(dǎo)出圓柱的體積公式為V=Sh。將圖形表征、數(shù)字表征和符號(hào)表征深度融合，學(xué)生的思維由被動(dòng)變成主動(dòng)，學(xué)習(xí)動(dòng)力自然產(chǎn)生。

圖4

3.觸類旁通：基于多元表征構(gòu)建問(wèn)題分析系統(tǒng)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)算法的內(nèi)化需要經(jīng)歷一個(gè)自我構(gòu)建的過(guò)程。教師應(yīng)當(dāng)善于借助多元表征來(lái)激活學(xué)生的主動(dòng)思維意識(shí)，通過(guò)梳理數(shù)學(xué)問(wèn)題中的邏輯和因果關(guān)系，有效幫助學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題分析系統(tǒng)，強(qiáng)化學(xué)生自主分析問(wèn)題的能力，幫助他們找到正確的思考思路并有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師可先出示算式“（5+4）×3”，引導(dǎo)學(xué)生思考與這個(gè)算式相等的其他算式，并討論它們?yōu)楹蜗嗟?；接著，引?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“（5+4）×3”表示9 個(gè)3 相加，而“5×3+4×3”表示5 個(gè)3 和4 個(gè)3 相加，結(jié)果也是9 個(gè)3 相加，所以它們的結(jié)果是相等的。通過(guò)這樣的語(yǔ)言表征，可能有些學(xué)生的思維還不夠清晰，這時(shí)可以用圖形表征（如圖5）來(lái)引導(dǎo)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯和因果關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)思維，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和運(yùn)用能力。

圖5

綜上所述，基于多元表征的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能夠有效降低學(xué)生理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的難度，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形表征、符號(hào)表征等過(guò)程，同時(shí)尊重學(xué)生的個(gè)性化差異，積極做好數(shù)學(xué)多元表征教學(xué)，從學(xué)生的角度出發(fā)，注意各表征方式彼此關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)的關(guān)系。這樣可以使學(xué)生的思維意識(shí)和能力從表象化逐步轉(zhuǎn)為抽象化，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維意識(shí)的生長(zhǎng)有跡可循。這樣的教學(xué)方法不僅可以提高課堂教學(xué)效果，還可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。