整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)與運(yùn)算”深度學(xué)習(xí)
——北京版教材一年級(jí)下冊(cè)“百數(shù)表”課例研究報(bào)告

北京市昌平區(qū)第五學(xué)校（102200） 冉國(guó)明 魏建祺 劉 瑩

一、研究背景

“數(shù)學(xué)百花園”是北京版小學(xué)數(shù)學(xué)教材一年級(jí)下冊(cè)第七單元的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是“百數(shù)表”。然而，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師普遍對(duì)于這部分內(nèi)容感到困惑。一方面，雖然一年級(jí)下冊(cè)教材的第一單元“認(rèn)識(shí)一百以內(nèi)的數(shù)”已經(jīng)有類似的內(nèi)容，但部分教師對(duì)兩者之間的關(guān)系不夠清晰。另一方面，教師在如何有效利用“數(shù)學(xué)百花園”中編排的圖示展開教學(xué)方面存在許多疑問?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的課程實(shí)施教學(xué)建議指出：“為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)?！边@一“整體把握”的理念為教育工作者指明了新的研究方向。因此，筆者基于“整體把握”的理念，探索促進(jìn)學(xué)生在“數(shù)學(xué)百花園”中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的路徑。

二、教材分析

（一）北京版教材對(duì)“百數(shù)表”這一內(nèi)容的編排

“百數(shù)表”這一內(nèi)容第一次是出現(xiàn)在北京版教材一年級(jí)下冊(cè)的第一單元“認(rèn)識(shí)一百以內(nèi)的數(shù)”的第三節(jié)“數(shù)的順序與比較大小”部分（如圖1-1 所示），第二次是出現(xiàn)在第七單元“數(shù)學(xué)百花園”（如圖1-2所示）。

圖1-2 數(shù)學(xué)百花園

對(duì)比兩次編排的內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)第一次側(cè)重于認(rèn)識(shí)百數(shù)表，并發(fā)現(xiàn)百數(shù)表中數(shù)的排列順序和規(guī)律，第二次則偏重應(yīng)用規(guī)律解決一些問題。

（二）橫向?qū)Ρ炔煌姹窘滩膶?duì)“百數(shù)表”這一內(nèi)容的編排

為了更深入地理解和把握教材內(nèi)容，筆者對(duì)其他版本教材中關(guān)于百數(shù)表的部分進(jìn)行了梳理。筆者查閱了人教版、北師大版、蘇教版和浙教版四個(gè)版本的教材（如圖2-1、2-2、2-3、2-4所示），發(fā)現(xiàn)這四個(gè)版本的教材對(duì)于百數(shù)表的編排都只有一次，并且內(nèi)容上相似度較高，重點(diǎn)都是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)百數(shù)表，發(fā)現(xiàn)數(shù)的排列順序和規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。例如，人教版教材將百數(shù)表編排在“數(shù)的順序和比較大小”的內(nèi)容中。此外，這四個(gè)版本的教材在該部分內(nèi)容都設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的開放性問題，如“你發(fā)現(xiàn)了什么？”等，并設(shè)計(jì)了根據(jù)百數(shù)表填數(shù)的練習(xí)。

圖2-2 北師大版教材

圖2-3 蘇教版教材

圖2-4 浙教版教材

三、思考

思考1：北京版教材第七單元數(shù)學(xué)百花園的編排僅僅是為了讓學(xué)生運(yùn)用規(guī)律解決問題，深化學(xué)生對(duì)100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)嗎？這一內(nèi)容再次出現(xiàn)在最后一個(gè)單元，有什么意義和價(jià)值？

一年級(jí)下冊(cè)教材中的數(shù)與代數(shù)部分主要包括兩個(gè)內(nèi)容，即認(rèn)識(shí)100 以內(nèi)的數(shù)和100 以內(nèi)數(shù)的加法和減法（一）（二）。這兩部分的篇幅占據(jù)了教材內(nèi)容的一半以上。從這個(gè)角度來看，將百數(shù)表再次安排在第七單元“數(shù)學(xué)百花園”中，可以理解為對(duì)本冊(cè)教材中“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的一個(gè)統(tǒng)整。這樣的安排一方面可以加深學(xué)生對(duì)100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，另一方面也可以深化學(xué)生對(duì)100 以內(nèi)加減法的理解，最終促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展。

思考2：如何通過有效的教學(xué)設(shè)計(jì)達(dá)成以上兩個(gè)目標(biāo)？

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“對(duì)小學(xué)階段‘?dāng)?shù)與運(yùn)算’主題，在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性?！焙沃^“計(jì)數(shù)單位表達(dá)？”筆者認(rèn)為有三個(gè)方面：?jiǎn)挝凰枷氲慕?、單位個(gè)數(shù)的運(yùn)作和計(jì)數(shù)單位的轉(zhuǎn)化。

要深化學(xué)生對(duì)100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)及100以內(nèi)加減法的理解，就要緊緊圍繞引導(dǎo)學(xué)生感悟“計(jì)數(shù)單位表達(dá)一致性”這個(gè)核心。因此，可以將本課分兩個(gè)課時(shí)展開。

第一課時(shí)以教材“數(shù)學(xué)百花園”中給出的圖為教學(xué)內(nèi)容（如圖3 所示），引導(dǎo)學(xué)生在推理、建構(gòu)、重構(gòu)、變形中，進(jìn)一步深入理解“單位”“位值”“坐標(biāo)”“無限”等數(shù)學(xué)理念。

圖3

第二課時(shí)以百數(shù)表（如圖4 所示）為素材，基于百數(shù)表中數(shù)的特征設(shè)計(jì)教學(xué)。

圖4

如果只看百數(shù)表中的某一行，它就像一把以“1”為單位刻度的尺子，每個(gè)數(shù)與每個(gè)格子一一對(duì)應(yīng)。從左往右看，數(shù)以“1”為單位不斷累加；從右往左看，數(shù)以“1”為單位不斷遞減。而如果只看百數(shù)表中的某一列，它又像一把以“10”為單位的尺子，從上往下看，數(shù)以“10”為單位不斷累加；從下往上看，數(shù)以“10”為單位不斷遞減。正是因?yàn)榘贁?shù)表融合了這兩種計(jì)數(shù)單位的累加和遞減，而且涇渭分明，所以學(xué)生在百數(shù)表中可以進(jìn)一步體悟100 以內(nèi)加減法。

基于此，筆者設(shè)計(jì)了“百數(shù)表中下跳棋”這一課。通過數(shù)學(xué)游戲和綜合實(shí)踐的形式，豐富、發(fā)展和深化學(xué)生對(duì)整數(shù)加減法的理解，幫助他們感悟計(jì)數(shù)單位累加、遞減和轉(zhuǎn)化的過程，為其構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的加減法知識(shí)體系奠定基礎(chǔ)。整個(gè)教學(xué)過程中，對(duì)于“計(jì)數(shù)單位表達(dá)一致性”的感悟和理解貫穿始終。

四、教學(xué)實(shí)踐

【第一課時(shí)】“數(shù)學(xué)百花園”

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，喚醒經(jīng)驗(yàn)

創(chuàng)設(shè)100 名學(xué)生進(jìn)行團(tuán)體操表演的情境并引發(fā)學(xué)生思考“如何才能讓這么多人記住自己的位置”，以此引出百數(shù)表，并讓學(xué)生回顧百數(shù)表中數(shù)的排列規(guī)律。

環(huán)節(jié)二：在推理中感受單位、坐標(biāo)等思想

先出示只有一行和一列的百數(shù)表（如圖5 所示），讓學(xué)生思考“麗麗背后的號(hào)碼是35，明明背后的號(hào)碼是53，他們?cè)诜疥囍袘?yīng)該站哪”并說說理由，讓學(xué)生在推理過程中感受位值和坐標(biāo)的數(shù)學(xué)思想；然后通過問題“號(hào)碼中都有數(shù)字3 和5，為什么站的位置卻不一樣？”使學(xué)生理解“35是由3個(gè)十和5個(gè)一構(gòu)成的，所以在第四行第五個(gè)格，而53是由5個(gè)十3個(gè)一構(gòu)成的，所以在第六行第3個(gè)格”。這里是滲透計(jì)數(shù)單位和對(duì)應(yīng)思想。

圖5

環(huán)節(jié)三：在推理中感受“區(qū)間”思想

通過問題“接下來，同學(xué)們表演了彩旗陣（如圖6 所示）。紅紅的號(hào)碼是47 號(hào)，華華的號(hào)碼是65號(hào)，你知道它們分別屬于哪個(gè)顏色方陣嗎？”引導(dǎo)學(xué)生在推理中感受“區(qū)間”思想。

圖6

環(huán)節(jié)四：經(jīng)歷百數(shù)表重構(gòu)過程

先出示只有第一行數(shù)字的百數(shù)表，讓學(xué)生想象其他行中的數(shù)字，并讓說出是如何想到這些數(shù)字的；接著呈現(xiàn)完整的百數(shù)表，幫助學(xué)生在腦中建構(gòu)百數(shù)表的圖像；接著給出探究問題“把數(shù)字1~100放進(jìn)方格里，還可以怎么放？請(qǐng)先想一想這樣放有什么規(guī)律，再創(chuàng)作屬于自己的百數(shù)表”，激發(fā)學(xué)生的獨(dú)立探究思考能力。通過思考和嘗試，學(xué)生不僅能夠重新構(gòu)建百數(shù)表，還能在這個(gè)過程中突破原有的模型限制，展現(xiàn)出無限的創(chuàng)造力（如圖7所示）。

圖7

環(huán)節(jié)五：經(jīng)歷百數(shù)表變形過程

通過問題“要表演一字長(zhǎng)蛇陣，100 名同學(xué)排成一行是什么樣？”讓學(xué)生試著動(dòng)手將百數(shù)表變成數(shù)尺，從而初次體會(huì)“大數(shù)”的數(shù)學(xué)思想。

在上述的教學(xué)過程中，以百數(shù)表為直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理、重構(gòu)和變形的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)單位思想和位值思想有更深刻的認(rèn)知。

【第二課時(shí)】“百數(shù)表中下跳棋”

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)拘呀?jīng)驗(yàn)，明確規(guī)則

通過百數(shù)表引導(dǎo)學(xué)生回顧百數(shù)表中數(shù)的特征：在同一行中，相鄰的兩個(gè)數(shù)從左至右，增加1，反之，則減小1；在同一列中，相鄰兩個(gè)數(shù)從上往下，增加10，反之，則減小10。

出示下跳棋的規(guī)則：（1）在同一行或同一列中下跳棋，一次可以跳一格或幾格；（2）每次下完棋都要用一個(gè)數(shù)學(xué)算式表示跳棋所走的過程。

環(huán)節(jié)二：感悟計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加和遞減

首先，為了使學(xué)生快速理解規(guī)則，教師先走第一步棋（如圖8 所示），并引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)數(shù)學(xué)算式表示下棋的過程。學(xué)生給出算式“12+1=13”，教師及時(shí)追問“為什么用這個(gè)算式表示剛才走的棋？”使學(xué)生明確12 代表跳棋初始位置的數(shù)字，向右移動(dòng)一格，增加1 個(gè)單位“1”，即以“1”為單位進(jìn)行累加，13 則表示當(dāng)前跳棋所處位置的數(shù)字。通過這一過程，學(xué)生初步體會(huì)到算式與下跳棋過程的一一對(duì)應(yīng)。

圖8

接著，讓學(xué)生到黑板前繼續(xù)下跳棋（如圖9 所示），其他學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，寫出算式“13+5=18”，并解釋道：“13 代表跳棋初始位置的數(shù)字，向右移動(dòng)5個(gè)格子，因而增加了5 個(gè)計(jì)數(shù)單位，最終所在位置的數(shù)字為18。”此過程體現(xiàn)了學(xué)生運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)方法感悟計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加的過程。

圖9

然后，要求學(xué)生寫一個(gè)算式表示跳棋所走的過程，如“18-4=14”，讓另一個(gè)學(xué)生到講臺(tái)前根據(jù)算式下跳棋（如圖10 所示），并說說自己的想法。學(xué)生能夠明確18 代表初始時(shí)跳棋所在格子的數(shù)字，減4，即以“1”為單位遞減4 次，就要向左走4 個(gè)格，14是現(xiàn)在跳棋所在格中的數(shù)。這一過程能使學(xué)生經(jīng)歷把抽象算式具體化為以“1”為單位遞減運(yùn)作的過程。

圖10

最后教師進(jìn)行總結(jié)：在百數(shù)表的行中下跳棋，向右走幾格可以用“原來格數(shù)加幾等于現(xiàn)在格數(shù)”表示；向左則反之，可以用“原來格數(shù)減幾等于現(xiàn)在格數(shù)”表示。

環(huán)節(jié)三：列中感悟計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)累加和遞減

給出延展性問題：再玩下去你想怎么走棋？學(xué)生下跳棋（如圖11 所示）后寫出的算式是“14+20=34”。此時(shí)，教師及時(shí)追問“明明只走了2 個(gè)格，為什么要加20？”使學(xué)生領(lǐng)悟到在列中走棋是以“10”為單位進(jìn)行累加的。

圖11

接著就讓學(xué)生在列中下跳棋，使學(xué)生感受以“10”為單位遞減的過程。教師最后總結(jié)列中下跳棋的規(guī)律：在百數(shù)表列中下跳棋，向上走幾格可以用“初始時(shí)跳棋所在格子的數(shù)字加幾十等于現(xiàn)在格數(shù)”表示；反之向下走幾格，可以用“初始時(shí)跳棋所在格子的數(shù)字減幾十等于現(xiàn)在格數(shù)”表示。

環(huán)節(jié)四：游戲互動(dòng)，深化理解

讓學(xué)生和同桌玩這個(gè)跳棋游戲，輪流進(jìn)行。一個(gè)人下跳棋，另一個(gè)人用算式來表示下棋的過程。這樣，學(xué)生能再次經(jīng)歷不同計(jì)數(shù)單位累加和遞減的過程。

環(huán)節(jié)五：深入拓展，發(fā)展思維

當(dāng)教師提問“你還想在百數(shù)表中怎樣下跳棋”時(shí)，一位學(xué)生給出如圖12-1 所示的棋子路線。對(duì)此，部分學(xué)生用“4+2+30=36”的算式表達(dá)，體現(xiàn)了跳棋先以“1”為單位在行中累加，再以“10”為單位在列中累加的過程，而計(jì)算結(jié)果36 就是跳棋現(xiàn)在所在的位置。還有學(xué)生提出了新的算式“4+32=36”，將行與列中累加的過程融合在一起，以32 的個(gè)位和十位上的數(shù)字分別對(duì)應(yīng)行與列中計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)作過程。至此，學(xué)生體驗(yàn)到了不同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)作過程。另一位學(xué)生給出如圖12-2 所示的棋子路線，寫出的算式是“36+11+11+11=69”。表面上看，這似乎與之前的不同計(jì)數(shù)單位累加方式存在差異。但學(xué)生分析后發(fā)現(xiàn)，可將其看成是先在行中以“1”為單位累加3次，再以“10”為單位累加3次。因此，可以用“36+33=69”這個(gè)算式表示。

圖12-1

圖12-2

五、收獲與反思

（一）整體把握教材，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。”筆者圍繞一年級(jí)下冊(cè)教材中“認(rèn)識(shí)一百以內(nèi)的數(shù)”的內(nèi)容展開教學(xué)，緊緊抓住其核心——計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性，將“數(shù)學(xué)百花園”的內(nèi)容設(shè)計(jì)成兩課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，初步建立單位思想。在這個(gè)過程中，學(xué)生深刻感受100以內(nèi)加減法其本質(zhì)是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加與遞減，這有利于學(xué)生形成與抽象思維有關(guān)的核心素養(yǎng)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容、感悟“一致性”打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）借助幾何直觀，促進(jìn)深度理解

“數(shù)與運(yùn)算”內(nèi)容的核心是“計(jì)數(shù)單位表達(dá)”，無論是計(jì)數(shù)單位還是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加，都是抽象的概念。如果只是單純地讓學(xué)生從數(shù)和算式上理解，這不利于學(xué)生建立數(shù)與運(yùn)算概念，實(shí)現(xiàn)深度理解。百數(shù)表是一個(gè)直觀模型，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生借助百數(shù)表中數(shù)排列的顯性規(guī)律進(jìn)行推理，使學(xué)生經(jīng)歷百數(shù)表重構(gòu)和變形的過程，從而有利于學(xué)生進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位，并建立“單位”的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生通過在百數(shù)表中下跳棋，就能直觀感受下跳棋過程與不同計(jì)數(shù)單位運(yùn)作的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而深入理解加減法運(yùn)算的本質(zhì)。