“具身”與“離身”并重：讓量感落地生根

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 范 冉

聚焦：一道題目引發(fā)的思考

2021 年6 月17 日我國(guó)“神舟十二號(hào)”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射?！吧裰凼碧?hào)飛船全長(zhǎng)約9（ ），發(fā)射重量約為8（ ）。飛船在長(zhǎng)征火箭升空10 分鐘后，以平均每秒8（ ）的速度行駛，順利進(jìn)入距離地球最近點(diǎn)200 多（ ）的預(yù)定軌道上，發(fā)射任務(wù)圓滿成功。

這是一道關(guān)于“千米和噸”的練習(xí)題。這道題目并不是很難，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用排除法也可以寫出正確結(jié)果。但是，學(xué)生完成的情況卻不是很理想。

學(xué)生答案一：“神舟十二”號(hào)飛船全長(zhǎng)約9（千米）。（課上交流時(shí)，學(xué)生提出疑問：從學(xué)校大門口到××地鐵站約有1 千米，飛船怎么會(huì)全長(zhǎng)約9 千米呢？）

學(xué)生答案二：發(fā)射重量約為8（千克）。（學(xué)生提出疑問：一個(gè)三年級(jí)小學(xué)生的體重都有30 千克左右，一艘飛船的發(fā)射重量怎么會(huì)只有8千克？）

學(xué)生答案三：以平均每秒8（米）的速度行駛。（學(xué)生提出疑問：體育課跑50 米時(shí)，有同學(xué)的跑步時(shí)間在10秒以內(nèi)，飛船的速度怎么才每秒8米呢？）

……

學(xué)生的此類答案與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)，筆者在課堂上展示這些答案時(shí)，學(xué)生說著說著便笑了起來。但是，當(dāng)筆者仔細(xì)詢問他們?yōu)槭裁磿?huì)填寫這樣的單位時(shí)，他們自己也說不清楚。實(shí)際上，在課堂教學(xué)時(shí)，類似的單位填寫已經(jīng)講解過很多次，什么情況下使用什么單位，學(xué)生應(yīng)該在頭腦中建立了標(biāo)準(zhǔn)，但為何每次遇到這樣的題目，學(xué)生還是容易出錯(cuò)呢？

靜思：量感的概念與價(jià)值探尋

一、何為量感：對(duì)量感概念內(nèi)涵的探尋

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中新增加了一個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——量感，并指出它的內(nèi)涵為“量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會(huì)針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會(huì)在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果”。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，其本質(zhì)在于度量。不論是數(shù)量還是圖形，其最終的表現(xiàn)形式都可以歸結(jié)為數(shù)的概念。史寧中教授在講座中也曾提到：“‘?dāng)?shù)感’和‘量感’都是對(duì)數(shù)的表達(dá)。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量是度量的結(jié)果?！崩?，我們看到一本書時(shí)，抽象出了數(shù)“1”；看到一只鳥，也能抽象出數(shù)“1”……只要是一個(gè)獨(dú)立物體，都可以抽象出數(shù)“1”來，這都是對(duì)數(shù)量的抽象。而只有加上相應(yīng)的度量單位，才能體現(xiàn)出“量”的概念。

二、量感建立的意義和價(jià)值

建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，與量感有關(guān)的概念包括幾何概念（如長(zhǎng)度、面積、體積）和計(jì)量概念（如容積、質(zhì)量、時(shí)間）。每?jī)?cè)教材的教學(xué)內(nèi)容都著重培養(yǎng)學(xué)生的量感。在低年級(jí)和中年級(jí)，學(xué)生通過豐富的體驗(yàn)活動(dòng)和生活經(jīng)驗(yàn)來建立對(duì)量的感知，同時(shí)學(xué)習(xí)一些基本的單位。到了高年級(jí)，量感的培養(yǎng)更加理性，側(cè)重于實(shí)踐和運(yùn)用。教材在編排相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)，設(shè)計(jì)了豐富的體驗(yàn)活動(dòng)，并要求學(xué)生在實(shí)踐中選擇合適的單位并進(jìn)行單位換算。

對(duì)小學(xué)生而言，量感是在不斷的經(jīng)驗(yàn)積累中逐漸生長(zhǎng)和形成的。如何設(shè)計(jì)具有可視化、主題化的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)于“量”能夠有更深刻的體驗(yàn)？如何通過理性的思辨，促使學(xué)生將實(shí)踐中積累的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為理性的認(rèn)識(shí)？

實(shí)踐：“具身”與“離身”并重：讓量感落地生根

一、“具身學(xué)習(xí)”與“離身學(xué)習(xí)”

在認(rèn)知理論中，“具身理論”和“離身理論（傳統(tǒng)認(rèn)知理論）”一直是處于比較對(duì)立的位置。“具身理論”強(qiáng)調(diào)具體學(xué)習(xí)和身體參與在經(jīng)驗(yàn)獲取過程中的重要性，而“離身理論”注重知識(shí)在大腦中的抽象過程，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知的計(jì)算性和功能的獨(dú)立性。

具有豐富知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的人，比只有一種知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的人在遇到問題時(shí)更容易產(chǎn)生新的聯(lián)想和獨(dú)到見解。具身認(rèn)知理論認(rèn)為，身體在參與認(rèn)知過程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。在一個(gè)認(rèn)知過程中，離身性和具身性同時(shí)存在。認(rèn)知對(duì)象越具體，具身性認(rèn)知越為顯著；反之，認(rèn)知對(duì)象越抽象，離身性認(rèn)知越強(qiáng)。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，具身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)越豐富，離身學(xué)習(xí)的發(fā)生和遷移就越容易。

在對(duì)學(xué)生量感的培養(yǎng)中，教師既要借助“具身學(xué)習(xí)”，在豐富的體驗(yàn)中幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，也要借助“離身學(xué)習(xí)”，引導(dǎo)學(xué)生將積累的感性經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為理性思考。這樣可以促進(jìn)學(xué)生深入理解和掌握“量”。（如圖1）

圖1

二、在“具身學(xué)習(xí)”中積累經(jīng)驗(yàn)，豐盈量感

（一）身體“在場(chǎng)”：深度體驗(yàn)度量單位，共生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

量感的培養(yǎng)需要學(xué)生通過眼看、手做、腦想、口說等多種感官參與，以達(dá)到具身的體驗(yàn)。通過全身感官的參與，學(xué)生可以從多個(gè)角度、采用多種方法進(jìn)行實(shí)踐操作，從而充分積累有效的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。這樣的實(shí)踐過程有助于學(xué)生更加充分地感知量的概念，并逐步形成清晰的單位概念，豐盈量感。

例如，在學(xué)生認(rèn)識(shí)米這個(gè)長(zhǎng)度單位之后，筆者設(shè)計(jì)了“做一把米尺”的研究學(xué)習(xí)（如圖2）。

圖2

在完成這份作業(yè)時(shí)，學(xué)生首先需要清晰構(gòu)建長(zhǎng)度單位的概念。然而，由于米尺比較長(zhǎng)，制作過程中學(xué)生可能會(huì)遇到找不到合適長(zhǎng)度材料的問題。因此，部分學(xué)生會(huì)考慮先制作一個(gè)長(zhǎng)度為10 厘米的小尺子，然后通過累加和拼接的方式來制作米尺。然而，在拼接和繪制圖形時(shí)也可能會(huì)產(chǎn)生一些誤差，學(xué)生也會(huì)意識(shí)到在使用這把米尺進(jìn)行測(cè)量時(shí)可能會(huì)存在精度問題。

在完成米尺制作后，筆者要求學(xué)生使用自己制作的米尺進(jìn)行實(shí)際測(cè)量。首先，學(xué)生需對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行估算，然后使用自己制作的米尺進(jìn)行測(cè)量，并將估算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比和修正。在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠初步感知度量工具和方法可能引起的誤差，并體驗(yàn)到如何通過合理的方法獲取或估計(jì)度量結(jié)果。

（二）實(shí)踐“支撐”：互看互比互量，更新身體經(jīng)驗(yàn)

“認(rèn)識(shí)面積”是一節(jié)概念課，旨在幫助學(xué)生理解面積的概念，通過比較幾個(gè)平面圖形的面積大小，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、重疊、數(shù)格子等方法，感受面積的大小，并聚焦于度量的本質(zhì)。

【教學(xué)片段】

師（出示圖3）：這4個(gè)圖形中，哪個(gè)圖形的面積最大？

圖3

師：為什么大家都覺得②號(hào)面積不是最大的呢？

生1：因?yàn)橐谎劬湍芸闯觫谔?hào)的面積很小。

師：確實(shí)，對(duì)于一些圖形，我們通過觀察就能夠直觀地判斷。剩下的圖形中，哪個(gè)圖形的面積最大？

生2：要驗(yàn)證才知道。

學(xué)生匯報(bào)了2種驗(yàn)證的方法：

（1）重疊法：把兩個(gè)圖形重疊，看看誰多出來。

（2）數(shù)格子法：把圖形放在透明的格子紙下面，看看誰占的格子多。

生3：其實(shí)面積的比較和我們之前學(xué)習(xí)的長(zhǎng)度比較的方法是一樣的，都是要先換成同樣的小單位，并觀察各占多少個(gè)這樣的小單位。

“面積”同時(shí)具有“數(shù)”和“量”的屬性。在判斷誰的面積最大的過程中，學(xué)生不僅積累了關(guān)于圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還能通過多種直觀、生動(dòng)、富有個(gè)性的方式表達(dá)自己對(duì)面積的理解和感悟，發(fā)展了理性思辨與求真精神。

（三）感知“交往”：聚焦單位量感知，逐步建立量感

在日常課堂教學(xué)中，由于時(shí)間和空間的限制，學(xué)生對(duì)度量單位的接觸和感知相對(duì)較少。然而，要提升學(xué)生的量感，必須讓學(xué)生通過深刻體驗(yàn)來建立單位量的表象，并經(jīng)歷一系列“觀察—比較—修正”的過程。

對(duì)于二年級(jí)的“分米和毫米”一課，筆者設(shè)計(jì)了組內(nèi)學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖4），讓學(xué)生在小組學(xué)習(xí)中充分感知單位量“1分米”，進(jìn)而建立長(zhǎng)度單位的表象。

圖4

【教學(xué)片段】

學(xué)生小組1：

生1（拿出米尺，在尺子上一段段地比給組員看）：0～10厘米是1分米，10～20厘米是1分米，20～30 厘米是1 分米……90～100 厘米也是1 分米，1 米里有10個(gè)1分米。

生2：你們看，1 米=100 厘米，1 分米=10 厘米，因?yàn)?00里有10個(gè)10，所以1米=10分米。

生3：我還發(fā)現(xiàn)，只要兩個(gè)刻度之間相差10 厘米，這個(gè)長(zhǎng)度就是1分米。

學(xué)生小組2：

生4：你們看，1～10厘米就是1分米。

生5：0～10厘米才是1分米呢！

生6：我也認(rèn)為1 分米的長(zhǎng)度是從0～10 厘米。不如咱們數(shù)數(shù)看吧。

生4（拿出學(xué)生尺，在學(xué)生尺上1 厘米1 厘米地?cái)?shù)）：1～10 厘米有9 個(gè)1 厘米，0～10 厘米有10 個(gè)1厘米。

生4：那我算錯(cuò)了，應(yīng)該是從0 到10，有10 厘米才是1分米。

（生4在研究單上進(jìn)行了修正）

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供充分的時(shí)間讓學(xué)生由班級(jí)集體學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)為小組實(shí)踐活動(dòng)，在小組的交流中，學(xué)生前期積累的感性經(jīng)驗(yàn)得到整合，組內(nèi)成員共同經(jīng)歷尋找、比畫、量化1 分米的過程。從學(xué)生的交流對(duì)話中可以看出，部分學(xué)生在小組成員的協(xié)助下，對(duì)先前錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了修正。

三、在“離身學(xué)習(xí)”中理性思辨，形成量感

（一）知行“協(xié)同”：生疑探尋本質(zhì)，編織量感網(wǎng)絡(luò)

在教學(xué)長(zhǎng)度、面積和容積這些度量單位時(shí)，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解“度量”這一核心概念，度量單位在本質(zhì)上是相通的。長(zhǎng)度的測(cè)量實(shí)際上是通過計(jì)算一段長(zhǎng)度中包含了多少個(gè)長(zhǎng)度單位來進(jìn)行的。在不同的情境下，需要選擇適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度單位進(jìn)行度量，面積和容積的測(cè)量也是如此。因此，教師在教學(xué)中要將不同的單位進(jìn)行關(guān)聯(lián)，并構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生將分散的量感體驗(yàn)整合為系統(tǒng)的感知。

【教學(xué)片段】

討論1：有沒有比毫米更小的長(zhǎng)度單位？

生1：有，微米和納米。

師：毫米已經(jīng)很小了，為什么還要有更小的長(zhǎng)度單位呢？

生2：有些物體很小很小，在顯微鏡下才能看得見。

生3：特別小的物體的長(zhǎng)度用毫米沒法去表示，就需要更小的長(zhǎng)度單位。

師：如果有一個(gè)比毫米小的長(zhǎng)度單位，幾個(gè)它會(huì)是1毫米呢？

生4：10個(gè)。因?yàn)?0毫米是1厘米，10厘米是1分米，10分米是1米。它們之間的進(jìn)率都是10。

師：那有比米大的長(zhǎng)度單位嗎？

（在交流中補(bǔ)充和完善長(zhǎng)度單位網(wǎng)絡(luò)圖，如圖5所示）

圖5

討論2：為什么生活中很少用分米？

生5：因?yàn)槲矬w的長(zhǎng)度不都是整分米，比如9厘米、11厘米，這時(shí)候用厘米作為單位更準(zhǔn)確。

生6：如果長(zhǎng)度是幾分米幾厘米，那直接用厘米也可以表示。

討論3：在生活中，米、分米、厘米、毫米，哪一個(gè)單位更常用？

生7：米和厘米。

生8：我覺得都很常見，只是我們見到的用毫米作為單位的物體較少，而那些制作小零件的人肯定就常常用“毫米”。

生3：物體的長(zhǎng)度都不一樣，得根據(jù)實(shí)際需要選用合適的長(zhǎng)度單位。比如11 厘米，也可以先量出1分米，剩下的再用1厘米表示。

在認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位的過程中，學(xué)生產(chǎn)生了很多有趣的思考。課堂上對(duì)長(zhǎng)度單位的本質(zhì)展開的充分討論，不僅豐富了學(xué)生對(duì)單位本身的認(rèn)知，還激發(fā)了學(xué)生之間思維的碰撞，促進(jìn)了更高品質(zhì)、更自由的對(duì)話。在交流的過程中，學(xué)生自然地開始探索長(zhǎng)度單位之間的關(guān)系，并在頭腦中構(gòu)建長(zhǎng)度單位的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。他們運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)和在活動(dòng)中積累的量感，將數(shù)學(xué)的思考延伸到日常生活中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的概念與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系。

（二）思辨“助力”：高階思維參與，豐盈量的感知

量感的建立需要持續(xù)的體驗(yàn)、實(shí)踐和反復(fù)的矯正。掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)僅靠操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這個(gè)過程更需要學(xué)生理性思維的積極參與。通過估測(cè)、想象、驗(yàn)證、分析、推理、判斷等高層次思維活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)事物“量”的感知不斷豐富，不斷修正對(duì)“量”的大小的感知。

例如，在設(shè)計(jì)“認(rèn)識(shí)面積”作業(yè)時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了具有沖突情境的題目。

【教學(xué)片段】

師（出示圖6）：誰的面積大？

圖6

生1：相同大小的格子，個(gè)數(shù)少的圖形，面積?。粋€(gè)數(shù)大的圖形，面積大。

生2：如果兩種格子的大小不同，沒辦法直接比較。可以對(duì)格子進(jìn)行細(xì)分，用相同的格子數(shù)量去比較。

生3：雖然圖形的格子數(shù)量少，但是其面積單位可能是大的。

這樣的作業(yè)設(shè)計(jì)聚焦于面積“量”的屬性，旨在引導(dǎo)學(xué)生初步感受面積的概念。這樣的討論可以幫助學(xué)生進(jìn)一步感受到統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的重要性，并培養(yǎng)他們的理性思辨和求真精神。

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，這是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，無論是數(shù)量還是圖形，最終都可以用“數(shù)”來表達(dá)。在量感培養(yǎng)的過程中，“具身”與“離身”同樣重要，都能助力學(xué)生不斷深化對(duì)“量”的理解。