SOLO引路，聚焦量感，顯化思維
——以“什么是面積”為例談數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)設(shè)計(jì)

福建廈門外國(guó)語學(xué)校石獅分校附屬小學(xué)（362700） 李嬋娟

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》新增了一個(gè)概念——量感，并指出量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。建立量感有助于培養(yǎng)學(xué)生用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問題的習(xí)慣，也是學(xué)生形成抽象能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在教學(xué)“面積”這一單元時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于物體長(zhǎng)度和質(zhì)量屬性的感知較強(qiáng)，但對(duì)二維空間中“面”的感知較弱。深究后發(fā)現(xiàn)，“面積”教學(xué)中存在一些不利于學(xué)生量感培養(yǎng)的情況：一是對(duì)面積概念的呈現(xiàn)過程過于倉(cāng)促，忽視了實(shí)際操作，導(dǎo)致學(xué)生體悟不深，對(duì)“面積”的理解出現(xiàn)偏差；二是對(duì)于面積單位建立缺乏活動(dòng)，忽視了探究，導(dǎo)致學(xué)生體驗(yàn)不足，對(duì)面積單位的掌握流于形式；三是對(duì)于面積公式缺乏推導(dǎo)過程，忽視了推理，導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不夠，對(duì)面積公式的應(yīng)用過于機(jī)械；四是面積量感的培養(yǎng)脫離了情境，忽視了實(shí)際問題，導(dǎo)致學(xué)生感受不深。

基于以上情況，筆者以SOLO 分層理論為指導(dǎo)，并以北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“什么是面積”一課為例進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，旨在探索發(fā)展學(xué)生關(guān)于“面積”的量感，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。

“面積”單元屬于圖形與幾何領(lǐng)域中的內(nèi)容。橫向?qū)Ρ热私贪妗⒈睅煷蟀婧吞K教版教材中的相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)這三個(gè)版本教材在“面積”單元的內(nèi)容編排上大致相同（見表1）。學(xué)生的學(xué)習(xí)都經(jīng)歷了“認(rèn)識(shí)測(cè)量對(duì)象→認(rèn)識(shí)度量單位→用度量單位直接度量→用公式間接度量→解決實(shí)際問題”的過程。

表1 人教版、北師大版和蘇教版教材中編排的“面積”內(nèi)容

因此，我們立足單元視角，以“度量”這個(gè)大觀念為整合的核心，讓學(xué)生真正在結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)中形成量感。

本課的執(zhí)教者具有近14 年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，深知學(xué)生容易混淆周長(zhǎng)和面積的概念。為了解決這個(gè)問題，在“比一比，哪個(gè)圖形的面積大”的環(huán)節(jié)中，執(zhí)教者不僅為學(xué)生準(zhǔn)備了正方形、圓形、三角形卡片，以及硬幣、方格紙，還提供了一條長(zhǎng)16 厘米的繩子，希望學(xué)生在交流匯報(bào)中通過思維的碰撞，明確面積與周長(zhǎng)的區(qū)別。然而，在課堂上，所有小組都第一時(shí)間選用繩子分別圍繞圖形一周，并發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度相等，于是他們興奮地表示“兩個(gè)圖形面積一樣大”。在教師的提示和要求下，個(gè)別小組才開始嘗試使用其他學(xué)具，但對(duì)于為什么不能用繩子來測(cè)量，學(xué)生無法自主得出結(jié)論。最終，教師生硬總結(jié)，勉強(qiáng)完成了這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)。

這種情況在教學(xué)中相當(dāng)常見，被稱為“師本位”課堂。顯然教師以自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解設(shè)計(jì)教學(xué)，往往會(huì)導(dǎo)致教學(xué)效果不佳。要改變這種情況，教師需要盡力走進(jìn)學(xué)生思維的“黑箱”，預(yù)設(shè)可能產(chǎn)生的情況，并讓學(xué)生的思維可視化?？刹捎肧OLO 理論對(duì)學(xué)生的可視化結(jié)果進(jìn)行劃分，將學(xué)生的認(rèn)知過程和思維層次顯現(xiàn)出來。只有以可視化學(xué)習(xí)結(jié)果作為依據(jù)，教師才可以更準(zhǔn)確地了解教學(xué)情況，精準(zhǔn)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并有效培養(yǎng)學(xué)生的量感。

一、SOLO分類，精準(zhǔn)定位學(xué)習(xí)目標(biāo)

SOLO 分類理論提供了一種有條理、層級(jí)式的分類方式，可以將學(xué)習(xí)者產(chǎn)生的一系列可視化表征進(jìn)行分類。對(duì)于學(xué)生第一次接觸某一知識(shí)的情況，可以在新授課前進(jìn)行一個(gè)測(cè)驗(yàn)。前測(cè)內(nèi)容應(yīng)緊扣教材和核心素養(yǎng)，通過思維開放、方法多樣、答案不唯一的題目，將學(xué)生不同層次的思維水平呈現(xiàn)出來。

前測(cè)題：圖1 中的兩種生活現(xiàn)象都是在求正方形的周長(zhǎng)嗎？請(qǐng)你用描一描、涂一涂、寫一寫或舉例說明的方式表述你的想法。

圖1

對(duì)三年級(jí)3 個(gè)班學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，利用SOLO 理論統(tǒng)計(jì)出各個(gè)思維水平的人數(shù)占比（見表2）。

表2 學(xué)生思維水平層級(jí)分析

絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)于“涂面”和“描邊”都比較熟悉，可以結(jié)合具體的生活實(shí)例來感受這兩種做法的不同之處，但卻無法準(zhǔn)確地抽象出數(shù)學(xué)認(rèn)知。對(duì)于上學(xué)期剛學(xué)完的“周長(zhǎng)”概念，學(xué)生相對(duì)熟悉，基本上能夠判斷“描邊”其實(shí)是在求周長(zhǎng)。然而，在“涂面”的例子中，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為那也是在求周長(zhǎng)。根據(jù)《義務(wù)教育課程方案（2022 年版）》的要求，圖形的面積教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生在熟悉的情境中直觀地感知面積的概念，通過選擇面積單位進(jìn)行測(cè)量的過程來理解面積的意義，并形成對(duì)面積的量感。于是，筆者為本課設(shè)置了以下三維教學(xué)目標(biāo)：

1.從度量角度理解面積的意義，通過找一找、摸一摸、說一說、擺一擺、比一比等體驗(yàn)活動(dòng)，理解面積的含義，感受面積的大小，并建立正確的表象；

2.經(jīng)歷用“數(shù)的多少”表示“面的大小”的過程，初步建構(gòu)度量問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；

3.通過觀察、對(duì)比、測(cè)量等活動(dòng)，形成估測(cè)面積的量感和空間觀念。

為了精準(zhǔn)把握學(xué)情，讓處在各個(gè)思維水平的學(xué)生都能有所成長(zhǎng)，筆者基于SOLO 分類理論進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，用“學(xué)習(xí)目標(biāo)”取代“教學(xué)目標(biāo)”（見表3），把學(xué)生作為目標(biāo)陳述的主體。

表3 “什么是面積”學(xué)習(xí)目標(biāo)

循著學(xué)習(xí)目標(biāo)，教師設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮學(xué)生怎么學(xué)，而不是怎么教。這樣的設(shè)計(jì)有利于發(fā)揮教學(xué)的引導(dǎo)作用，幫助教師時(shí)刻審視和調(diào)整自己的教學(xué)方法。

二、四大舉措助推量感教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）直觀感知，形成量感

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。親身體驗(yàn)是比僅僅用眼觀察更直觀的感知方式。在本課中，就是通過讓學(xué)生親自動(dòng)手涂出正方形的面來幫助他們初步理解涂顏色部分的大小就是正方形的面積。然而，學(xué)生此時(shí)的想法可能還局限于“只有規(guī)則圖形才有面積”。為了讓學(xué)生對(duì)面積有進(jìn)一步了解，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回到現(xiàn)實(shí)生活中，尋找身邊物體上的面，并用手去觸摸、感受。通過這種親身體驗(yàn)，學(xué)生將感受到的信息通過感覺神經(jīng)傳遞給大腦，將模糊的概念具象化。此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生在觸摸不同物體的面時(shí)思考哪個(gè)物體的面大。通過這個(gè)思考過程，學(xué)生會(huì)深刻體會(huì)到面是有大小的，此時(shí)，教師可適時(shí)引出面積的概念。通過對(duì)面積的多方面感知，尤其是直觀感知，學(xué)生對(duì)于面積有了全方位的理解和感受，達(dá)成了學(xué)習(xí)目標(biāo)1，初步形成對(duì)面積的量感。

在學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位的優(yōu)化過程，并且已經(jīng)感受到統(tǒng)一面積單位的必要性后，筆者設(shè)計(jì)了第二次“摸一摸”環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生通過親手觸摸來感受1 平方厘米的大小，并發(fā)展空間觀念和量感。首先，用手去觸摸1 平方厘米的小正方形，閉上眼睛想象，并用手比畫出它的大??；然后，放下小正方形，睜開眼睛，再次用手比畫出1 平方厘米的大小。通過實(shí)物和觸摸的對(duì)比，學(xué)生能夠更準(zhǔn)確地比畫面積，感受到1 平方厘米的大小。這一“看—摸—想—比”環(huán)節(jié)能夠讓學(xué)生真切地感受到1 平方厘米的實(shí)際大小，同時(shí)也幫助他們發(fā)展空間觀念和量感。

（二）單位度量，發(fā)展量感

長(zhǎng)度是由小的長(zhǎng)度單位累積而成的，面積是由小的面積單位累積而成的。通過累積小單位的概念，學(xué)生可以進(jìn)一步理解面積，發(fā)展量感。

在本課中，通過回顧舊知，學(xué)生首先意識(shí)到測(cè)量長(zhǎng)度的本質(zhì)是計(jì)算包含了幾個(gè)長(zhǎng)度單位；接著，觀察線圍成正方形的動(dòng)態(tài)過程，并通過“描一周”和“涂一面”的操作活動(dòng)，初步感知周長(zhǎng)和面積的特征；最后，在“面有大有小”的觀察中獲得面積的定義，并通過找一找、摸一摸，結(jié)合物體來說一說什么是面積。通過這些步驟，學(xué)生基本上已經(jīng)達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)1和目標(biāo)2。為了讓思維水平處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)的學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展，教師可以繼續(xù)利用同樣長(zhǎng)度的線條動(dòng)態(tài)地圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后提出一個(gè)問題：用同一條線分別圍成正方形和長(zhǎng)方形，哪一個(gè)的面積更大？（如圖2）

圖2

學(xué)生紛紛提出自己的猜想，教師可適時(shí)提問：“周長(zhǎng)相等的正方形和長(zhǎng)方形，面積相等嗎？”此環(huán)節(jié)是本課的重點(diǎn)，筆者繼續(xù)采用SOLO 分類理論設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)量表，預(yù)設(shè)學(xué)生可能有哪些思維反應(yīng)，并進(jìn)行分類（見表4）。

表4 基于SOLO分類理論的課堂學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)量表

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生先獨(dú)立思考，并選擇不同的學(xué)具進(jìn)行實(shí)際操作。他們可以用圓形、正方形、三角形等生活中的物體分別平鋪在兩個(gè)圖形上；接著，在小組內(nèi)交流，比較每個(gè)圖形上所鋪的物體數(shù)量，并得出結(jié)論：要想知道面積有多大，就要看圖形中包含幾個(gè)面積單位；最后，在定量的刻畫中，通過具體操作來展示并說明為什么要用正方形作為面積單位來測(cè)量面積。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位的優(yōu)化過程，感受到統(tǒng)一面積單位的必要性。

（三）估測(cè)對(duì)比，增強(qiáng)量感

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在關(guān)于量感的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中提到：初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。在本課的教學(xué)中，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了1 平方厘米的正方形后，教師就要讓學(xué)生估測(cè)橡皮擦一個(gè)面的大小，此時(shí)有的學(xué)生嘗試畫格子，有的學(xué)生直接用手指頭比對(duì)。在學(xué)生估測(cè)出橡皮擦一個(gè)面的大小后，教師要求學(xué)生用1 平方厘米的正方形作為“面積尺”進(jìn)行測(cè)量，數(shù)一數(shù)橡皮擦一個(gè)面里有幾個(gè)這樣的1平方厘米，并以此調(diào)整估測(cè)的方法。至此，1平方厘米這個(gè)“面積尺”已被學(xué)生牢牢掌握，學(xué)生對(duì)于面積概念也更加清晰。

（四）類比教學(xué)，形成結(jié)構(gòu)

長(zhǎng)度、面積和體積是幾何學(xué)中最基本的度量概念，它們共同構(gòu)成了度量的過程。雖然它們對(duì)應(yīng)不同維度的圖形，但其本質(zhì)都是通過線量線、面量面的方式進(jìn)行測(cè)量。在本課中，學(xué)生能夠發(fā)展出一個(gè)意識(shí)：在不同的度量活動(dòng)中，都是為了找到合適的“數(shù)”來描述不同的線和面。這樣的設(shè)計(jì)使得學(xué)生能夠建立度量問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為以后學(xué)習(xí)體積打下基礎(chǔ)。

量感，是對(duì)量的感悟，是心智技能與動(dòng)作技能的結(jié)合，是兼具內(nèi)隱性與外顯性的思維活動(dòng)，量感培養(yǎng)是一個(gè)潛移默化的長(zhǎng)期過程。運(yùn)用SOLO 分類理論，有助于尋找發(fā)展學(xué)生量感的契機(jī)，讓學(xué)生從“會(huì)而不懂”走向真正意義上的“既懂又會(huì)”，讓量感內(nèi)化于心，自然生長(zhǎng)，形成素養(yǎng)。