“小”中見“大”，以問題串破解核心問題
——對“圓柱表面積和體積綜合練習”的設計思考

江蘇南京市櫻花小學（210042） 林 超 張愛莉

筆者在習題講評、專題練習等教學中，圍繞核心概念設計有序變化的問題串，讓學生根據(jù)題干中的線索提示，經(jīng)歷“觀察思考（出現(xiàn)困惑）—實踐探究（動手操作）—對比反思（提煉總結）”的數(shù)學活動過程，從而以板塊化的形式推進課堂練習的教學。下面以“圓柱表面積和體積綜合練習”為例，呈現(xiàn)具體做法（如圖1）。

圖1

此項作業(yè)是在教學完圓柱的表面積和體積后，為幫助學生及時將新知從碎片化轉(zhuǎn)化成結構化，形成統(tǒng)一的“知識體”，而在課堂教學中進行的綜合提升練習?？紤]到學生已基于實物探究了圓柱的基本特征，基于遷移探究了圓柱表面積的計算方法，基于類比推導了圓柱的體積計算公式，為促進學生思維層級的躍遷，使學生突破知識邊界，筆者依據(jù)本次練習的核心問題“分析圓柱切割前后圖形的聯(lián)系，如形狀、表面積、體積等的變化情況”設計了“問題串教學結構鏈”（如圖2），并按照“用適當?shù)姆椒庸A柱，并依據(jù)這些方法解決與之相關的表面積和體積問題”的設計思路，整理出如圖1所示的4個相互關聯(lián)的問題，并以“問題聯(lián)動”的方式構建問題串，幫助學生尋找到方法解決圓柱切割之后，與表面積和體積的有關問題。

圖2

一、練習設計顯整體，于“瞻前顧后”中點燃思維火花

教學實踐證明，許多復雜的數(shù)學題之間其實是相通的，都是從源于教材的某一道例題或習題中衍生變化而來的。故筆者認為，在設計練習中的“問題串”時，可以通過對教材中一道典型例題的關鍵知識點（核心問題）進行適當?shù)耐卣?，衍生出既可以是從屬關系，也可以是并列關系，還可以是層級關系的子問題，讓學生在例題的有序變化中發(fā)現(xiàn)這些問題的變化規(guī)律，體會變化中的不變，從而找到該系列問題的根本解決辦法。同時，在設計過程中需把握數(shù)學學科知識的基本結構及學生的具體學情，從而對問題串進行整體布局，發(fā)揮其伙伴學習的功能，彰顯伙伴學習的價值。

以“圓柱表面積和體積綜合練習”中的問題1為例，本題是對蘇教版教材六年級下冊第14 頁的一道練習問題的再思考（如圖3）。根據(jù)以往的經(jīng)驗，這道題及其所代表的這一類題是練習中的“?？汀?，但在這類作業(yè)題中，學生還是會出現(xiàn)不理解切割方法、找不到圓柱變化前后的特征、不清楚增加面的個數(shù)和形狀等情況，這暴露了教學設計存在的問題，若不深究這些概念的細節(jié)、存在的關聯(lián)、可能的變化及變化之后的表象，學生的疑惑將不斷增大。

圖3

另外，設計的練習也不宜以題論題，應設法引導學生串聯(lián)思考，使他們做出更明智的判斷和行動。因此，筆者在設計問題時直接從例題出發(fā)，在保持原題的主要條件基本不改變的前提下，去掉個別條件，繼續(xù)演繹、深化、探究本題可能產(chǎn)生的新結論，使之衍生出一組能體現(xiàn)新、舊題目的已知條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生能從整體上掌握知識和解題方法的系列問題，即形成以問題1 為代表的問題串。

在問題1 的反饋中，關于第一小問“可以怎樣切”，學生都能找到3 種切法，并能根據(jù)提示作圖。但不同學生的空間素養(yǎng)和作圖基礎不盡相同，因此所作之圖與表述的清晰程度各有高低：有的只畫出了切割線，有的畫出了切割后的立體圖形，有的不僅表意清楚還能圖文并茂（如圖4）。

圖4

關于第二小問“切法特點”的作答，有的學生只描述了切法和切后的份數(shù)，如：這些切法有的是橫著切的，有的是豎著切的，有的是斜著切的；都能把圓柱平均分成大小相等的兩份。以上描述沒能挖掘出圓柱加工后隱藏的特征信息。

有的學生描述了體積和表面積的變化情況，如：對于三種切法，圓柱的體積都不變，表面積都是增加了兩個完全相等的面。還有的學生描述了切割后立體圖形的形狀、截面的形狀和個數(shù)，如：都平均分成了體積相等的兩份，但是切出來的形狀不同，第一種方法切出來每份都是一個圓柱，表面積增加的是兩個直徑為10 分米的圓的面積；第二種方法切出來的每份是一個半圓柱，表面積增加的是兩個長20分米、寬10分米的長方形的面積；第三種方法切出來的是兩個不規(guī)則的立體圖形，表面積增加的是兩個橢圓的面積。部分學生能根據(jù)畫出的示意圖，用文字條理清晰地描述圖形變化前后的本質(zhì)特征。

由此可知，并不是每個學生都能很好地抓住問題的重點與關鍵，或是能上升到應有的高度。張齊華老師指出，問題應該是模糊的，是學生一眼看不到底的，需要不斷開掘和延展，過程中可能會引發(fā)新的問題與思考，問題與問題之間會碰撞，橫向與縱向之間會勾連。在這里，整個問題串的開篇——問題1 的設計便是通過改變已知條件及需求解的結論，對問題進行了模糊處理，引導學生進行思考與探究，并通過2 個小問層層遞進，使學生更加注意這類問題，從而從整體上把握此類知識。

二、練習設計顯層次，于“多元融通”中探查思維高度

要想提升學生的思維能力、抽象概括能力，教師可以多元融通教學方式，設計在邏輯上有特定聯(lián)系、在思維上層層遞進的問題串，進而在練習中促進學生的個體思維在經(jīng)驗的支持下逐漸深入，群體思維在分享的碰撞下實現(xiàn)進步。

以“圓柱表面積和體積綜合練習”中的問題2為例，這道題是對問題1 的拓展與延伸，考慮到學生在解決問題1 時出現(xiàn)的薄弱點，還需通過適當?shù)淖兓?，將未知條件轉(zhuǎn)化成已知條件，從而解決問題。故教師有必要設計一系列提煉生活原型的知識串，將生活中有關分割的知識提取出來，分類之后反復建構、系統(tǒng)重組。設計時，筆者希望能引導學生搜尋與自己生活經(jīng)驗相似的知識儲備，對已學的立體圖形做一些能體現(xiàn)層次性的“加工”。從反饋（如圖5）中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生選擇的加工方式是“拼接”“縮短”和“削減”，少數(shù)學生想到了“疊加、疊減”。

圖5

由此可知，數(shù)學學習確實是一個循序漸進的過程，教師所關注的不應只是如何幫助學生更好地掌握各種具體的解題策略，還應對學生的解題活動起到一定的啟發(fā)和指導作用。從反饋中還可發(fā)現(xiàn)，學生習慣借助對生活原型的記憶或?qū)嵨锏闹庇^操作獲得數(shù)學知識，若是設計的問題沒有具體或可視化的載體，可以借問題1 的作圖之利，再次把抽象的思維化為有形的圖，以圖助思，扶梯而上。同時，交流共享反饋中所出示的四種加工方式，“拼接”和“縮短”以學生獨立思考、自由回答、師生交流為主，“削減”以學生獨立思考、主動表達、師生交流（教師選擇性參與）為主，“疊加、疊減”以伙伴學習、教師評價為主。在這個環(huán)節(jié)的教學活動中，學生在問題串的驅(qū)動下反復進行數(shù)學化的思考和想象的內(nèi)化，促進思維向深處蔓延。

在后續(xù)的成果共享中，學生互相啟發(fā)，在“切割”“拼接”“縮短”“削減”“疊加、疊減”之外，還找到了“倒水”、“鍛造”及“卷一卷”等有數(shù)學意義的加工方式（如圖6）。問題研究至此，學生可以根據(jù)自己對加工方式的理解串聯(lián)其他相關的問題，還可以根據(jù)自己對知識的把握深度尋找生活中可以解決的問題，進而推動思維進程、提升思維質(zhì)量，將“通過適當?shù)膯栴}引導學生深入進行思考”這一思想更好地貫穿于“問題串”設計的全過程中。

圖6

三、練習設計顯針對，于“系統(tǒng)思辨”中完善思維體系

在問題2 的反饋中，筆者參與了組間交流，獲取了學生在確定加工方式后，對示意圖的繪制產(chǎn)生的各種想法，如：加工得到的形體將由幾個面組成？各有幾個什么形狀的平面圖形？有沒有曲面？曲面切下來應該是什么圖形？各個形狀之間的長度有什么關系？畫的時候，哪些線條、截面是對應的？這些基于直觀分析生成的問題都具有自身的教學作用及價值導向，教師若能有意識地貫穿于后續(xù)的“問題串”中，或能確保整體設計意圖的達成。由此，練習單上的問題3和問題4便自然形成。

具體來說，練習在設計初期應清楚地點明核心問題，而且也應在全部的練習過程中不斷重復、強化核心問題，其間可根據(jù)練習情況適時調(diào)整問題串，即有一個對核心問題逐步明朗與不斷深化的調(diào)適過程，包括對子問題的必要調(diào)整及適當糾錯。這樣的思辨可使問題串更具有針對性，使學生自然地理解核心問題，逐步完善思維體系。

在問題3 的反饋中，筆者發(fā)現(xiàn)有個別學生因為自己只畫了一條切割線，就認為只增加了一個面，理解出現(xiàn)偏差，這體現(xiàn)了其空間想象能力的薄弱。其余學生會選擇自己熟悉的截面進行面積計算，但也出現(xiàn)了忽略不同切法導致截面與增加的面積也不同的情況，繼而只選擇計算增加的長方形面積或圓形面積。再看問題4，圓柱切割后可能被分成兩個小圓柱或兩個半圓柱，多數(shù)學生選擇計算熟悉的圓柱表面積，而對于不熟悉的半圓柱，部分學生沒有算上長方形截面的面積。針對此種問題，筆者引導學生通過比對正確圖示與錯誤圖示，幫助學生深入理解題意。

回顧問題1 至問題4，如果由教師直接拋出教材上的例題或是改編題，對學生而言都是突然且刻意的，因為學生對新問題的重建和認知是漸進的過程，若是缺少自主內(nèi)化作為表層理解勾連深層理解的內(nèi)力，那么學生的思維體系是不完整的。如在圖形加工環(huán)節(jié)，當學生面對“加工方式有什么不同？不同在哪？圖形加工前后又有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒變？”等問題時，教師可引導學生圍繞“相同”與“不同”、“變”與“不變”進行觀察比較，緊扣核心問題，抓牢基本原理。同時，鄭毓信教授指出：只有通過深入地揭示隱藏在具體數(shù)學知識內(nèi)容背后的思維方法，我們才能真正做到將數(shù)學課講活、講懂、講深。實現(xiàn)這樣的目標，不僅需要教師展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學研究工作，學生的自主內(nèi)化也是其中不可缺少的一環(huán)，能最大限度地發(fā)揮“問題串”的教學價值?；谏鲜稣J識，筆者建構出“問題串邏輯結構鏈”的基本樣態(tài)（如圖7），以期構建成一條完整的數(shù)學學習思維鏈。

圖7

綜上所述，問題串的設計應考慮學生已有的認知基礎、思維習慣和學習水平，并基于對核心問題的理解，關注學生學習的差異性及多種學習傾向，最終明晰構建高度組織化和結構化的知識體系才是設計的目的。因此，在設計問題串時不僅需要合理設置疑難，于幫扶中激勵學生循著問題階梯逐步提升，還需通過個體經(jīng)驗與群體經(jīng)驗的互啟互鑒，使個體思維與群體思維互助，為實現(xiàn)數(shù)學學習的整體性架構充分發(fā)揮其應有功能。