培養(yǎng)低段學(xué)生運(yùn)用幾何直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略

浙江杭州市余杭區(qū)瓶窯鎮(zhèn)第二小學(xué)（311115） 蔡 瓊

幾何直觀是指依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、形象，有助于學(xué)生自主探索解決問(wèn)題的思路并預(yù)測(cè)結(jié)果。

一、問(wèn)題提出：融“畫”會(huì)通的掣肘所在

低段學(xué)生處于思維能力旺盛、模仿意識(shí)強(qiáng)烈以及掌握意識(shí)和接受能力快速發(fā)展的階段。在這個(gè)黃金時(shí)期，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，可以訓(xùn)練學(xué)生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本技能，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的建立和發(fā)展。因此，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生能夠運(yùn)用幾何直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力成為當(dāng)前低段數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方向之一。然而，低段學(xué)生的幾何直觀能力培養(yǎng)面臨一些問(wèn)題。

（一）意識(shí)淡薄，數(shù)形割裂

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)低段學(xué)生因其年齡小、識(shí)字量少、理解力弱等因素，注意力容易分散。此外，教材主要以圖片形式呈現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)形象思維，導(dǎo)致學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、數(shù)學(xué)空間感和幾何直觀能力相對(duì)薄弱。

（二）能力有限，欠缺創(chuàng)新

低段學(xué)生的思維觀念不強(qiáng)。如針對(duì)“排隊(duì)問(wèn)題”中“從前往后數(shù)，小麗排第10，小宇排第15，小麗與小宇之間有多少人？”的練習(xí)，學(xué)生的解題情況如表1所示。

表1 學(xué)生解題情況

使用第一、第二種解法的學(xué)生較多，解題過(guò)程說(shuō)明他們只是慣性思維，沒(méi)有真正理解問(wèn)題的含義；使用第三種解法的學(xué)生大多數(shù)曾經(jīng)做過(guò)類似的習(xí)題，但他們只是套用了經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法說(shuō)出為什么這樣解；使用第四種解法的學(xué)生通過(guò)畫圖來(lái)思考、表達(dá)，并且回答正確。顯然，幾何直觀對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和空間感的培養(yǎng)有很大的促進(jìn)作用。

（三）淺嘗即止，缺乏技巧

教師的教學(xué)水平直接影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的吸收和掌握程度。因此，只有提高教師的教學(xué)能力，才能更好地實(shí)施幾何直觀能力訓(xùn)練的教學(xué)。教師在幾何教學(xué)方面的欠缺，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

1.對(duì)幾何直觀教學(xué)理解不到位

部分教師將幾何直觀教學(xué)簡(jiǎn)單地等同于使用幾何模型讓學(xué)生理解幾何知識(shí)，忽視了題目與幾何直觀能力之間的聯(lián)系。這導(dǎo)致學(xué)生只能依靠自己的理解和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解題，無(wú)法達(dá)到培養(yǎng)幾何直觀能力的目的。

2.缺乏相應(yīng)的幾何教學(xué)技巧

在教學(xué)低段簡(jiǎn)單計(jì)算時(shí)，幾何思維可以簡(jiǎn)化題目的難度。但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往不是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，而是直接告訴學(xué)生如何畫圖解決問(wèn)題，如何記住這類技巧等。長(zhǎng)此以往，學(xué)生習(xí)慣了被動(dòng)學(xué)習(xí)的模式，一旦遇到解題困難，就依賴教師的解答。

二、解決構(gòu)思：融“畫”會(huì)通的體用并舉

（一）課堂：以趣味性促進(jìn)想象力

小學(xué)低段學(xué)生還是以具象思維方式為主，他們直接在腦中想象問(wèn)題中的情境，實(shí)現(xiàn)“情景再現(xiàn)”，進(jìn)而幫助問(wèn)題的解決。融“畫”會(huì)通可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具象化，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性，讓學(xué)生更易于理解。

（二）學(xué)生：以多維度推動(dòng)理解力

從融“畫”會(huì)通的路徑出發(fā)，學(xué)會(huì)有效地畫圖，抓準(zhǔn)有用的信息去分析題意、梯度分解、舉一反三。初始階段，重在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)讀題、會(huì)尋找題目中的有用信息；實(shí)施階段，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖去分析題意，化抽象為直觀；后續(xù)階段，學(xué)生能從多維角度去分析，不僅限于單一的解題方法時(shí)，教師應(yīng)優(yōu)化學(xué)生的畫圖方法，幫助他們更深入地理解數(shù)學(xué)概念。

（三）教師：以創(chuàng)新性提升教學(xué)力

在長(zhǎng)期的融“畫”會(huì)通教學(xué)中，教師能夠提升自身的教學(xué)能力，并在實(shí)踐、總結(jié)與反思中逐步摸索出真正適合低段學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)新模式。

如圖1 所示，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。

圖1

三、優(yōu)化實(shí)踐：融“畫”會(huì)通的生長(zhǎng)活化

（一）捕捉信息，變數(shù)為畫

在教學(xué)中，教師應(yīng)該從學(xué)生的興趣出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的能力。處理實(shí)際問(wèn)題是幫助學(xué)生解決問(wèn)題并培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的最佳途徑。在特定題目的講解中，教師應(yīng)該關(guān)注題目中的有效信息，直接解決學(xué)生的疑惑。

1.前測(cè)了解，找準(zhǔn)起點(diǎn)

為了解低段學(xué)生是否能夠用幾何直觀來(lái)說(shuō)明有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，筆者在新授課之前進(jìn)行了一次前測(cè)。

前測(cè)問(wèn)題：用你喜歡的形狀畫出圖中的信息，并列式計(jì)算。

（1）樹(shù)上本來(lái)有4 只小鳥(niǎo)，又飛來(lái)3 只，現(xiàn)在一共有幾只小鳥(niǎo)？

（2）小兔子拔了8 個(gè)胡蘿卜，吃掉5 個(gè)，還剩下幾個(gè)胡蘿卜？

如圖2 所示，學(xué)生能通過(guò)畫圖將題目的信息全部表達(dá)出來(lái)。通過(guò)算式可看出，學(xué)生也非常清楚所求的問(wèn)題是什么。有些學(xué)生會(huì)用抽象的圓圈代替實(shí)物圖，并能在圖中體現(xiàn)所求的問(wèn)題?？偟膩?lái)說(shuō)，學(xué)生具有一定的捕捉信息并把其轉(zhuǎn)為直觀表征的能力。

圖2

2.分析教材，明確意圖

“6～10 以內(nèi)的加減法”為人教版教材一年級(jí)上第五單元的主要內(nèi)容。教材的編排特色主要有三個(gè)方面：第一，用簡(jiǎn)易情境圖展示數(shù)學(xué)信息，配以大括號(hào)和問(wèn)號(hào)引出數(shù)學(xué)提問(wèn)，讓學(xué)生直觀地理解這些信息和問(wèn)題與列式之間的關(guān)聯(lián)；第二，采用“圖中有哪些信息”“問(wèn)題是什么”“如何回答”“回答正確嗎”四句話，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所要經(jīng)歷的一般過(guò)程，并掌握問(wèn)題解決的基本方法；第三，運(yùn)用情境圖的多種形式來(lái)表現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，以便學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)和日常生活實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并學(xué)會(huì)解決這些問(wèn)題，從而發(fā)展他們分析、簡(jiǎn)化現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。

3.提點(diǎn)升華，畫龍點(diǎn)睛

通過(guò)前測(cè)結(jié)果可以看出，學(xué)生在利用繪圖工具表達(dá)數(shù)學(xué)信息方面已經(jīng)具備一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。只是這種經(jīng)驗(yàn)可能比較零散，這就需要教師以學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，指導(dǎo)學(xué)生在畫圖時(shí)要能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)信息及問(wèn)題，從而讓學(xué)生迅速地理解題意并找出解題的對(duì)策。

（二）方法多樣，合理運(yùn)用

不同學(xué)生在畫圖時(shí)都有不同的想法，學(xué)生的畫圖形式應(yīng)該是由直觀到抽象轉(zhuǎn)變的。在相同的數(shù)學(xué)信息情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同的繪圖，并得出抽象圖可使圖形更簡(jiǎn)潔的結(jié)論。例如，在教學(xué)人教版教材二年級(jí)上冊(cè)第二單元中的解決問(wèn)題時(shí)，可以讓學(xué)生體驗(yàn)以下的畫圖流程。

【教學(xué)片段1】

師：今年人工野鴨島上有53 只野鴨，去年比今年少18 只。去年有多少只野鴨？這里要解決什么問(wèn)題？

生1：去年有多少只野鴨？

師：與這個(gè)問(wèn)題有關(guān)系的信息是什么？

生2：去年比今年少18只。

師：怎么分析這個(gè)信息？

生3：去年和今年比，去年少。

師：在畫圖前你有什么問(wèn)題想問(wèn)的嗎？

生4：我覺(jué)得畫圖太麻煩，要畫那么多野鴨。

師：有人有更好的解決辦法嗎？

生5：我用“○”來(lái)代替野鴨。

生6：我覺(jué)得可以畫線段圖。

師：請(qǐng)你來(lái)畫一畫。

雖然實(shí)物圖和線段圖都是繪圖的方式，都具有直觀性，但相對(duì)而言，線段圖更為抽象。學(xué)生對(duì)數(shù)字的理解不能僅僅停留在數(shù)與實(shí)物圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，應(yīng)該從實(shí)物圖逐漸發(fā)展到線段圖。這個(gè)過(guò)程必須適應(yīng)低段學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平與規(guī)律，以更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）優(yōu)化方法，用圖解題

通常情況下，學(xué)生在面對(duì)題目時(shí)往往直接根據(jù)題意進(jìn)行解析，但由于學(xué)生自身數(shù)學(xué)思維的限制，他們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)的角度可能相對(duì)狹窄，表現(xiàn)在運(yùn)用幾何直觀解題能力上的單一性和對(duì)問(wèn)題思考的片面性。

【教學(xué)片段2】

師：小英有若干朵小紅花，她送給小明8 朵小紅花后，兩人的小紅花數(shù)量一樣多。原來(lái)小英比小明多幾朵？

（學(xué)生想畫圖解題，但發(fā)現(xiàn)無(wú)從下手，因?yàn)椴恢佬∮⒃瓉?lái)有幾朵小紅花。）

師：題目并沒(méi)有告訴我們小英和小明原來(lái)各有幾朵小紅花，那應(yīng)該怎么表示呢？

生1：可以用線段表示。

生2：小英的線段要比小明的長(zhǎng)一些。

師：小英是不是把多出來(lái)的小紅花都送給了小明呢？小英送給小明的8 朵小紅花是線段上的哪一部分呢？

生3：應(yīng)該是小英比小明多出來(lái)的數(shù)量的一半。

生4：小英比小明多的數(shù)量應(yīng)該是2 個(gè)8 朵，列式為8+8=16（朵）。

通過(guò)將數(shù)學(xué)語(yǔ)言和圖像有機(jī)結(jié)合，可以使數(shù)量關(guān)系更加清晰、簡(jiǎn)明。借助幾何直觀的思維特點(diǎn)，可以更快地幫助學(xué)生開(kāi)啟思維大門，從而沖破認(rèn)知上的障礙。

四、教后反思：融“畫”會(huì)通的生本指向

（一）立足生活，激發(fā)興趣

將生活中的素材融入數(shù)學(xué)課程，將有助于縮短學(xué)生與數(shù)學(xué)課程間的距離，增加學(xué)生的課堂參與性。尤其是在面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)嘗試從學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，幫助他們深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和渴望。

（二）思維碰撞，溝通合作

任何學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)并不是在簡(jiǎn)單的機(jī)械教學(xué)中就可以實(shí)現(xiàn)的，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生如何思考和行動(dòng)。而僅僅進(jìn)行圖示講解是無(wú)法增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)的，更無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀思維。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行思維碰撞、互動(dòng)交流，表達(dá)自己的觀點(diǎn)和意見(jiàn)，通過(guò)這種互動(dòng)來(lái)豐富和完善自己的思維能力。

（三）聚焦能力，提升質(zhì)量

教師的授課能力直接影響課堂品質(zhì)和教學(xué)水平的優(yōu)劣。身為教師，不但要積極研究新課程，追求最前沿的教育理念，還要提高自己的教育創(chuàng)新能力。在長(zhǎng)期的教育實(shí)踐中，教師需要經(jīng)歷、總結(jié)和反思，不斷探索新的教學(xué)策略，為學(xué)生帶來(lái)與以往不同的體驗(yàn)，并有針對(duì)性地解決學(xué)生遇到的問(wèn)題，為其后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。