基于GM(1,1)模型在超高溫度場中的預測應用

朱 元

連云港市計量檢定測試中心,江蘇 連云港 222000

0 引言

《計量發(fā)展規(guī)劃(2021—2035年)》中明確提出“針對復雜環(huán)境、實時工況環(huán)境和極端環(huán)境的計量需求,研究新型量值傳遞溯源方法,解決綜合參量的準確測量難題”[1]。在實際的檢測過程中經(jīng)常也會遇到無法直接檢測的問題,例如超高溫、超高壓等,這些問題一方面是由于本單位標準器測量范圍無法達到,另一方面是因為整個計量行業(yè)還沒有更好的標準設備來解決。針對這樣極端的問題,本文提出了建立GM(1,1)模型來計算預測值,通過預測值和顯示值比對來評價誤差的大小。

關(guān)于預測方面的文獻較多,主要集中在2個方面：基于時間序列的預測方法;在此基礎上進行的算法改進[2]。一般時間序列是根據(jù)前面的數(shù)據(jù)序列預測后一個階段的數(shù)據(jù),為了提高預測的精度,結(jié)合其他算法進行改進,相關(guān)文獻總結(jié)如下。楊金芳 等[3]提出了一種基于支持向量機的時間序列預測方法,預測煤氣爐狀況并且與BP神經(jīng)網(wǎng)絡相比較,顯示出該方法的優(yōu)勢。Petrnio et al.[4]提出非平穩(wěn)模糊時間序列(nonstationary fuzzy time series,NSFTS),該方法主要針對不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列,先將數(shù)據(jù)平穩(wěn)化后再進行數(shù)據(jù)預測。針對季節(jié)性變化的數(shù)據(jù)序列,Sadaei et al.[5]提出了季節(jié)性的時間序列預測,將季節(jié)性周期變化數(shù)據(jù)通過差分變化再作預測。

總結(jié)上述的文獻可發(fā)現(xiàn)如下缺陷。①對訓練數(shù)據(jù)的個數(shù)和質(zhì)量要求較高,針對數(shù)據(jù)波動較大或者周期性變化時,需要通過差分等方法進行數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理。②常用的時間按序列預測法,例如ARMA、AR等模型在經(jīng)過多步預測后,預測值會趨向于平均值,并且擬合效果欠佳[6]。為了克服上述弊端,GM(1,1)灰色預測模型提供了一種很好的思路,其具有建模數(shù)據(jù)少、預測效果好的優(yōu)點,廣泛應用于工程領(lǐng)域。

關(guān)于GM(1,1)模型以及改進的研究總結(jié)如下。吳嵐怡 等[7]根據(jù)2020—2025年我國醫(yī)療保險基金的結(jié)余數(shù)據(jù),建立GM(1,1)模型來預測后期醫(yī)療基金結(jié)余的變化趨勢。魯小波 等[8]利用2003—2010年這8年的快遞行業(yè)總收入作為訓練數(shù)據(jù),通過GM(1,1)模型預測我國快遞行業(yè)未來幾年的收入狀況。對于GM(1,1)模型的改進方法有2種：基于GM(1,1)模型背景值的改進;在殘差的基礎上再次建立GM(1,1)模型來補償預測誤差。祁琦 等[9]在改進GM(1,1)模型背景值的基礎上預測了我國民航的貨運量,與傳統(tǒng)GM(1,1)相比,提高了預測精度。孫斌[10]在傳統(tǒng)GM(1,1)預測模型的基礎上進行偏差分析,建立殘差修正模型,提高了邊坡變形的短期預測精度。

1 方法和理論

1.1 灰色系統(tǒng)理論概述

灰色系統(tǒng)理論是一種基于不確定性和不完備性的系統(tǒng)理論,它的基本思想是將系統(tǒng)分為確定性部分和隨機性部分,通過對隨機性部分進行建模和預測,來實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的預測?；疑到y(tǒng)理論包括灰色關(guān)聯(lián)分析、灰色預測、灰色控制等方面,其中灰色預測是最為常用的一種方法。

灰色預測模型的建立包括建立灰色微分方程、確定模型類型、確定模型參數(shù)等,其中,建立灰色微分方程是灰色預測模型的核心,它是通過對原始數(shù)據(jù)進行累加、平均等處理,將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為灰色微分方程的形式,從而實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的預測。確定模型類型和參數(shù)是建立灰色預測模型的關(guān)鍵步驟,它需要根據(jù)實際情況選擇合適的模型類型和確定模型參數(shù),以提高預測的準確性。

1.2 模型的建立

灰色系統(tǒng)理論是由Deng[11]提出的,其主要思想是：將有限的數(shù)據(jù)通過累加的方式,研究變化后的數(shù)據(jù)內(nèi)部關(guān)系,最后再將數(shù)據(jù)還原。假設有1組時間序列數(shù)據(jù),定義為X,則：

X(0)={x(1),x(2),x(3),…,x(n)}

(1)

式中：x(k)≥0,k=1,2,3,…,n,且n≥4。

對式(1)進行一次累加,得到一階累加生成算子(1-AGO),可以表示為：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}

(2)

GM(1,1)可用單變量一階微分方程表示為：

(3)

式中：a為發(fā)展系數(shù);b為灰色作用量。

1.3 模型的求解

若要求解式(3),則需要知道a、b的值,因此,利用一次累加數(shù)據(jù)的平均值構(gòu)造矩陣向量B和常數(shù)向量Yn,即：

(4)

Yn=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n))T

(5)

根據(jù)式(4)～(5),可得到a、b的值,即：

(6)

將參數(shù)a、b帶入式(3),利用最小二乘法求解整個方程,可得到方程解為：

(7)

最后,對公式(7)進行還原就可以得到預測值。

2 實例驗證

2.1 結(jié)果預測

校準一臺超高溫的箱式電阻爐,其設定溫度為1 500 ℃,實際檢測能力為1 300 ℃,采用短時間的預測方法,在900、1 000、1 100、1 200以及1 300 ℃這5個溫度點的校準結(jié)果如表1所示。

表1 校準結(jié)果

具體的建模過程如下(結(jié)果保留1位小數(shù))。

步驟1：初始化原始建模原始序列得到的結(jié)果為895、993、1 095、1 186、1 285。

步驟2：原始序列的1-AGO生成,其結(jié)果為895、1 888、2 983、4 169、5 454。

步驟3：1-AGO生成序列的緊鄰均值生成,其結(jié)果為1 391.5、2 435.5、3 576.0、4 811.5。

步驟4：計算灰色模型發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b,其結(jié)果為a=-0.08、b=881.17。

步驟5：得到預測的模型結(jié)果如下。

對步驟5的模型進行還原,可以得到最終的預測結(jié)果如表2所示。

表2 預測結(jié)果

計算得到整體的平均相對誤差為：0.44%。得到的預測結(jié)果如圖1所示。

圖1 GM(1,1)溫度預測

通過圖1可以發(fā)現(xiàn)實際值和預測值基本重合,說明具有較好的預測能力。

預測后2步得到的結(jié)果為：1 403、1 525?？梢哉J為該高溫爐在1 500 ℃時的誤差評估值為25 ℃。

2.2 模型的評價

為了驗證預測模型的優(yōu)劣程度,一般通過方差比(C)和小概率誤差(P)來判斷,具體如表3所示。

表3 模型精度等級

具體的計算過程如下。

計算原始序列的方差：

=137.6

計算殘差的方差：

=2.8

由此可以得到：

P的計算公式為：

根據(jù)表3可知,模型的等級為優(yōu)秀,具有較好的預測性。

2.3 模型的優(yōu)化

為了使模型的預測效果更好,可以根據(jù)誤差建立殘差修正模型,其建立的模型可以表示為：

x(t)=GM(1,1)+δ

式中：GM(1,1)為2.1中建立的傳統(tǒng)的模型,φ為殘差修正模型。根據(jù)表2中的殘差結(jié)果,建立殘差模型步驟如下所示。

1)根據(jù)殘差取絕對值建立起初始化序列為：

X(0)=(5.7,8.1,3.06,2.5)

2)對上述的初始序列作一次累加1-AGO生成序列為：

X(1)=(5.7,13.8,16.9,19.4)

3)欲求解參數(shù)a,b的值,需要構(gòu)造的矩陣B和常數(shù)向量Yn,得到的結(jié)果如下所示：

4)將a,b的值帶入到公式(3)中,得到一次累加的預測結(jié)果為：

得到的殘差預測結(jié)果如圖2所示。

圖2 殘差預測

將上述的殘差模型還原后,預測后兩步的殘差結(jié)果為：1.0和0.5,將上述的結(jié)果和本文2.1中的預測結(jié)果25 ℃相加,最后得到該高溫設備在1 500 ℃的誤差評估值為25.5 ℃。

3 結(jié)束語

在計量檢測過程中會面對標準器無法直接檢測的極端情況,采用建立數(shù)學模型的方式來評估誤差的大小將成為今后計量工作中的一種輔助決策手段。本文利用傳統(tǒng)的GM(1,1)及其修正模型來預測設定值在1 500 ℃情況下高溫爐的誤差情況,最后計算得到誤差的評估值為25.5 ℃。

灰色系統(tǒng)預測是一種基于灰色系統(tǒng)理論的預測方法,它可以在數(shù)據(jù)量較少、數(shù)據(jù)質(zhì)量較差、數(shù)據(jù)不完整等情況下進行預測,具有廣泛的應用價值。在實際應用中,需要根據(jù)實際情況選擇合適的模型類型和確定模型參數(shù),以提高預測的準確性。同時,還需要對建立的灰色預測模型進行評價,以確保預測結(jié)果的可靠性。