寬轉(zhuǎn)子無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的計(jì)及磁飽和徑向力模型

周云紅, 譚正一, 王 東, 李漢杰

(南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院,江蘇 南京 211167)

0 引言

二十一世紀(jì)前后,無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(Bearingless Switched Reluctance Motor, BSRM)因繼承了普通開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容錯(cuò)性好、效率高、更易于維護(hù)以及更利于高轉(zhuǎn)速運(yùn)行等優(yōu)點(diǎn),而備受國(guó)內(nèi)外研究者的重視。

由于BSRM沒(méi)有傳統(tǒng)機(jī)械軸承,在進(jìn)一步提高效率與高轉(zhuǎn)速區(qū)間運(yùn)行優(yōu)勢(shì)的同時(shí),也對(duì)控制提出了更高的要求,繞組電流不僅僅要提供拖動(dòng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)矩,還要提供轉(zhuǎn)子懸浮所需的徑向力。文獻(xiàn)[1]提出了一種雙繞組無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(Double-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor, DWBSRM),兩套繞組間存在復(fù)雜的耦合影響,需要特別的控制方法來(lái)進(jìn)行解耦控制。針對(duì)DWBSRM,文獻(xiàn)[2]選擇了一種能計(jì)及相互垂直方向懸浮力耦合的積分路徑,揭示了相互垂直方向上徑向懸浮力的耦合關(guān)系,建立了徑向力數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[3]基于等效磁路法對(duì)DWBSRM建立了兩相導(dǎo)通的數(shù)學(xué)模型。

為改進(jìn)DWBSRM結(jié)構(gòu)復(fù)雜的缺點(diǎn),文獻(xiàn)[4]提出一種了單繞組無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(Single-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor, SWBSRM),其結(jié)構(gòu)與普通SRM類似,具有結(jié)構(gòu)上的通用性,但轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)依然較大。針對(duì)SWBSRM轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)大的缺點(diǎn),文獻(xiàn)[5]同時(shí)為12/8極開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)子和定子分別開(kāi)圓形槽和矩形槽,對(duì)現(xiàn)有SRM結(jié)構(gòu)的改動(dòng)小,但對(duì)SRM振動(dòng)抑制有較好的效果。文獻(xiàn)[6-7]改變了傳統(tǒng)的定子結(jié)構(gòu),引入了不等寬的定子極,其中寬定子極上的繞組電流控制懸浮力,窄定子極上的繞組電流控制轉(zhuǎn)矩,大大減小了轉(zhuǎn)矩與懸浮力之間的耦合。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8-9]采用了內(nèi)外雙定子的方案實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)矩與懸浮自解耦。其中文獻(xiàn)[8]同時(shí)對(duì)內(nèi)外定子極、轉(zhuǎn)子極開(kāi)窗,進(jìn)一步減小了轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。文獻(xiàn)[10]提出了一種12/14極的不等寬定子極結(jié)構(gòu),優(yōu)化了電磁路徑,在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩與懸浮力解耦的同時(shí),還進(jìn)一步提高了轉(zhuǎn)矩密度,降低了鐵心損耗。文獻(xiàn)[11]研究了錐形電機(jī),其定、轉(zhuǎn)子極并非傳統(tǒng)的矩形而是存在傾斜角,轉(zhuǎn)子受到的電磁力可以分解為轉(zhuǎn)動(dòng)力矩與徑向力。其中文獻(xiàn)[12]研究了一種寬轉(zhuǎn)子單繞組無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(Single-Winding Bearingless Switched Reluctance Motor with Wide Rotor, BSRMWR),其繞組電感存在平頂區(qū),通過(guò)雙相導(dǎo)通可實(shí)現(xiàn)懸浮力與電磁轉(zhuǎn)矩的解耦控制。

徑向力是無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的重要性能指標(biāo),求解徑向力常見(jiàn)的有麥克斯韋應(yīng)力法、虛位移法以及等效磁路法等。針對(duì)傳統(tǒng)SWBSRM,文獻(xiàn)[13]基于有限元分析和麥克斯韋應(yīng)力法,揭示了12/14極SWBSRM懸浮力的非線性時(shí)變規(guī)律,并建立了考慮磁飽和的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[14]提出了基于思維進(jìn)化算法優(yōu)化的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的SRM非線性模型,更好地反映電機(jī)運(yùn)行時(shí)的磁鏈特性和轉(zhuǎn)矩特性;文獻(xiàn)[15]運(yùn)用了磁導(dǎo)法,建立了分段函數(shù)形式的全周期徑向力模型。文獻(xiàn)[16]研究了一種共懸浮繞組式單繞組開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(Sharing-Suspension-Windings Bearingless Switched Reluctance Motor, SSWBSRM),并基于等效磁路法推導(dǎo)了考慮磁鏈飽和的轉(zhuǎn)矩模型。文獻(xiàn)[17]則是從麥克斯韋應(yīng)力法的角度建立了BSRMWR的徑向力和轉(zhuǎn)矩模型。文獻(xiàn)[18]在不考慮磁飽和的情況下運(yùn)用麥克斯韋應(yīng)力法建立了BSRMWR的全周期徑向力模型。文獻(xiàn)[19]綜合等效磁路法和麥克斯韋應(yīng)力法,精確計(jì)算了SRM氣隙磁通密度,得出了單相激勵(lì)下定子徑向電磁力的表達(dá)式,從而減少了誤差。

考慮到無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)經(jīng)常在磁飽和狀態(tài)工作,本文在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上,以寬轉(zhuǎn)子單繞組無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)為研究對(duì)象,對(duì)鐵心的磁化曲線進(jìn)行擬合,結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力法推導(dǎo)了考慮磁飽和的徑向力模型,并使用三維有限元仿真計(jì)算與所建立的徑向力數(shù)學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了模型的有效性。該模型的建立可以提高對(duì)磁飽和工況的適用性。

1 BSRMWR基本結(jié)構(gòu)與運(yùn)行原理

以三相12/8極BSRMWR為例,基本結(jié)構(gòu)如圖1所示(略去了B、C相繞組),定子極弧為15°,轉(zhuǎn)子極弧為30°,轉(zhuǎn)子極弧寬于定子極弧。徑向x、y軸方向上的四個(gè)定子極A1～A4上的繞組共同構(gòu)成A相繞組,電流分別記作iA1～iA4,對(duì)應(yīng)的氣隙分別為a1～a4。區(qū)別于普通SRM,同相內(nèi)的四極繞組互不連接,電流都單獨(dú)控制,以便通過(guò)雙相導(dǎo)通實(shí)現(xiàn)徑向力與旋轉(zhuǎn)力矩的解耦控制,其中一相作為轉(zhuǎn)矩相,另一相作為懸浮相[18]。圖中還標(biāo)示出了A、B、C相繞組分別產(chǎn)生的兩自由度徑向力FAx、FAy、FBx、FBy、FCx、FCy與x軸和y軸的位置關(guān)系,其中相鄰的兩個(gè)力之間的夾角都為30°。

圖1 BSRMWR基本結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Basic structure diagram of BSRMWR

2 電感及徑向力特性分析

2.1 電感特性

定義逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檗D(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)正方向。普通的SWBSRM中,轉(zhuǎn)子極弧小于或者等于定子極弧,隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn),相電感變化規(guī)律如圖2(a)所示。由于相電感正比于定、轉(zhuǎn)子極的對(duì)齊面積,而在區(qū)域Ⅱ內(nèi)轉(zhuǎn)子極與該相定子極的重疊面積逐漸增大,因此相電感也相應(yīng)線性增加,直至轉(zhuǎn)子極與該相定子極完全重合時(shí)相電感獲得最大值;在區(qū)域Ⅲ內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極的重疊面積逐漸減小,因此相電感也線性減小;在區(qū)域I和IV內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極完全錯(cuò)開(kāi),重疊面積為零,因此相電感維持最小值。

圖2 電感曲線示意圖Fig.2 Inductance curve schematic

當(dāng)要求產(chǎn)生正轉(zhuǎn)矩時(shí),宜選擇區(qū)域Ⅱ進(jìn)行勵(lì)磁;當(dāng)要求產(chǎn)生負(fù)轉(zhuǎn)矩時(shí),則宜選擇區(qū)域Ⅲ進(jìn)行勵(lì)磁。區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅲ中電感較大的區(qū)段是懸浮有效區(qū),通過(guò)不對(duì)稱勵(lì)磁可取得較大的懸浮力。在實(shí)際控制過(guò)程中,通常是采用單相導(dǎo)通模式,因此在選擇繞組的勵(lì)磁區(qū)域時(shí)需要在轉(zhuǎn)矩有效區(qū)和懸浮有效區(qū)之間進(jìn)行折中,以便兼顧轉(zhuǎn)矩和徑向力要求。二者互相制約,且瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩與徑向力之間還會(huì)存在嚴(yán)重的耦合影響。

在BSRMWR中,轉(zhuǎn)子極弧大于定子極弧,隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn),相電感變化規(guī)律如圖2(b)所示。區(qū)別于圖2(a),可以看出相電感曲線中出現(xiàn)了一個(gè)平頂區(qū)域V,期間相電感維持最大值,這是由于在此區(qū)間內(nèi),轉(zhuǎn)子極與該相定子極的對(duì)齊面積始終保持與定子極弧相等。在區(qū)域V內(nèi),通過(guò)不對(duì)稱勵(lì)磁可取得較大的懸浮力,因此可用作懸浮有效區(qū)。懸浮有效區(qū)與轉(zhuǎn)矩有效區(qū)相互獨(dú)立,不再互相制約。

不同于傳統(tǒng)SWBSRM的單相導(dǎo)通模式,BSRMWR通過(guò)雙相導(dǎo)通實(shí)現(xiàn)其瞬時(shí)轉(zhuǎn)矩與徑向力的解耦控制。具體來(lái)說(shuō),根據(jù)轉(zhuǎn)子位置角,選擇處于轉(zhuǎn)矩有效區(qū)的一相繞組進(jìn)行對(duì)稱勵(lì)磁以產(chǎn)生所需轉(zhuǎn)矩,相應(yīng)的相稱為“轉(zhuǎn)矩相”;而選擇處于懸浮有效區(qū)的另一相繞組進(jìn)行不對(duì)稱勵(lì)磁以產(chǎn)生所需徑向力,相應(yīng)的相稱為“懸浮相”。由于平頂區(qū)內(nèi)的繞組相電感關(guān)于轉(zhuǎn)子位置角的變化率為零,因此勵(lì)磁后不會(huì)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩,對(duì)轉(zhuǎn)矩相無(wú)耦合影響。

2.2 徑向力特性

以A相為例,在未磁飽和時(shí),因鐵心材料的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氣隙的磁導(dǎo)率,因此可忽略鐵心磁阻。

等效磁路如圖3(a)所示,其中N為繞組匝數(shù);Pa1、Pa2、Pa3、Pa4分別為氣隙a1、a2、a3、a4的磁導(dǎo)。圖3(b)為不忽略鐵心磁阻時(shí)的等效磁路圖,其中Ps為各極磁路中所包含的鐵心磁導(dǎo)。

圖3 A相等效磁路圖Fig.3 Equivalent magnetic circuit diagram for phase A

定義轉(zhuǎn)子極軸線對(duì)準(zhǔn)A相定子極軸線時(shí)的轉(zhuǎn)子位置角為0°。由文獻(xiàn)[14]的方法推導(dǎo)出的全周期徑向力數(shù)學(xué)模型與由Maxwell計(jì)算出的徑向力結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖4所示,可以看出隨著電流的增加,該方法推導(dǎo)的徑向力數(shù)學(xué)模型精度會(huì)逐漸降低。這是因?yàn)殡S著電流增加,鐵心的磁導(dǎo)率會(huì)因磁飽和而逐漸減小,從而不再遠(yuǎn)大于氣隙磁導(dǎo)率,因此忽略鐵心磁阻會(huì)引起較大誤差。若要計(jì)及磁飽和的影響,則應(yīng)使用圖3(b)所示不忽略鐵心磁阻的等效磁路。

圖4 不考慮磁飽和的徑向力數(shù)學(xué)模型與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison between the radial force mathematical model without considering magnetic saturation and finite element calculation results

3 氣隙磁密及徑向力計(jì)算

除了磁路中難以避免的電磁飽和以及漏磁現(xiàn)象外,BSRMWR在運(yùn)行過(guò)程中容易因徑向偏心而使得氣隙不均勻。這些都使得建立完全符合實(shí)際運(yùn)行情況的數(shù)學(xué)模型更加困難。為簡(jiǎn)化分析,做如下假設(shè):

(1) 不考慮磁路中的漏磁及渦流損耗;

(2) 與氣隙長(zhǎng)度相比,轉(zhuǎn)子的徑向偏心很小;

(3) 忽略徑向兩自由度(即x、y方向)的耦合。

3.1 氣隙磁密計(jì)算

利用Maxwell建立BSRMWR二維有限元模型,以分析電磁特性,主要參數(shù)如表1所示。

表1 BSRMW的二維模型參數(shù)Tab.1 Two-dimensional model parameters of the BSRMW

氣隙磁密Bg、鐵心磁密Bs與氣隙磁場(chǎng)強(qiáng)度Hg、鐵心磁場(chǎng)強(qiáng)度Hs分別滿足關(guān)系:

Bg=μ0Hg

(1)

Bs=μ0μrHs

(2)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率,數(shù)值為4π×10-7;μr為鐵心材料的相對(duì)磁導(dǎo)率。

根據(jù)磁通連續(xù)定律:Bg=Bs。結(jié)合式(1)、式(2),可知Hg與Hs滿足關(guān)系:

Hg=μrHs

(3)

電機(jī)鐵心采用硅鋼材料DW310-35,其1/μr與Hs存在近似正比的關(guān)系。采用一次線性關(guān)系進(jìn)行擬合,即:

(4)

擬合結(jié)果如圖5所示,其中擬合系數(shù)a=0.483 735 146 1μ0,b=196.699 233 4μ0。

圖5 鐵心材料的1/μr-Hs擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of 1/μr-Hs for iron core material

將式(4)代入式(2)中,得鐵心磁密表達(dá)式:

(5)

按式(5)對(duì)鐵心的磁化曲線Bs-Hs進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖6所示。根據(jù)Bs隨Hs變化的程度,將磁化曲線分成三段:當(dāng)0 T2.05 T時(shí),處于完全磁飽和區(qū)?？梢钥闯?在未磁飽和區(qū)與完全磁飽和區(qū),擬合誤差較小;在部分磁飽和區(qū),擬合誤差較大,后續(xù)可針對(duì)這一區(qū)間進(jìn)一步優(yōu)化擬合公式。

圖6 鐵心材料的磁化曲線擬合結(jié)果Fig.6 The fitting results of the magnetization curve of the iron core material

在未磁飽和區(qū),鐵心材料磁阻遠(yuǎn)小于氣隙磁阻,因此可以忽略掉Bs在安培環(huán)路定律中的影響。在部分磁飽和區(qū)和完全磁飽和區(qū),隨著B(niǎo)s增大,磁飽和程度愈發(fā)嚴(yán)重,氣隙磁阻不再遠(yuǎn)大于鐵心磁阻,故需要考慮Bs在安培環(huán)路定律中的影響。

為了具體研究鐵心中的磁飽和情況,分別為A1極繞組通入電流iA1=3 A,9 A,15 A,有限元靜態(tài)分析所得磁密云圖如圖7所示?？梢钥闯?在iA1=3 A時(shí),定、轉(zhuǎn)子鐵心的所有部分都未磁飽和;在iA1=9 A時(shí),通電A1極部分磁飽和;在iA1=15 A時(shí),A1極部分區(qū)域完全磁飽和,而與之相鄰的轉(zhuǎn)子極以及部分定子軛則部分磁飽和。

仍以A1極為例,考慮鐵心的影響,根據(jù)磁路歐姆定律,按圖3(b)所示的等效磁路列寫磁路方程:

Hglg+Hsls=NiA1

(6)

式中:lg為等效氣隙磁路長(zhǎng)度;ls為等效鐵心磁路長(zhǎng)度。

將式(1)和式(2)代入式(6),可得:

(7)

ls的大小與磁力線通過(guò)鐵心的等效路徑長(zhǎng)度有關(guān)。在未磁飽和時(shí),ls近似為0;在部分磁飽和時(shí),ls近似等于定子極長(zhǎng)度;在完全磁飽和時(shí),ls以定子極長(zhǎng)度為主,但還包含部分的磁路長(zhǎng)度,本文在應(yīng)用時(shí),將ls近似取值為定子極長(zhǎng)度。

根據(jù)轉(zhuǎn)子極與定子極的相對(duì)位置,將一個(gè)電感周期分為非完全交疊區(qū)和完全交疊區(qū):當(dāng)轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-7.5°, 7.5°]時(shí),為完全交疊區(qū);當(dāng)轉(zhuǎn)子位置角處于[-22.5°, -7.5°]和[7.5°, 22.5°]這兩個(gè)區(qū)間時(shí),為非完全交疊區(qū)[14]。

(1) 完全交疊區(qū)的氣隙磁密

如圖8所示,以處于完全交疊區(qū)的氣隙a1為例,由于其邊緣氣隙磁密很小,因此計(jì)算氣隙磁密Bg時(shí)只考慮主氣隙磁密Bm。

圖8 完全交疊區(qū)氣的隙磁密Fig.8 Air gap flux density in fully overlap region

對(duì)于主氣隙磁密Bm,其磁路等效長(zhǎng)度lm可以看作平均氣隙長(zhǎng)度l0,即:

lm=l0

(8)

將式(5)和(8)代入式(7),得到主氣隙磁密Bm:

(9)

式中:Mm=(bls+l0)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-l0)。

(2) 非完全交疊區(qū)的氣隙磁密

如圖9所示,以處于非完全交疊區(qū)的氣隙a1為例,氣隙磁密Bg中除了主氣隙磁密Bm外,還有兩個(gè)邊緣磁密分量,分別記作Bf0、Bf1。

圖9 非完全交疊區(qū)的氣隙磁密Fig.9 Air gap flux density in non-overlap region

根據(jù)電磁場(chǎng)有限元分析結(jié)果,將邊緣氣隙磁密的路徑近似看為四分之一圓弧與直線的組合,以此建立如圖10所示的假定氣隙磁路,用來(lái)計(jì)算氣隙磁路長(zhǎng)度。

圖10 非完全交疊區(qū)的假定氣隙磁路Fig.10 Assumed air gap magnetic path in non-completely overlap region

由于此時(shí)主氣隙磁密的等效磁路長(zhǎng)度也滿足lm=l0,因此Bm的表達(dá)式與式(9)相同。

邊緣氣隙磁密的等效長(zhǎng)度lf0與lf1都與轉(zhuǎn)子位置角有關(guān),分別為

lf0=lg+πR[βr-(-θ+βs/2+βr/2)]/2

(10)

lf1=lg+πR[βs-(-θ+βs/2+βr/2)]/2

(11)

式中:βs為定子極弧;βr為轉(zhuǎn)子極弧;θ為轉(zhuǎn)子位置角;R為轉(zhuǎn)子半徑。

將式(5)和式(10)代入式(7),得出Bf0表達(dá)式:

(12)

式中:Mf0=(bls+lf0)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-lf0)。

將式(4)和式(11)代入式(7),得出Bf1表達(dá)式:

(13)

式中:Mf1=(bls+lf1)2+(aNiA1)2+2aNiA1(bls-lf1)。

Mm、Mf0、Mf1是為簡(jiǎn)化氣隙磁密表達(dá)式(9)、(12)、(13)而定義的中間變量。

3.2 徑向力計(jì)算

麥克斯韋應(yīng)力法認(rèn)為磁場(chǎng)的張力張量T等效于有質(zhì)動(dòng)力F,即給定體積V的磁質(zhì)內(nèi)的合力及力矩等效于包圍V表面的S面上各張力的合力,可表示為[20]

(14)

當(dāng)僅有與積分路徑垂直的磁場(chǎng)分量時(shí),作用于曲面S上的磁應(yīng)力的法向分量Fn關(guān)于磁通密度法向分量Bn的計(jì)算式為[21]

(15)

設(shè)轉(zhuǎn)子鐵心的軸向長(zhǎng)度為h,則整個(gè)轉(zhuǎn)子受到的徑向力Fr可以表示為

(16)

(1) 定轉(zhuǎn)子非完全交疊區(qū)的徑向力

在轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-22.5°, -7.5°]時(shí),選取如圖11所示的積分路徑1→2→3。

圖11 非完全交疊區(qū)的積分路徑Fig.11 Integration path in non-overlap region

iA1在轉(zhuǎn)子極上引起的徑向力FA1與主氣隙磁密Bm及邊緣氣隙磁密Bf0的關(guān)系滿足:

(17)

式中:l12、l23分別為積分路徑1→2和2→3的長(zhǎng)度。

l12、l23可由轉(zhuǎn)子位置角θ、定子極弧βs、轉(zhuǎn)子極弧βr以及轉(zhuǎn)子半徑R計(jì)算:

l12=[βr-(θ+βs/2+βr/2)]R

(18)

l23=(θ+βs/2+βr/2)R

(19)

將磁密表達(dá)式(9)、(12)與積分路徑長(zhǎng)度表達(dá)式(18)、(19)代入式(17),即可得到iA1產(chǎn)生的徑向力FA1:

FA1=m1(θ)k2(iA1)+m2(θ)k1(iA1)

(20)

式中的k1(iA1)和k2(iA1)與電流iA1有關(guān),m1(θ)和m2(θ)與轉(zhuǎn)子位置角θ有關(guān),具體表達(dá)式分別為

(21)

(22)

同理,轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[7.5°, 22.5°]時(shí),iA1產(chǎn)生的徑向力FA1的表達(dá)式為

FA1=m1(-θ)k2(iA1)+m2(-θ)k1(iA1)

(23)

式中的k1(iA1)和k2(iA1)都與式(21)一致。

(2) 定轉(zhuǎn)子完全交疊區(qū)的徑向力

當(dāng)轉(zhuǎn)子位置角處于區(qū)間[-7.5°, 7.5°]時(shí),選取如圖12所示的積分路徑4→5。

圖12 完全交疊區(qū)的積分路徑Fig.12 Integration path in fully overlap region

iA1在轉(zhuǎn)子極上引起的徑向力FA1與主氣隙磁密Bm的關(guān)系滿足:

(24)

式中:l45為積分路徑4→5的長(zhǎng)度,與定子極弧相等。

(25)

將磁密表達(dá)式(9)和積分路徑長(zhǎng)度表達(dá)式(25)代入式(24),即可得到徑向力FA1的表達(dá)式:

(26)

式中的k1(iA1)與式(21)一致。

為便于表述,將[-22.5°, -7.5°]、[-7.5°, 5°]、[7.5°, 22.5°]區(qū)間分別記作Q1、Q2、Q3,則FA1的計(jì)算式為

FA1=

由式(27)可以看出,在定轉(zhuǎn)子非完全交疊區(qū),徑向力FA1的計(jì)算式較為復(fù)雜,這是由于考慮了邊緣氣隙磁密。

3.3 徑向力的簡(jiǎn)化

為了比較主氣隙磁密和邊緣氣隙磁密,需要計(jì)算出氣隙磁密在不同位置的大小。因此,如圖13所示,在氣隙a1內(nèi)畫一條與轉(zhuǎn)子極弧等長(zhǎng)的弧線Arc1,其中點(diǎn)位于定子極A1的中線上。點(diǎn)a、點(diǎn)b為該弧線的兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)c、點(diǎn)d分別為該弧線上與臨近定子極端點(diǎn)和轉(zhuǎn)子極端點(diǎn)相對(duì)齊的點(diǎn)。將弧線Arc1上各點(diǎn)與電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)連線與x軸正方向的夾角θ1稱為“氣隙磁密位置角”,則點(diǎn)a、c、d、b的氣隙磁密位置角分別為-15°、-6°、7.5°、15°。

圖13 非完全交疊區(qū)的Arc1示意圖Fig.13 Schematic diagram of Arc1 in non-overlap area

在圖13所示位置,轉(zhuǎn)子位置角θ=9°,定轉(zhuǎn)子極非完全重疊。設(shè)置激勵(lì)電流iA1=9 A,利用有限元分析計(jì)算出弧線Arc1上的氣隙磁密結(jié)果如圖14所示。橫軸代表氣隙磁密位置角θ1,其中區(qū)間[-6°, 7.5°]對(duì)應(yīng)主氣隙磁密,(-15°,-6°)和(7.5°,15°)區(qū)間對(duì)應(yīng)邊緣氣隙磁密。

圖14 主氣隙磁密與邊緣氣隙比較(θ=9°)Fig.14 Comparison of main air gap flux density and edge air gap flux density (θ=9°)

(28)

3.4 兩自由度懸浮力計(jì)算

與計(jì)算FA1同理,不同定子極上繞組引起的徑向力也可以分別由對(duì)應(yīng)氣隙內(nèi)的磁密求出。將式(27)拓展為

(29)

式中:j=1, 2, 3, 4;k1(iAj)和k2(iAj)與電流iAj的關(guān)系同式(21)。

徑向相對(duì)的兩個(gè)徑向力相減,便可得到徑向力FAx、FAy,同時(shí)也是沿x、y軸正方向的徑向力Fx、Fy。

(30)

忽略邊緣氣隙磁密對(duì)徑向力的影響后,徑向力FAx、FAy簡(jiǎn)化為

(31)

至此,單繞組BSRMWR在一個(gè)完整電感周期內(nèi),由A相繞組激勵(lì)產(chǎn)生的徑向力數(shù)學(xué)模型已經(jīng)得到。

當(dāng)B相、C相繞組分別通電時(shí),可同理求出徑向力FBj、FCj,并簡(jiǎn)化為

(32)

(33)

(34)

(35)

4 氣隙磁密與徑向力的驗(yàn)證

將前文基于Maxwell建立的二維有限元模型的鐵心長(zhǎng)度軸向拉伸為55 mm,建立的三維有限元模型如圖15所示,用來(lái)驗(yàn)證本文所建數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖15 三維有限元模型Fig.15 Three-dimensional finite element model

4.1 氣隙磁密的對(duì)比與驗(yàn)證

分別為A1極繞組通入3 A、9 A、15 A的電流,以驗(yàn)證所建磁密模型在未磁飽和、部分磁飽區(qū)以及完全磁飽和狀態(tài)下的準(zhǔn)確性。由于在計(jì)算徑向力時(shí)采用的是主氣隙磁密的平均值,即平均主氣隙磁密,因此將式(9)計(jì)算結(jié)果與三維有限元計(jì)算結(jié)果及平均值進(jìn)行比較。而對(duì)于邊緣氣隙磁密,則將式(12)計(jì)算結(jié)果直接與三維有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

設(shè)置轉(zhuǎn)子位置角θ為0°,使電機(jī)處于完全交疊區(qū),此時(shí)僅Bm對(duì)徑向力結(jié)果造成影響,對(duì)比計(jì)算結(jié)果如圖16所示。分析可知:iA1=3 A時(shí),Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為381.89 mT,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為15.58%;iA1=9 A時(shí),Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為1.12 T,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為10.86%;iA1=15 A,Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為1.41 T,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為23.94%。

圖16 主氣隙磁密對(duì)比圖(θ=0°)Fig.16 Comparison diagram of main air gap flux density (θ=0°)

設(shè)置轉(zhuǎn)子位置角θ為9°,使電機(jī)處于非完全交疊區(qū),此時(shí)Bm和Bf0都對(duì)徑向力結(jié)果有影響。主氣隙磁密對(duì)比如圖17所示,分析可知:iA1=3 A時(shí),Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為379.34 mT,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為16.14%;iA1=9 A時(shí),Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為1.13 T,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為13.75%;iA1=15 A時(shí),Bm有限元計(jì)算結(jié)果的平均值為1.46 T,與式(9)計(jì)算結(jié)果的誤差為21.25%。

圖17 主氣隙磁密對(duì)比圖(θ=9°)Fig.17 Comparison diagram of main air gap flux density (θ=9°)

邊緣氣隙磁密Bf0的對(duì)比圖如圖18所示,可以看出,氣隙磁密模型的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果整體比較相符,只是在定子極端點(diǎn)的附近會(huì)有較大誤差。推測(cè)主要原因是在定子極邊緣的假想邊緣磁通路徑與實(shí)際情況偏差較大。值得注意的是,基于麥克斯韋應(yīng)力法計(jì)算徑向力時(shí),在沿積分路徑積分的過(guò)程中,主氣隙磁密和邊緣氣隙磁密的誤差會(huì)有一個(gè)累加的效果。因此,只要最終的徑向力計(jì)算精度滿足要求,則可以認(rèn)為所建立的氣隙磁密模型有效。

圖18 邊緣氣隙磁密Bf0對(duì)比圖(θ=9°)Fig.18 Comparison diagram of edge air gap Bf0 flux density (θ=9°)

4.2 徑向力的對(duì)比與驗(yàn)證

分別為A1極繞組通入電流iA1=3 A,9 A,15 A以模擬未磁飽和、部分磁飽和以及完全磁飽和的情形,進(jìn)行瞬態(tài)有限元分析。在一個(gè)完整周期內(nèi),以三維有限元計(jì)算結(jié)果為參考,將文獻(xiàn)[14]中的徑向力模型、本文式(27)所示徑向力模型以及式(28)所示簡(jiǎn)化后的徑向力模型計(jì)算結(jié)果作比較,如圖19所示。

圖19 x軸正方向徑向力全周期模型對(duì)比圖Fig.19 Comparison diagram of the full cycle model of radial force in the positive direction of the x-axis

可以看出,式(27)、(28)具有更好的精度,但是在θ=±22.5°處(即一個(gè)周期的始末),徑向力模型的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果有非常大的誤差。不能僅因?yàn)槟程幍拇笃罹头裾J(rèn)徑向力模型的價(jià)值,因此嘗試對(duì)徑向力模型與有限元計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差求均值,以更合理地量化誤差,從而從整體的角度去評(píng)價(jià)徑向力模型的適用性。

分析圖19(a)可知,iA1=3 A時(shí),三種徑向力模型的計(jì)算結(jié)果均與有限元計(jì)算結(jié)果比較相符,精度良好。

分析圖19(b)可知,iA1=9 A時(shí),文獻(xiàn)[14]徑向力模型、本文式(27)、式(28)與有限元計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差平均值分別是19.19%、11.19%、18.77%,本文式(27)、式(28)兩種模型的精度更高。其中式(27)的精度最高,但在θ=±7.5°處有一個(gè)馬鞍形的降落。

分析圖19(c)可知,iA1=15 A時(shí),文獻(xiàn)[14]徑向力模型、本文式(27)、式(28)與有限元計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)誤差平均值分別是43.33%、14.05%、25.84%。三種數(shù)學(xué)模型在完全交疊區(qū)的計(jì)算結(jié)果差異最大,因此在此區(qū)間內(nèi)進(jìn)一步進(jìn)行比較,可得:文獻(xiàn)[14]徑向力模型與有限元計(jì)算結(jié)果的最大誤差為75.41%,式(27)和式(28)與有限元計(jì)算結(jié)果的最大誤差均為10.78%。但式(28)在θ=±7.5°處沒(méi)有一個(gè)馬鞍形的降落,因此比式(27)能更好地描述有限元計(jì)算結(jié)果的整體趨勢(shì)。

綜上,在鐵心未磁飽和以及部分磁飽和時(shí),所建考慮磁飽和的徑向力模型能較準(zhǔn)確得描述出徑向力的整體變化規(guī)律,簡(jiǎn)化前的模型精度更高,而簡(jiǎn)化后的模型對(duì)徑向力隨轉(zhuǎn)子位置角變化趨勢(shì)的描述更好。在完全磁飽和時(shí),所建考慮磁飽和的徑向力模型在簡(jiǎn)化前后都能比不考慮磁飽和的徑向力模型精度更好,但簡(jiǎn)化前的模型對(duì)徑向力隨轉(zhuǎn)子位置角整體變化趨勢(shì)的描述卻不如簡(jiǎn)化后,這可能是由于此時(shí)的邊緣氣隙磁密與假定情況有較大差異。

需要說(shuō)明的是,三維有限元分析對(duì)計(jì)算資源的占用以及所需的時(shí)長(zhǎng)都遠(yuǎn)大于二維有限元分析,但對(duì)磁密和徑向力的反映會(huì)更精確,能反映的影響因素也更多(例如漏磁和繞組端部效應(yīng))。

5 結(jié)語(yǔ)

徑向力是無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的重要性能指標(biāo),有效的徑向力數(shù)學(xué)模型可以為電機(jī)本體和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供理論參考?？紤]到無(wú)軸承開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)經(jīng)常在磁飽和狀態(tài)工作,而經(jīng)典的忽略磁飽和影響的徑向力解析模型具有不適用于磁飽和工況的局限性。因此本文以BSRMWR為研究對(duì)象,對(duì)鐵心的磁化曲線進(jìn)行擬合,結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力法推導(dǎo)了考慮磁飽和影響的全周期徑向力模型,并在對(duì)比分析了邊緣氣隙磁密和主氣隙磁密對(duì)徑向力的影響后,對(duì)所建徑向力模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,減小了計(jì)算量。最后利用三維有限元分析驗(yàn)證了所建徑向力模型對(duì)未磁飽和、部分磁飽和以及完全磁飽和工況均適用。該模型的建立可以為電機(jī)運(yùn)行特性分析、本體優(yōu)化以及控制器設(shè)計(jì)提供更準(zhǔn)確的理論參考。在忽略邊緣氣隙磁密后,還可使模型大幅簡(jiǎn)化,降低復(fù)雜度,從而有更高的應(yīng)用價(jià)值。