關于含參量不等式恒成立問題的試題探究
——以2023年新高考I卷第19題為例

湯一鳴 馬兆海 耿鳳杰

(中國地質大學(北京)數(shù)理學院 100083)

1 引言

含參量不等式恒成立問題是不等式、函數(shù)、方程等知識的交叉,對于這類新高考的熱點考題,學生在學習過程中難以形成固定的解題策略,遇到這一類問題時失分嚴重.不等式恒成立問題與函數(shù)最值聯(lián)系緊密,要求學生將化歸、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想融會貫通,學會一題多解．本文以2023年新高考Ⅰ卷第19題為例談談該問題的解題教學策略．

2 追本溯源,真題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調性;

3 撥云見日,解法探究

(1)f′(x)=aex-1,當a≤0時,f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上單調遞減;當a>0時,令f′(x)=0,得x=-lna,在(-∞,-lna)上f′(x)<0,在(-lna,+∞)上f′(x)>0.綜上所述,當a≤0時,f′(x)<0在R上恒成立,f(x)在R上單調遞減;當a>0時,f(x)在(-∞,-lna)上單調遞減,在(-lna,+∞)上單調遞增．

第(2)題給出了3種解法:

點評本題是一道典型的含參量不等式恒成立問題,但是它不具備進行參變量分離的條件,且其中給出的函數(shù)是非常規(guī)函數(shù).注意到第一問求得f(x)的單調性,且不等式的右端不含自變量x,根據(jù)不等號的方向確定我們只需尋求f(x)的最小值,從而直接轉化成求解函數(shù)f(x)的最小值問題.對于此解法,由于復習備考中對恒成立問題已有訓練,因此學生容易想到利用導數(shù)思想求解函數(shù)相關問題,少數(shù)學生在問題轉化過程中出現(xiàn)邏輯混亂,錯誤地去求了函數(shù)的最大值．

點評對于解決含參量不等式恒成立問題,移項構造函數(shù)不失為學生容易接受的方法之一,所以大部分學生能夠考慮到將原問題轉化為求解新構造函數(shù)的最值,使原問題迎刃而解.可是,運用這種方法的弊端在于,在中學數(shù)學知識范圍內,新構造的函數(shù)不一定能順利求得其最值,所以學生可以在嘗試該方法的基礎上判斷是否可行.對于此解法,部分學生得到新構造函數(shù)的最小值后發(fā)現(xiàn)形式不夠簡潔,并不能一眼看出正負,從而產生錯誤的心理暗示,無法繼續(xù)求解．

4 活學活用,變題訓練

變題2已知函數(shù)f(x)=ex-a,證明:當a≤0時,f(x)≥e ln(ex+a).

5 教學建議

(1)重視解題靈感與基本題型相結合

對學生而言,通過恒等變形構造函數(shù)及帶有隱零點的函數(shù)最值問題常常成為解決問題的“攔路虎”．真題解法3和變題2中,利用恒等變形的基礎是熟練運用指數(shù)與對數(shù)運算進行化簡,帶有隱零點的函數(shù)最值問題建立在用導數(shù)方法分析函數(shù)的最值之上．學生無法將這些基本題型遷移到待解決的問題上,解題思路就很難順暢．解題靈感來源于對高中數(shù)學基本題型解題方法的積累,教學環(huán)節(jié)一方面應注重對基礎知識的深度理解,培養(yǎng)學生的領悟力與獨立分析能力,另一方面建議以教材為基礎,以新高考試題為標桿,加強優(yōu)質習題課建設,夯實基礎,將各部分知識系統(tǒng)化處理與融合,激發(fā)學生的學習熱情,推動由“雙基”到能力的升華．

(2)重視數(shù)學思想的本質教學

數(shù)學思想是數(shù)學學科本質的集中體現(xiàn),是數(shù)學最為顯著的特征,是支撐全部數(shù)學大廈的脊梁,是數(shù)學知識發(fā)展的主線,是數(shù)學重要成就的提煉與反映[2]．轉化思想、分類討論思想和函數(shù)與方程思想在含參量不等式恒成立問題中的地位尤為顯著.學生總是將數(shù)學思想當作一種“方法”,形成做題的思維定式.比如在變題1中,學生容易陷入直接證明恒成立的“泥潭”,若換個角度思考,利用反證法,將恒成立作為條件,思路會柳暗花明．作為教師,應從數(shù)學思想角度切入教學,給予學生有價值的落腳點,充分發(fā)揮數(shù)學思想在育人層面上的抓手作用．因此,教學中應該摒棄一些邏輯思維跨度大、技巧性強的題目,避免給學生造成就題論題的困境,否則將不利于其深刻領悟其中蘊含的數(shù)學思想．教師在講授含參量不等式恒成立問題時,可以詳細解讀典型例題,注重凸顯不同例題中數(shù)學思想的本質區(qū)別,給學生時間去領會如何找到問題的突破口,以培養(yǎng)良好的數(shù)學思維品質．

(3)重視一題多解與一題多變

參變量分離法是學生解決含參量不等式恒成立問題的“法寶”．從真題角度上看,不是所有題目都能分離參變量,學生往往只知道方法本身而忽視了方法適用的條件．其實真題的解法多變,但考場上學生往往局限于一題一解,憑借自己的“經驗”解決問題,一旦思路阻斷就無法解題,因此課堂教學不是簡單解決問題的過程,還要教師注重一題多解的教學．高考試題具有穩(wěn)中求變的特點,要求教師經過變題解題教學,幫助學生梳理變題中不變的思路與破題點,挖掘變題的創(chuàng)新之處,培養(yǎng)學生全方位思考的品質．