在比較中感悟運算本質(zhì)的一致性

杭雅琴 蔣明玉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）指出，數(shù)的運算教學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理、掌握算法。感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，提高運算能力和推理能力?！靶?shù)加法和減法”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，如何引導(dǎo)學(xué)生深刻體會整數(shù)加減法與小數(shù)加減法運算本質(zhì)上的一致性呢？教師要深研教材，重組教材，精心設(shè)計，多次對比，引發(fā)學(xué)生深度思考，溝通小數(shù)加減法、整數(shù)加減法在算理和算法上的聯(lián)系，深刻體會運算本質(zhì)的一致性，提升學(xué)生的運算能力和推理能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：同學(xué)們，學(xué)校正在舉行“五星級書香兒童”閱讀比賽。周末，書店正好搞促銷活動，大家紛紛去書店購買自己喜愛的圖書。（出示場景圖和書的價格）你們能據(jù)此提出什么數(shù)學(xué)問題？

生：《青鳥》和《故鄉(xiāng)》一共要多少元？

生：《金銀島》比《昆蟲記》貴多少元？

師：真棒，這些問題你們會列式解答嗎？

生：4.75+3.2。

生：5.6-4.64。

師：仔細(xì)觀察這些式子，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：這些算式是小數(shù)加減法。

師：今天這節(jié)課我們就一起來研究小數(shù)加減法。

（板書：小數(shù)加法和減法）

【思考】結(jié)合全校正在舉行的“五星級書香兒童”閱讀活動，教師創(chuàng)設(shè)真實情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，讓學(xué)生感受到小數(shù)加減法是日常生活中常用的數(shù)學(xué)知識。真實情境拉近了學(xué)生與生活的距離，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活也應(yīng)用于生活，同時也為后面借助元、角、分探究小數(shù)加減法的算理提供情境依據(jù)。

二、分層探究，明晰算理

（一）自主探究小數(shù)加法

1.自主嘗試，鏈接經(jīng)驗

師：買《青鳥》和《故鄉(xiāng)》一共要多少元？

4.75＋3.2等于多少呢？你們會計算嗎？試試看。

生：我是這樣列豎式計算的（如圖1-①）。

生：我也是列豎式計算的（如圖1-②）。

2.猜想驗證，合作探究

師：這兩種豎式計算究竟哪種是正確的呢？請大家試著進(jìn)行探究吧（如圖2）。

小組反饋：

第一組：我們組認(rèn)為①是正確的。我們用的是估算的方法：4.75元大約是5元，3.2元大約是3元，合起來大約是8元。

第二組：我們組認(rèn)為①是正確的。我們是用元、角、分來驗證的：4元7角5分加3元2角是7元9角5分，也就是7.95元（如圖3）。

師：你是把元和元相加、角與角相加、分與分相加。

第三組：我們組也認(rèn)為①是正確的，我們是畫方塊圖驗證的，如圖4所示，把4.75看作4個1、7個0.1和5個0.01，3.2看作3個1和2個0.1。然后4個1和3個1相加，7個0.1和2個0.1相加，5個0.01和0個0.01加，結(jié)果是7.95。

第四組：我們組也認(rèn)為①是正確的，我們是借助計數(shù)器來驗證的：個位上的珠子撥在一起，十分位的珠子撥在一起，百分位上的珠子撥在一起，結(jié)果是7.95（如圖5）。

3.橫向?qū)Ρ?，溝通?lián)系

師：大家用不同的方法驗證了第一種算法是正確的。仔細(xì)觀察這幾種驗證方法，它們有什么相同之處呢？先獨立想一想，再和同桌互相議一議。

生：它們都是把相同單位的數(shù)相加在一起的。

生：它們都把相同數(shù)位對齊了。

師：無論是用“元角分”、方塊圖，還是計數(shù)器的方法，都遵循了一個共同的道理：把相同計數(shù)單位的數(shù)相加。也就是都把相同數(shù)位對齊，相同數(shù)位上的數(shù)直接相加。

4.剖析錯例，明晰算理

師：圖1-②的算法錯在哪里了？

生：相同數(shù)位沒有對齊。

生：要把小數(shù)點對齊，這樣相同數(shù)位才能對齊。

師：是的，在小數(shù)加法中只有小數(shù)點對齊了，才能保證相同數(shù)位對齊，才能把相同數(shù)位上的數(shù)直接相加。

【思考】在教學(xué)時，如果教師只呈現(xiàn)小數(shù)位數(shù)相同的情況，不利于學(xué)生深刻理解小數(shù)加法運算的本質(zhì)。因此，教師可以整合教材中例1和例2的教學(xué)內(nèi)容，在解決購買圖書這一實際問題的過程中，直接呈現(xiàn)小數(shù)位數(shù)不同的小數(shù)加法，引導(dǎo)學(xué)生通過獨立思考、自主探究、猜想驗證，經(jīng)歷探索小數(shù)加法的計算過程。學(xué)生借助已有的知識和經(jīng)驗，在交流、追問、對比中感悟到不同驗證方法背后的相同之處，聚焦核心概念“計數(shù)單位”，凸顯“相同的計數(shù)單位相加”這一結(jié)論。

（二）遷移學(xué)習(xí)小數(shù)減法

師：《金銀島》比《小王子》貴多少元？5.2-4.64又等于多少呢？有了小數(shù)加法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，相信這一題一定難不倒大家，試試看。

師：老師發(fā)現(xiàn)大家有三種不同的算法，一起看，哪種算法正確？

生：我認(rèn)為圖6-①和6-②的算法都是正確的。

師：第②種方法和第①種方法比，在被減數(shù)的末尾添了一個0，請問可以在5.2的后面添上0嗎？為什么？

生：可以，這是利用了小數(shù)的性質(zhì)。

師：對于第③種方法，你有什么想說的嗎？

生：百分位上是0減4，他沒有減，而是直接把4抄下來了，所以是錯的。

師：是的，可別小看百分位上添的這個0，它不僅便于我們看出幾減4，還能更好地體現(xiàn)出相同數(shù)位對齊，提高我們計算的正確率。

（三）加減法對比，溝通聯(lián)系

師：今天我們學(xué)習(xí)了小數(shù)加法和減法，請同學(xué)們比一比，說一說它們有什么相同的地方？

生：無論是小數(shù)加法還是小數(shù)減法，都要把小數(shù)點對齊進(jìn)行計算。

生：小數(shù)點對齊了，相同數(shù)位才能對齊，相同數(shù)位上的數(shù)才能相加減。

生：可以利用小數(shù)的性質(zhì)在小數(shù)的末尾添“0”進(jìn)行計算。

師：說得真好，我們在計算小數(shù)加減法時，都要把小數(shù)點對齊（也就是相同數(shù)位對齊），從低位算起。

【思考】學(xué)生獨立完成后，教師收集學(xué)生中的典型算法引導(dǎo)他們進(jìn)行辨析，通過充分的討論、交流，在添“0”和不添“0”的對比中，及時化解小數(shù)減法計算的易錯點，得出小數(shù)減法的計算方法。接著設(shè)置小數(shù)加法與減法之間的對比環(huán)節(jié)，溝通加減法之間的聯(lián)系，通過對比讓學(xué)生感受小數(shù)加減法運算背后的相通之處：都是把相同數(shù)位上的數(shù)相加減。計算時都要把小數(shù)點對齊，也就是相同數(shù)位對齊。進(jìn)一步理解小數(shù)加減法的算理和算法。

三、練習(xí)鞏固，內(nèi)化延伸

師：大家不僅善于思考，而且善于表達(dá)，真會學(xué)習(xí)。接下來，請大家在下面的圓圈里填上運算符號（如圖7），在需要的地方添上小數(shù)點，使豎式成立。

［學(xué)生獨立完成練習(xí)后，教師收集學(xué)生不同的作品展示（如圖8）］

師：這幾種方法都對嗎？

生：都對。

師（故作疑惑狀）：圖8-①和圖8-②的小數(shù)點都對齊了，圖8-③行嗎？

生：行，不點小數(shù)點就是整數(shù)加法。

師：計算整數(shù)加法時，我們是怎么計算的？

生：計算整數(shù)加法時，我們要末位對齊，從個位加起。

師：再比一比，看看整數(shù)加法和小數(shù)加法有什么相通之處嗎？

生：我覺得整數(shù)的末尾對齊就是小數(shù)的小數(shù)點對齊，它們是一回事，只是整數(shù)的小數(shù)點沒標(biāo)出來。

生：整數(shù)加法和小數(shù)加法都要從最末位算起。

生：都要把相同數(shù)位上的數(shù)相加。

師：看來，無論是整數(shù)加減法的末位對齊，還是小數(shù)加減法的小數(shù)點對齊，都是為了相同數(shù)位對齊，相同計數(shù)單位的數(shù)直接相加減。

【思考】教師巧妙設(shè)計練習(xí)，讓學(xué)生再次經(jīng)歷對比，即整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的對比，通過對比，讓學(xué)生對“相同數(shù)位對齊”有了新的認(rèn)識，感悟到整數(shù)加減法和小數(shù)加減法背后的相通之處，以“計數(shù)單位”為抓手，將整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的計算統(tǒng)一成“相同計數(shù)單位的數(shù)相加減”。算法與算理逐步統(tǒng)一的過程，也正是學(xué)生將小數(shù)加減法納入整數(shù)運算系統(tǒng)、擴充運算知識鏈的過程。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗小學(xué)）