尺規(guī)操作悟規(guī)律 事實(shí)演繹推結(jié)論

申思 顧曉東

【課前思考】

“三角形的三邊關(guān)系”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)第七單元中的教學(xué)內(nèi)容?！叭切稳我鈨蛇呴L(zhǎng)度的和大于第三邊”是三角形邊的重要性質(zhì)，也是本單元的教學(xué)難點(diǎn)。主要引導(dǎo)學(xué)生任意選3根小棒進(jìn)行圍三角形的操作實(shí)驗(yàn)，探索發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)本課教學(xué)給出了新思路，主要體現(xiàn)為兩點(diǎn)：一是利用尺規(guī)作圖方法探索三角形任意兩邊之和大于第三邊，二是從已知的基本數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)說(shuō)明三角形的三邊關(guān)系。尺規(guī)作圖是直觀幾何向歐幾里得幾何過(guò)渡的重要橋梁，利用尺規(guī)作圖選作三角形，能讓學(xué)生充分經(jīng)歷在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀尾僮鲗?shí)踐中逐步感悟、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題的過(guò)程。進(jìn)而再?gòu)囊阎摹皟牲c(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)出發(fā)，通過(guò)演繹推理說(shuō)明數(shù)學(xué)命題的正確性，從而培養(yǎng)學(xué)生初步的推理意識(shí)。在“新課標(biāo)”理念的指導(dǎo)下，我們?cè)谡n前先安排四年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓、使用圓規(guī)，指導(dǎo)學(xué)生掌握尺規(guī)畫三角形的技能，進(jìn)而對(duì)現(xiàn)行蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“三角形的三邊關(guān)系”一課進(jìn)行新的教學(xué)嘗試。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，激活舊知，引出問(wèn)題

1.情境激舊知，引出事實(shí)

師（呈現(xiàn)去體育中心打羽毛球的情境圖，如圖1）：從體育中心大門口到羽毛球館有兩條路，走哪條路最近呢？請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下其中的道理。

生：走下面那條路最近，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短。

2.抽象識(shí)關(guān)系，導(dǎo)入問(wèn)題

師：圖1中除了能看到點(diǎn)和線，還能看出什么？

生：圖1中還有三角形。

生：AC+BC>AB。

師：同學(xué)們用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)了一個(gè)三角形及其三條邊之間的一種關(guān)系。那么，三角形三條邊之間究竟有什么關(guān)系呢？今天這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】教師從現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，提出“選擇路徑”這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并啟發(fā)學(xué)生利用生活原型抽象出幾何元素“點(diǎn)”“線”“形”，進(jìn)而自然引出“關(guān)系”。這樣的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，搭建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，從而更容易找到新知識(shí)的支撐點(diǎn)，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為后續(xù)探究活動(dòng)的展開做好鋪墊。

二、尺規(guī)作圖，分層探索，感悟規(guī)律

1.初探，完成尺規(guī)作圖

任務(wù)一：3條同樣長(zhǎng)的線段，能圍成三角形嗎？

學(xué)生從4條不同長(zhǎng)度的線段中任選一條，用直尺和圓規(guī)畫一畫，再與同學(xué)交流作圖方法。

師（課件動(dòng)畫演示）：為什么這樣找交點(diǎn)？

生：第一條弧表示弧上任意一點(diǎn)到左端點(diǎn)的距離是4 cm，第二條弧表示弧上任意一點(diǎn)到右端點(diǎn)的距離是4 cm。這個(gè)交點(diǎn)到左端點(diǎn)的距離是4 cm，到右端點(diǎn)的距離也是4 cm，所以它是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)。

師：如果選擇其他長(zhǎng)度的線段，也能像這樣畫出三角形嗎？從中你們得出了什么結(jié)論？

生：3條同樣長(zhǎng)的線段，都能圍成三角形。

2.再探，完成尺規(guī)作圖

任務(wù)二：3條不同長(zhǎng)度的線段，能否圍成三角形。

教師要求學(xué)生從圖2中的4條線段中任選3條，用直尺和圓規(guī)畫一畫，再與同學(xué)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生4人小組按序號(hào)每人研究一種選法，然后嘗試尺規(guī)作圖，能圍成的，畫出三角形，并標(biāo)上數(shù)據(jù)；不能圍成的，畫出作圖痕跡，也標(biāo)上數(shù)據(jù)。

教師組織學(xué)生展示作品（如圖3）并解釋：為什么有的能圍成三角形，有的不能圍成呢？

生：圖3-②，3 cm和4 cm這兩條線段太短了，兩條弧沒(méi)有交點(diǎn)，3+4<8，說(shuō)明3條線段不能首尾相接圍成三角形。

生：圖3-③，3 cm和5 cm的線段也短了一點(diǎn)，兩條弧的交點(diǎn)剛好在8 cm的線段上，3+5=8。把上面兩條線段連接起來(lái)，剛好與8 cm的線段重合，也不能圍成三角形。

生：圖3-①，3 cm和4 cm加起來(lái)超過(guò)5 cm了，兩條弧有交點(diǎn)，3+4>5，所以能圍成三角形。圖3-④和圖3-①一樣的情況。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)操作活動(dòng)可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)。尺規(guī)作圖作為學(xué)習(xí)三角形三邊關(guān)系的有效抓手，解決了以前課堂中擺小棒引起的誤差問(wèn)題，使活動(dòng)更加嚴(yán)謹(jǐn)。任務(wù)一中的尺規(guī)作圖畫的是等邊三角形，旨在復(fù)習(xí)已學(xué)尺規(guī)作三角形的方法和原理，并明確3條等長(zhǎng)線段能圍成三角形；任務(wù)二是自由選擇3條不同長(zhǎng)度的線段利用尺規(guī)作三角形，從不同結(jié)果中直觀感悟、體會(huì)“為什么有的能圍成三角形，有的不能圍成三角形”，并且借助數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生更清晰直觀地發(fā)現(xiàn)三角形3條邊之間存在的特殊關(guān)系。

三、由形到數(shù)，多輪觀察，逐步歸納

1.由“一般”入手，觀察、發(fā)現(xiàn)結(jié)論

師：觀察圖形，能圍成三角形的3條線段有什么共同特點(diǎn)？

生：能圍成三角形的3條線段，兩條較短線段長(zhǎng)度的和大于最長(zhǎng)線段。

師：再來(lái)看看不能圍成的兩種情況呢，可以怎么說(shuō)？

生：不能圍成三角形的3條線段，兩條較短線段的長(zhǎng)度和小于或等于最長(zhǎng)線段。

2.回到“特殊”，檢驗(yàn)、拓展結(jié)論

師：回頭看任務(wù)一研究的結(jié)果，這里沒(méi)有較短線段和最長(zhǎng)線段，它符合我們剛才得到的結(jié)論嗎？

生：符合。任意兩條線段長(zhǎng)度的和都大于第三條線段。

師：你這里的“任意”是什么意思？能具體說(shuō)說(shuō)嗎？

生：分別把每條線段看成最長(zhǎng)的線段，都可以得到4+4>4。

師：你能用一句話說(shuō)說(shuō)這3條線段之間有什么關(guān)系嗎？

生：任意兩條線段長(zhǎng)度的和都大于第三條線段。

3.再回“一般”，驗(yàn)證、歸納三邊關(guān)系

師：回過(guò)頭來(lái)看任務(wù)二中圍成的兩個(gè)三角形，它們符合“任意兩條線段長(zhǎng)度的和都大于第三條線段”這個(gè)結(jié)論嗎？

生：符合，3+5>4，4+5>3。

師：通過(guò)剛才的一種關(guān)系，你們很快地得到了另外兩種關(guān)系。這兩種關(guān)系怎么看出來(lái)的？

生：可以通過(guò)計(jì)算得到。

生：5 cm是最長(zhǎng)的線段，最長(zhǎng)的線段加其中一條較短線段，一定大于另一條較短線段。

師：另一個(gè)也是同樣的情況?？磥?lái)“兩條較短線段長(zhǎng)度的和大于最長(zhǎng)的線段”實(shí)際上就是“任意兩條線段長(zhǎng)度的和都大于第三條線段”。

師：再來(lái)看任務(wù)二中不能圍成的情況，你們也能完整地說(shuō)一說(shuō)3條線段之間的關(guān)系嗎？

生：3+4<8，8+4>3。

生：3+8>5，5+8>3。

師：這里也有兩條線段長(zhǎng)度的和大于第三條線段，為什么不能圍成三角形呢？

生：不是任意兩條線段長(zhǎng)度的和大于第三條線段，就不能圍成三角形。

師：這些線段圍成三角形以后，它們就變成了三角形的邊，由此我們可以得出，三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊。

【設(shè)計(jì)意圖】從直觀經(jīng)驗(yàn)到抽象概括，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必由之路?；谇皟纱翁骄炕顒?dòng)，學(xué)生對(duì)3條線段能否圍成三角形有了初步的感悟，這為學(xué)生后續(xù)抽象概括三角形三邊關(guān)系奠定了感性基礎(chǔ)。如何處理“兩條較短線段長(zhǎng)度的和大于最長(zhǎng)的線段”與“任意兩條線段長(zhǎng)度的和都大于第三條線段”之間的關(guān)系，是本節(jié)課的關(guān)鍵。教師從形入手，對(duì)數(shù)進(jìn)行分析、對(duì)比，多次追問(wèn)、制造認(rèn)知沖突，用等邊三角形化解“任意”這一難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在“一般—特殊—一般”之間走個(gè)來(lái)回，經(jīng)歷“思考—交流—驗(yàn)證—?dú)w納”的思維過(guò)程，讓探究活動(dòng)富有層次性和挑戰(zhàn)性，促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，發(fā)展了幾何直觀和抽象概括能力。

四、動(dòng)態(tài)驗(yàn)證，事實(shí)演繹，說(shuō)理推導(dǎo)

1.幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，估算驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)

師：對(duì)于任何一個(gè)三角形，3條邊之間都有這樣的關(guān)系嗎？

（教師出示幾何畫板，任意拉動(dòng)頂點(diǎn)）

師：不管變成哪種三角形，3條邊之間的關(guān)系會(huì)不會(huì)改變呢？

生：不會(huì)。

（學(xué)生舉例，估算驗(yàn)證）

師：三角形是千變?nèi)f化的，但是三角形的三邊關(guān)系是不變的。

2.回歸數(shù)學(xué)基本事實(shí)，演繹推導(dǎo)結(jié)論

師：我們回到課堂剛開始時(shí)的這幅圖（如圖1），根據(jù)AB兩點(diǎn)之間線段最短，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了三角形的3條邊之間的一種關(guān)系。如果換兩個(gè)點(diǎn)觀察，還能發(fā)現(xiàn)什么呢？

生：觀察A、C兩點(diǎn)，AB+BC>AC。

生：觀察B、C兩點(diǎn)，AB+AC>BC。

師：把這3個(gè)關(guān)系合并成一句話，就是我們今天學(xué)習(xí)的“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和都大于第三邊”。

【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)中，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師基于“新課標(biāo)”要求，嘗試讓學(xué)生開展簡(jiǎn)單的演繹推理，推導(dǎo)出結(jié)論。教師結(jié)合課始教學(xué)情境，讓學(xué)生再次從數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，進(jìn)行推理分析，學(xué)生經(jīng)歷演繹說(shuō)理過(guò)程，能感悟推理結(jié)果與上面的研究結(jié)果“殊途同歸”。這樣的設(shè)計(jì)不僅可以聚焦數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展推理意識(shí)，也凸顯了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。

五、優(yōu)化習(xí)題，變式拓展，延伸認(rèn)知

1.初步應(yīng)用，判斷說(shuō)理

師（出示圖4）：哪組線段可以圍成一個(gè)三角形？說(shuō)說(shuō)判斷理由。

生：只有第三組可以圍成三角形，2+5>6。另外兩組最短的兩條邊的長(zhǎng)度和小于或者等于第三邊。

（教師引導(dǎo)學(xué)生想象尺規(guī)作圖結(jié)果，再以課件出示作圖結(jié)果）

師：我們來(lái)看2cm、2cm、5cm這個(gè)情況，如果改變其中一條線段的長(zhǎng)度，你們能使它們圍成一個(gè)三角形嗎？如果要圍成一個(gè)等腰三角形呢？

生：把5 cm變成1 cm或3 cm。

生：把一條2 cm的線段變成5 cm，就能圍成等腰三角形。

2.變式應(yīng)用，明確范圍

教師課件出示習(xí)題（如圖5），學(xué)生逐一判斷說(shuō)理。教師追問(wèn)：第三條邊除了可能是6 cm，還可以是多少？

生：可以是5 cm、7 cm、8 cm……也可以是小數(shù)。

（教師課件動(dòng)畫演示第三條邊的各種可能，得到范圍：4<x<20，如圖6所示）

3.拓展延伸，體會(huì)價(jià)值

師：在一個(gè)三角形中，一條邊的長(zhǎng)度為12 cm，其余兩條邊的長(zhǎng)度和是14 cm。這兩條邊的長(zhǎng)度分別可以是（? ? ）cm和（? ? ?）cm？

生：可能是7 cm和7 cm、6 cm和8 cm，也能取小數(shù)。

師（動(dòng)畫演示整數(shù)和小數(shù)的各種情況）：這些答案中有沒(méi)有隱藏的規(guī)律呢？把三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)會(huì)得到什么圖形？

生：橢圓。

師（課件播放木工畫橢圓的視頻，如圖7）：智慧的木工師傅就是運(yùn)用這樣的知識(shí)畫出橢圓的。

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了“判斷”“變式”“拓展”三個(gè)層次的應(yīng)用，由淺入深、由易到難，不僅考查了學(xué)生對(duì)“任意”兩字的理解，更考查了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，既融入了本課知識(shí)，又結(jié)合了橢圓的實(shí)際應(yīng)用情況，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【課后反思】

一、尺規(guī)操作體驗(yàn)感悟，發(fā)展幾何直觀

數(shù)學(xué)操作活動(dòng)具有直觀性和操作性，能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的重要載體。本節(jié)課一共經(jīng)歷了兩次操作活動(dòng)：第一次是借助尺規(guī)畫一個(gè)等邊三角形，借機(jī)復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的尺規(guī)作圖的方法和原理，便于在后面的探究活動(dòng)中進(jìn)行遷移。第二次是用尺規(guī)判斷不同長(zhǎng)度的線段能不能圍成三角形，由此引出全課的核心環(huán)節(jié)，從特殊到一般，讓學(xué)生初步感知三角形的3條邊之間存在一定的關(guān)系，通過(guò)觀察、猜想、操作、計(jì)算、想象、說(shuō)理等方法分析問(wèn)題，滲透數(shù)形結(jié)合、變中有不變等數(shù)學(xué)思想方法，完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在之后的教學(xué)環(huán)節(jié)中雖然不再進(jìn)行動(dòng)手操作，但是在推理論證、練習(xí)提升中，要么時(shí)刻結(jié)合操作結(jié)果，要么想象或動(dòng)態(tài)演示尺規(guī)作圖結(jié)果，始終關(guān)注學(xué)生的操作體驗(yàn)。學(xué)生經(jīng)歷了完整的幾何操作過(guò)程，能在關(guān)聯(lián)性、整合性、邏輯性的數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)展幾何直觀。

二、基于事實(shí)演繹說(shuō)理，培養(yǎng)推理意識(shí)

推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟。學(xué)習(xí)是一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)新的挑戰(zhàn)、新的問(wèn)題時(shí)，能自主地關(guān)聯(lián)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和已有經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合多元表征尋找最優(yōu)方案，并將新舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié)整合，進(jìn)而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。本課培養(yǎng)推理意識(shí)主要體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，演繹推理說(shuō)明結(jié)論。在學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、操作、說(shuō)理、驗(yàn)證、反思的過(guò)程，并找出三角形三邊關(guān)系的一般性結(jié)論后，回到課堂導(dǎo)入的教學(xué)情境，通過(guò)變換不同的觀察點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形三邊關(guān)系與“兩點(diǎn)之間線段最短”這一基本事實(shí)是相通的。這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)現(xiàn)了直觀操作到抽象推理的思維跨越。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市育英實(shí)驗(yàn)小學(xué) 江蘇省無(wú)錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心）