帶辟謠機(jī)制的SICR 網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型

官永秋，盧友軍，魏嘉銀，余江浩，吳 森，羅莎莎

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和社交軟件的快速發(fā)展使得大量用戶可以通過(guò)社交平臺(tái)發(fā)布、評(píng)論或轉(zhuǎn)發(fā)信息[1]。由于網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)放性以及部分用戶本身知識(shí)有限，難以辨別信息的真實(shí)性與可靠性，會(huì)對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)上未經(jīng)證實(shí)的謠言進(jìn)行傳播[2]。在某些政治或商業(yè)利益的驅(qū)使下，謠言的肆意傳播可能會(huì)對(duì)國(guó)家安全、經(jīng)濟(jì)繁榮、社會(huì)穩(wěn)定造成重大影響。面對(duì)新媒體技術(shù)的突飛猛進(jìn)，高校越來(lái)越多地采用線上授課，而這種方式也面臨一定的網(wǎng)絡(luò)輿情壓力[3]。因此，探索謠言傳播機(jī)制，分析謠言傳播動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，為相關(guān)部門(mén)制定有效的謠言控制策略以減少謠言傳播帶來(lái)的不利影響尤為重要。

考慮到謠言傳播與流行病傳播之間的相似性特征，Daley和Kendal兩人[4]通過(guò)對(duì)流行病與謠言的對(duì)比研究，將種群分為未知者、傳播者和免疫者，提出了DK 謠言傳播模型。此后，Maki 等人[5]改進(jìn)了DK模型，提出了MK 模型。DK 模型假定傳播者與傳播者接觸時(shí)兩者都變?yōu)槊庖哒?，而MK 模型假定只有初始傳播者變?yōu)槊庖哒?。然而，DK 和MK 模型都忽略了社交網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的興起在一定程度上推動(dòng)了謠言傳播的研究。例如，考慮現(xiàn)實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)具有小世界和無(wú)標(biāo)度特性，Zanette等人[6]研究了小世界網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播動(dòng)力學(xué)行為。Moreno等人[7]研究了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播動(dòng)力學(xué)行為。根據(jù)其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度分布的不同，網(wǎng)絡(luò)又可分為均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)。為此，Zhang 等人[8,9]研究了均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。上述研究表明，網(wǎng)絡(luò)的均勻性和非均勻性結(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播具有重要影響。

為更好的理解和控制謠言傳播，更精確地描述謠言傳播動(dòng)力學(xué)，許多學(xué)者考慮了不同謠言傳播機(jī)制[10-14]。例如，Wang 等人[10]通過(guò)引入無(wú)知節(jié)點(diǎn)和擴(kuò)散節(jié)點(diǎn)之間的信任機(jī)制，提出了一種具有信任機(jī)制的謠言傳播模型。Salma 等人[11]考慮了某些人在謠言傳播過(guò)程中并不會(huì)立即成為傳播者，而是處于潛伏狀態(tài)，提出了一個(gè)具有潛伏機(jī)制的謠言傳播模型。Ling 等人[12]考慮謠言內(nèi)容的吸引力和模糊性，建立了具有猶豫機(jī)制的謠言傳播模型。Wang 等人[13]在經(jīng)典謠言傳播模型中考慮了自我凈化機(jī)制，分析了模型中傳播閾值與自我凈化水平的相關(guān)性，研究了自凈水平和遺忘率對(duì)關(guān)鍵指標(biāo)的影響。Zhou 等人[14]在SIR 模型的基礎(chǔ)上引入了和諧機(jī)制，和諧機(jī)制和傳播機(jī)制的本質(zhì)區(qū)別在于，傳播者無(wú)論他們認(rèn)為謠言是真是假都會(huì)傳播，而和諧機(jī)制是需要相信謠言是真的，才能繼續(xù)傳播，否則他們不會(huì)傳播謠言。上述研究表明，不同謠言傳播機(jī)制對(duì)謠言傳播動(dòng)力學(xué)行為具有不同的影響。

受上述研究工作的啟發(fā)，考慮到每個(gè)人的個(gè)人知識(shí)背景差異，在謠言傳播過(guò)程中知道真相的人會(huì)對(duì)謠言進(jìn)行辟謠、種群動(dòng)態(tài)移入和移出以及網(wǎng)絡(luò)的均勻性等特征。本文引入了辟謠機(jī)制，在SIR 模型的基礎(chǔ)上提出了新的具有辟謠機(jī)制的SICR 謠言傳播模型。圍繞該模型的平衡點(diǎn)存在性、基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1 SICR 謠言傳播模型描述

在SICR 謠言傳播模型中，未知者I 表示從未聽(tīng)到過(guò)謠言的人，傳播者S 表示聽(tīng)到謠言并積極傳播謠言的人，辟謠者C 表示知道真相并對(duì)謠言進(jìn)行辟謠的人，免疫者R表示聽(tīng)到謠言但不傳播謠言的人。SICR 謠言傳播模型的傳播規(guī)則如下：

設(shè)I(t)、S(t)、C(t)、R(t)分別表示在t 時(shí)刻未知者、傳播者、辟謠者、免疫者種群密度，N(t)表示t時(shí)刻總的人群密度，并且滿足關(guān)系I(t)＋S(t)＋C(t)＋R(t)＝N (t)。SICR 謠言傳播模型的傳播規(guī)則示意圖如圖1 所示。

圖1 SICR 謠言傳播規(guī)則示意圖

2 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

在謠言傳播中，基本再生數(shù)是判斷謠言是否發(fā)生爆發(fā)性傳播的一個(gè)重要控制參數(shù)。研究系統(tǒng)穩(wěn)定性主要是研究模型在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性。接下來(lái)，首先分析模型的平衡點(diǎn)存在性和基本再生數(shù)。

2.1 不變集與平衡點(diǎn)存在性

由(1)式可知，

通過(guò)常數(shù)變易法可得

對(duì)N(t)求極限，有

可以得到SICR 模型的正向不變集為

其中，

2.2 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)R0是指一個(gè)傳播者在其平均傳播周期內(nèi)所能傳播的平均人數(shù)。若R0＞1，則謠言不會(huì)傳播；若R0＜1，則謠言將爆發(fā)性傳播，R0＝1 是謠言傳播的一個(gè)重要閾值參數(shù)。下面，結(jié)合平衡點(diǎn)E0和下一代矩陣法[15]計(jì)算基本再生數(shù)R0。

其中，

由(7)式和(8)式可得，在平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣分別為

于是，結(jié)合(9)式和(10)式有

由(12)式可知，特征方程的2 個(gè)特征根分別為

根據(jù)下一代矩陣法，可得基本再生數(shù)

3 穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是謠言傳播動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)是分析謠言是否可控的前提。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)于平衡點(diǎn)而言的，接下來(lái)我們利用Routh-Hurwitz 準(zhǔn)則[16]分別分析SICR謠言傳播模型在平衡E0和E1處的穩(wěn)定性。

利用線性化方法，將系統(tǒng)(1)線性化，可得雅可比矩陣為

其中，

定理1 當(dāng)R0＜1 且時(shí)，E0在內(nèi)局部漸近穩(wěn)定。

證明 根據(jù)(15)式可以得到系統(tǒng)(1)在E0處的雅可比矩陣為

由(17)式可知，矩陣J（E0）的特征值分別為

當(dāng)R0＜1 且時(shí)，所有特征值均有負(fù)實(shí)部，根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)可知，SICR 謠言傳播模型在E0處是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 根據(jù)(15)式，可以得到系統(tǒng)(1)在E1處的雅可比矩陣為

根據(jù)特征方程可得

由(29)式可知，其特征方程為

特征方程系數(shù)分別為

由此可得

定理3 當(dāng)R0＜1 時(shí)，E0在內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，反之則不穩(wěn)定。

證明 針對(duì)系統(tǒng)(1)，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)形式如下

對(duì)等式(21)兩邊求導(dǎo)有

其中，

在模型的無(wú)謠言平衡點(diǎn)E0處，可知人群中未知者人群個(gè)體的占比不超過(guò)I0，即

將(24)式帶入(23)式并結(jié)合基本再生數(shù)R0，可以得到

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知，要使系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)E0處全局漸近穩(wěn)定，只需要(26)式小于等于零，即

要使不等式(27)成立，只需R0＜1。對(duì)于(27)式，當(dāng)R0＜1 時(shí)，有dV(t)/dt≤0，當(dāng)且僅當(dāng)S(t)=0 時(shí)，有dV(t)/dt=0。因此，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理，SICR 謠言傳播模型在E0處是全局漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真分析

為驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，在這一節(jié)進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)分析。首先，建立一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=104，平均度k=10 的均勻網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體處于未知者、傳播者、辟謠者和免疫者狀態(tài)之一。設(shè)初始時(shí)刻S(0)=10/N，C(0)=10/N，R(0)=0 和I(0)=1-S(0)-C(0)-R(0)。接下來(lái)分別針對(duì)SICR 模型在兩個(gè)平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性以及狀態(tài)改變參數(shù)、初始種群對(duì)謠言傳播的影響進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

4.1 模型在平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性分析

圖2 給出了SICR 模型在平衡點(diǎn)E0處的局部漸近穩(wěn)定性情況。圖2中的參數(shù)設(shè)置為。由式(14)有R0≈0.421，SICR模型的理論平衡點(diǎn)和仿真平衡點(diǎn)均為E1=(0.17，0，0，0.83)且。結(jié)合圖2和定理1 可知SICR 模型在E0處局部漸近穩(wěn)定。

圖2 SICR 模型在E0 處的局部穩(wěn)定性

圖3 給出了SICR 模型在平衡點(diǎn)E1處的局部漸近穩(wěn)定性情況。圖5 中參數(shù)設(shè)置為。由式(14)有，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算SICR 模型的理論平衡點(diǎn)和仿真平衡點(diǎn)均為。結(jié)合圖3 和定理4 可知SICR模型在E1處局部漸近穩(wěn)定。

圖3 SICR 模型在E1 處的局部穩(wěn)定性

4.2 狀態(tài)改變參數(shù)對(duì)謠言傳播的影響

圖4 不同傳播率下傳播者的人群密度

圖5 不同辟謠率下傳播者的人群密度

圖6 不同遺忘率下的傳播者人群密度

4.3 群體初始值對(duì)謠言傳播的影響

圖7 顯示了不同傳播者初始值對(duì)傳播者人群密度的影響。在圖7中，保持上述參數(shù)不變。初始者密度分別設(shè)置為S(0)=0.01，0.02，0.03，0.04。從圖7 可以看出，初始值越大，傳播者人群密度越大，但對(duì)謠言達(dá)到頂峰和謠言消失的時(shí)間影響不大。

圖7 傳播者初始值對(duì)傳播者人群密度影響

圖8 顯示了不同辟謠者初始值對(duì)傳播者人群密度的影響。在圖8 中，保持上述參數(shù)不變。辟謠者初始密度分別為C(0)=0.01，0.03，0.05，0.07。從圖8 中可以看出，當(dāng)謠言爆發(fā)時(shí)，辟謠者的人群密度越高，傳播者的人群密度越低，說(shuō)明辟謠者對(duì)謠言傳播有抑制作用，但是整體的變化率并不是很大。

圖8 辟謠者初始值對(duì)傳播者人群密度影響

5 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了辟謠機(jī)制對(duì)謠言傳播的影響，在SIR模型的基礎(chǔ)上建立了SICR 謠言傳播模型。計(jì)算了該模型的無(wú)謠言平衡點(diǎn)和謠言盛行平衡點(diǎn)，分析了兩個(gè)平衡點(diǎn)處的局部漸近穩(wěn)定條件以及無(wú)謠言平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性條件。計(jì)算了基本再生數(shù)R0，得出了基本再生數(shù)與平均度有關(guān)。通過(guò)仿真驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性，得出了抑制謠言傳播的有效方式，即在謠言爆發(fā)前可以通過(guò)控制初始人群密度來(lái)抑制謠言的傳播，當(dāng)謠言爆發(fā)后，可以加大政府或者官方媒體的辟謠力度，加強(qiáng)個(gè)人的辨別能力和防范意識(shí)，增加辟謠率，控制傳播率和遺忘率來(lái)抑制謠言傳播。