思維可見的小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)設(shè)計與實施

宋霞娟　王東平

摘 要 促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心使命，也是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。作業(yè)作為教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，既是對課堂知識和內(nèi)容進(jìn)行鞏固和拓展的重要手段，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要載體。以小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)為載體，讓學(xué)生在“畫”數(shù)學(xué)、“說”數(shù)學(xué)、“做”數(shù)學(xué)的過程中，將隱藏的思路顯性化、零散的知識系統(tǒng)化、抽象的模型具體化，可以實現(xiàn)學(xué)生思維可見，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

關(guān)? 鍵? 詞 小學(xué)數(shù)學(xué)；探究性作業(yè)；“畫”數(shù)學(xué)；“說”數(shù)學(xué)；“做”數(shù)學(xué)

引用格式 宋霞娟，王東平.思維可見的小學(xué)數(shù)學(xué)探究性作業(yè)設(shè)計與實施[J].教學(xué)與管理，2024（05）：64-67.

思維可見，就是讓思維看得見。由于思維本身是無法可視的，所以需要借助一系列技術(shù)和活動把學(xué)生的思維方法和思考路徑一一呈現(xiàn)出來，使其清晰可見[1]。研究表明，可見的“思維”更有利于理解和記憶，可以有效提高信息加工及信息傳遞的效能。作業(yè)是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)思維外顯，促進(jìn)學(xué)習(xí)情境和學(xué)習(xí)規(guī)則落實的、可見的重要載體之一?！半p減”政策明確提出，要減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，大力倡導(dǎo)探究性、實踐性作業(yè)[2]。在這一背景下，我們以學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)為出發(fā)點，通過設(shè)計大量探究性作業(yè)，代替原有重復(fù)性、機械性作業(yè)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在自主探究過程中得以外顯化，并讓學(xué)生愛上思考、學(xué)會思考，提升思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)力。

一、“畫”數(shù)學(xué)：通過圖形看見思維

在關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的當(dāng)下，“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”已經(jīng)成為共識，“畫”數(shù)學(xué)便是學(xué)生用自己的語言表達(dá)數(shù)學(xué)的方法之一?！爱嫛睌?shù)學(xué)是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，運用感知覺和表象，將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)量關(guān)系等通過形象的圖示、表格等看得見的形式表示出來。讓學(xué)生動手畫，畫出數(shù)學(xué)，就是耐心地讓學(xué)習(xí)真實發(fā)生，讓思維流淌[3]。

1.“畫”流程，讓解題思路看得見

“畫”流程是指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，把解決問題的步驟畫出來。“畫”的過程，能將疑難問題的文字翻譯成圖，能夠立竿見影地厘清思路，幫助學(xué)生找到解題策略，更為重要的是，能讓隱藏在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)算法、數(shù)學(xué)思想和解決數(shù)學(xué)問題的策略外顯化，有利于學(xué)生審視自己的解題思路、發(fā)現(xiàn)錯誤，同時有利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的薄弱或錯誤之處。例如，在學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”一課后，設(shè)計探究性作業(yè)（如圖1）：（1）自行設(shè)計一道分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的題目，兩個分?jǐn)?shù)最好是最簡分?jǐn)?shù)；（2）探究如何列豎式計算分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)（提示：可以先將分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘整數(shù)，再由整數(shù)乘整數(shù)的積得到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的積）。

“畫”流程是學(xué)生個性化解決問題的方式之一。解決問題的算式也許是相同的，但是算式背后的思考卻各不相同，也就是每位學(xué)生對問題的理解方式各不相同?！爱嫛笨梢宰屆恳晃粚W(xué)生的思考變得與眾不同，讓每一位學(xué)生的思考躍然紙上、呈現(xiàn)畫中，讓思維可見。

2.“畫”模型，讓解題要素看得見

“畫”模型的過程就是從抽象的文字到直觀的圖形的再創(chuàng)造、再演示的過程，如畫線段圖、幾何草圖等。一些數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生難以厘清，借助“畫”模型，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明，同時也可以讓解題要素和學(xué)生思維看得見[4]。例如，在學(xué)習(xí)了“和倍問題”后，設(shè)計了利用線段圖解決問題的探究性作業(yè)（如圖2）。

畫圖，一目了然。從學(xué)生反饋的結(jié)果來看，大部分學(xué)生能把抽象的數(shù)量關(guān)系形象地展現(xiàn)出來，但也存在不少問題：有的學(xué)生在解題過程中忽略了題目中的條件，有的學(xué)生在畫線段圖時對“？”到底標(biāo)在什么地方模糊不清。這時，教師可以有針對性地進(jìn)行輔導(dǎo)和糾正，助推學(xué)生思維發(fā)展。

3.“畫”導(dǎo)圖，讓知識生發(fā)看得見

思維導(dǎo)圖是一種圖形思維工具，通過圖文并重的技巧，使主題關(guān)鍵詞與圖像、顏色等建立記憶鏈接，可以幫助我們厘清思緒，重塑更加有序的知識體系[5]。

將思維導(dǎo)圖引入數(shù)學(xué)探究性作業(yè)設(shè)計中，可以促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，提升注意力和記憶力，同時也能讓學(xué)生的思維清晰可見。例如，在學(xué)習(xí)了“倍數(shù)與因素”單元內(nèi)容后，教師布置用思維導(dǎo)圖進(jìn)行單元知識探究的作業(yè)，要求：8K紙，層次清晰，知識點清楚，字跡工整，畫面美觀。學(xué)生作業(yè)如圖3。

畫思維導(dǎo)圖的探究性作業(yè)，既能梳理因數(shù)與倍數(shù)的相關(guān)知識，又能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)思維清晰可見；既啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，又增強他們的動手能力。

二、“說”數(shù)學(xué)：通過語言表現(xiàn)思維

學(xué)之道，在于辨，在于說，在于悟。語言是思維的外殼，“說”數(shù)學(xué)，就是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來敘述自己的解題思路、思考體會，把自己的想法、思考過程講出來。這一過程，能讓學(xué)生的思維更加清晰、明了，同時也能讓學(xué)生經(jīng)歷探理、說理、辯理、悟理的過程。

1.數(shù)學(xué)小講堂，讓數(shù)學(xué)思維得以展現(xiàn)

會做題是數(shù)學(xué)學(xué)得好的一個方面，而會講題則代表學(xué)生對數(shù)學(xué)題目蘊含的道理有了更深入和透徹的理解，是解決問題的最高境界。開口講數(shù)學(xué)，有利于學(xué)生思維外顯，促進(jìn)師生、生生互相學(xué)習(xí)，共同提高；有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，促使他們多角度、深層次挖掘題目的內(nèi)涵與外延；有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心，增強學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力；有利于提高學(xué)生的思維層次，實現(xiàn)從“會做”到“會講”，再到“講會”。

例如，在學(xué)習(xí)數(shù)正方體個數(shù)時，學(xué)生的易錯點主要是：根據(jù)從某一方向觀察到的平面圖形，無法判斷幾何體的擺法，更無法確定組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)。為了幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)正方體個數(shù)的問題，教師可以設(shè)計“數(shù)正方體”的數(shù)學(xué)小講堂探究性作業(yè)：圖4由幾個小正方體拼搭而成，你會怎么數(shù)？

我們可以一層一層數(shù)或一排一排數(shù)，也可以先數(shù)看得見的塊數(shù)，再數(shù)看不見的塊數(shù)。不管哪一種方法，我們在數(shù)的時候都要按照一定的順序，做到不重復(fù)、不遺漏。在課堂展示過程中，學(xué)生重點介紹了后一種方法，看的見的有2+2+1=5（個），看不見的有2個，所以一共有5+2=7（個）小正方體。讓學(xué)生通過畫的方式表達(dá)自己對概念的理解，使隱性的知識顯性化、可視化；用講的方式把自己的思維過程有序地表達(dá)出來，真正內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.角色扮演，發(fā)現(xiàn)思維漏洞

數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)邏輯的構(gòu)建，是數(shù)學(xué)思維的碰撞，是數(shù)學(xué)規(guī)律的探索。設(shè)計“小醫(yī)生”角色扮演活動，可以讓學(xué)生對自己的錯題進(jìn)行診斷，通過分析病因，發(fā)現(xiàn)錯題原因，并提出解決策略，不僅可以讓學(xué)生的思維可見，更為重要地是通過醫(yī)生診斷活動的開展，有利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維漏洞，不斷完善和修正學(xué)生思維，進(jìn)而實現(xiàn)高階思維的發(fā)展。

在“數(shù)學(xué)門診”部設(shè)有“專家門診”和“普通門診”，看病對象是“病題庫”中的“病題”，這些題目主要是學(xué)生日常作業(yè)、考試中的錯題?！皩＜议T診”重點診治病題庫中有難度的錯題，而“普通門診”主要診治一些容易解決的錯題。“小醫(yī)生”為班級的每一位學(xué)生服務(wù)，學(xué)生自愿選擇去“專家門診”或“普通門診”為各種病題診脈、開方。例如，在學(xué)習(xí)“乘法分配律”后，首先由每位學(xué)生為自己做一個全身體驗，把自己在運用乘法分配律時的錯題找出來，形成病題庫，然后由“小醫(yī)生”坐診，對各種病題“診脈”，并開出“藥方”，實現(xiàn)“話”到病除。以下是一位“小醫(yī)生”的診治過程：67×101-67=（67-67）×101=0。我們不應(yīng)該把67提到前面來，這樣是錯誤的。先看算式，算式非常類似于乘法分配律，那我們就把乘法分配律的公式寫出來：a×b-a×c=a×（b-c）；我們再看題目，題目中有a，有b，但是沒有c，那能不能造出c呢？仔細(xì)看67乘以多少還是等于67呢？顯然是1，所以我們的式子可以改寫成67×101-67×1，這樣我們就能運用乘法分配律得到67×101-67×1=67×（101-1）=6700。

聽明白不一定真的明白，說明白才是真的明白?！靶♂t(yī)生”坐診中不僅需要學(xué)生對“病題”的病因進(jìn)行描述，還需要學(xué)生提出有效的“抗病”策略，讓學(xué)生的思維過程清晰可見，同時也讓學(xué)生真實地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，真正地理解知識、掌握知識。

三、“做”數(shù)學(xué)：通過探究發(fā)展思維

陶行知先生強調(diào)“教學(xué)做合一”，在這一思想指導(dǎo)下，設(shè)計數(shù)學(xué)探究性作業(yè)，可以讓學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)的過程中通過觀察、操作、調(diào)查等方式，提升探究應(yīng)用、問題解決等能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

1.合作探究作業(yè)：促進(jìn)集體思維碰撞

“雙減”政策下，教師在設(shè)計作業(yè)時要突出合作探究，以實際問題為載體，設(shè)計讓學(xué)生自主參與探究的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入研究角色，學(xué)會與他人合作，實現(xiàn)個人思維與他人思維的相互碰撞。例如，我們身邊，有一些特殊的物體，它們的長度、質(zhì)量、面積是很難直接測量出來的，你們想怎樣測量呢？以小組合作的形式設(shè)計測量方案，交流測量方法，通過比一比、稱一稱、量一量、算一算等不同方法巧妙地測量出不同物體的長度、質(zhì)量和面積等，最后把實驗過程和結(jié)果呈現(xiàn)在圖表里（如圖5）。

在探究性作業(yè)的完成過程中，學(xué)生通過集體智慧的相互碰撞和動手實踐，靈活地選擇合理、快捷的測量方法測量并計算，最后用圖表的形式將小組整個思維過程清晰地呈現(xiàn)出來，有效促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

2.跨學(xué)科作業(yè)：綜合運用學(xué)科思維

《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》修訂原則中提出：“要加強課程內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗、社會生活的聯(lián)系，強化學(xué)科內(nèi)知識整合，統(tǒng)籌與設(shè)計綜合課程和跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)?！笨鐚W(xué)科探究性作業(yè)的設(shè)計，可以打通學(xué)科之間的壁壘、聯(lián)通學(xué)科之間的脈絡(luò)，提升學(xué)生綜合運用學(xué)科思維的能力。

例如，在學(xué)習(xí)“用方向和距離描述位置”一課時，要讓學(xué)生學(xué)會利用方向和距離這兩個參數(shù)，確定平面上一個點的位置，會描述簡單的路線圖。由此，在課后綜合美術(shù)、地理等學(xué)科知識，設(shè)計跨學(xué)科探究性任務(wù)：

請你繪制一份從學(xué)?；丶业穆肪€示意圖，注明方向和途中的主要參照物，并將路線圖描述出來（可以利用互聯(lián)網(wǎng)，查出你家附近的地圖，以便更準(zhǔn)確地描述）。

要求：（1）在路線圖上標(biāo)注清楚角度、距離、地點、名稱，要求至少五個地點；（2）用文字準(zhǔn)確描述往返路線；（3）可以選擇購物路線、鍛煉路線、旅游路線，可以是平時行走過的路線，也可是虛擬路線，適當(dāng)裝飾美化。

探究性任務(wù)指向路線圖的繪制與描述這一核心知識點。繪制路線圖，用方向和位置確定位置；描述路線圖，側(cè)重于用數(shù)學(xué)語言，精確地描述位置與路線。從學(xué)生作品中暴露出以下幾點問題：一是圖上方向與實際方向脫離；二是實際路線轉(zhuǎn)換不準(zhǔn)，脫離實際；三是個別同學(xué)描述路徑時，語言還停留在口語表達(dá)，未能使用數(shù)學(xué)語言精確表達(dá)（如圖6）。由此可見，學(xué)生對如何運用方向和距離這兩個參數(shù)來準(zhǔn)確描述具體位置還不夠熟練，有待進(jìn)一步鞏固和強化。

在探究性作業(yè)中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用智慧的頭腦發(fā)現(xiàn)問題，用學(xué)科思維積極思考和解決問題，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，展示了學(xué)生的創(chuàng)造智慧，鍛煉了學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于生活的能力，而且在繪制線路圖和用語言表述的過程中，讓學(xué)生的思維過程清晰可見。

總而言之，指向思維發(fā)展的數(shù)學(xué)探究性作業(yè)，是基于學(xué)生生活實踐、教材內(nèi)容和知識點等多個角度設(shè)計的操作思考性作業(yè)，可以引發(fā)學(xué)生的思考與探究，其最終目的是通過思維可見促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。教師應(yīng)在學(xué)生思維工具和邏輯發(fā)展上重點突破，通過“畫”數(shù)學(xué)、“說”數(shù)學(xué)、“做”數(shù)學(xué)的深化研究，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、深化學(xué)生數(shù)學(xué)思考、強化學(xué)生數(shù)學(xué)語言，加強數(shù)學(xué)表征與實踐，助力學(xué)生從思維可見向思維發(fā)展轉(zhuǎn)變，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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