綜合訓(xùn)練（七）

一、單選題

1. 復(fù)數(shù)[z=2+i1+2i]（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（" " ）

A. [5，0]" " " "B. [0，5]" " " "C. [4，5]" " " "D. [-4，5]

2. 已知[a=3]，[b=2]，[a]與[b]的夾角為[π3]，則[2a-3b=]（" " ）

A. 6" " " "B. [36]" " " "C. [36-32]" " " "D. [32]

3. 若橢圓的中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為[3]，則這個(gè)橢圓的方程為（" " ）

A. [x212+y29=1] B. [x212+y29=1]或[x29+y212=1]

C [x236+y212=1] D. 以上都不對(duì)

4. 某市經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得階段性成效，為深入了解該區(qū)的發(fā)展情況，現(xiàn)對(duì)該區(qū)兩企業(yè)進(jìn)行連續(xù)[11]個(gè)月的調(diào)研，得到兩企業(yè)這[11]個(gè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)折線圖（如圖1所示），下列說(shuō)法正確的是（" " ）

A. 這[11]個(gè)月甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的平均數(shù)沒(méi)超過(guò)[82%]

B. 這[11]個(gè)月的乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)的第[70]百分位數(shù)小于[82%]

C. 這[11]個(gè)月的甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定

D. 在這[11]個(gè)月中任選[2]個(gè)月，則這[2]個(gè)月乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)都小于[82%]的概率為[411]

5. 已知空間三點(diǎn)[A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）]，則下列結(jié)論不正確的是（" " ）

A. [|AB|=|AC|]

B. 點(diǎn)[P（8，2，0）]在平面[ABC]內(nèi)

C. [AB⊥AC]

D. 若[AB=2CD]，則D的坐標(biāo)為[1，-5，-32]

6. 已知某人收集一個(gè)樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，并求得其平均數(shù)為70，方差為75，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90，在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為[X]，方差為[s2]，則（" " ）

A. [Xlt;70，s2gt;75] B. [Xgt;70，s2lt;75]

C. [X=70，s2gt;75] D. [X=70，s2lt;75]

7. 如圖2所示，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[AC⊥BC]，且[BC=3]，[AC=4]，[CC1=3]，點(diǎn)[P]在棱[AA1]上，且三棱錐[A-PBC]的體積為[4]，則直線[BC1]與平面[PBC]所成角的正弦值等于（" " ）

A. [104] B. [64]

C. [105] D. [155]

8. 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：[x24-y212=1]的左、右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右頂點(diǎn).過(guò)F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)M，N分別為△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)心，則[ME-NE]的取值范圍是（" " ）

A. [-43，43] B. [-433，433]

C. [-335，335] D. [-53，53]

二、多選題

9. 已知甲罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，乙罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，4，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件[A=]“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于6”，事件[B=]“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6”，則（" " ）

A. 事件[A]與事件[B]是互斥事件

B. 事件[A]與事件[B]不是對(duì)立事件

C. 事件[A?B]發(fā)生的概率為[1920]

D. 事件[A]與事件[B]是相互獨(dú)立事件

10. 在如圖3所示試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)長(zhǎng)方形框架[ABCD]與[ABEF]全等，[AB=1]，[BC=BE=2]，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子[M，N]分別在長(zhǎng)方形對(duì)角線[AC]與[BF]上移動(dòng)，且[CM=BN=a（0lt;alt;5）]，則下列說(shuō)法正確的是（" " ）

A. [AB⊥MN]

B. [MN]的長(zhǎng)最小等于[2]

C. 當(dāng)[MN]的長(zhǎng)最小時(shí)，平面[MNA]與平面[MNB]所成夾角的余弦值為[13]

D. [VM-ABN=a225-215]

11. 已知函數(shù)[f（x）=|x|-1x-3]， [f（x）]是[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)，則下列命題正確的是（" " ）

A. [f（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]是增函數(shù)

B. 當(dāng)[x∈（-∞，0）]時(shí)，函數(shù)[f（x）]的最大值為[-1]

C. [y=f（x）-f（x）]有[2]個(gè)零點(diǎn)

D. [f（x）-f′（-x）=2]

12. 己知橢圓[C：x24+y2b2=1（0lt;blt;2）]的左，右焦點(diǎn)分別為[F1]，[F2]，圓[M：x2+（y-2）2=1]，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓M上，則下列說(shuō)法正確的有（" " ）

A. 若橢圓C和圓M沒(méi)有交點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是[32，1]

B. 若[b=1]，則[|PQ|]的最大值為4

C. 若存在點(diǎn)P使得[PF1=3PF2]，則[0lt;b≤3]

D. 若存在點(diǎn)Q使得[QF1=3QF2]，則[b=1]

三、填空題

13. 若直線[x+y=1]與直線[2（m+1）x+my-4=0]平行，則這兩條平行線之間的距離是" " " "．

14. 曲線[y=1+4-x2]與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是" " " " ．

15. 數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

甲同學(xué)：中位數(shù)為3，方差為2.8；

乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4，方差為1.04；

丙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；

丁同學(xué)：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是" " " 同學(xué).

16. 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，離心率為[e]，點(diǎn)[P]在橢圓上，連接[PF1]并延長(zhǎng)交[C]于點(diǎn)[Q]，連接[QF2]，若存在點(diǎn)[P]使[PQ=QF2]成立，則[e2]的取值范圍為" " " " " ".

四、解答題

17. 已知公差不為0的等差數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，且[S6=36]，[a1]，[a3]，[a13]成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列[1anan+1]的前[n]項(xiàng)和為[Tn]，若不等式[Tnlt;k4]對(duì)任意的[n∈N*]都成立，求實(shí)數(shù)[k]的取值范圍.

18. 已知在[ΔABC]中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c為三邊，[c=2bcosB]，[C=2π3]．

（1）求角B的大小；

（2）在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求出BC邊上的中線的長(zhǎng)度．

①[ΔABC]的面積為[334]；②[ΔABC]的周長(zhǎng)為[4+23]．

19. 如圖4，在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是直角梯形，[AD⊥AB]，[AB//DC]，[PA⊥]底面[ABCD]，點(diǎn)[E]為棱[PC]的中點(diǎn).[AD=DC=AP=2AB=2].

[1]證明：[BE//]平面[PAD].

[2]若[F]為棱[PC]上一點(diǎn)，滿足[BF⊥AC]，求二面角[F-AD-C]的余弦值.

20. 如圖5，已知橢圓[C1：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]與等軸雙曲線[C2]共頂點(diǎn)[（±22，0）]，過(guò)橢圓[C1]上一點(diǎn)P（2，－1）作兩直線與橢圓[C1]相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點(diǎn)為M，N.

（1）求直線AB的斜率；

（2）若直線AB與雙曲線[C2]的左，右兩支分別交于Q，R，求[NQNR]的取值范圍.

參考答案與解析

一、單選題

1.【答案】B

【解析】由題意得z=（2+i）（1+2i）=2+4i+i-2=5i，

所以復(fù)數(shù)[z]在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是[0，5].故本題選B.

2.【答案】A

【解析】[a?b=3×2×cosπ3=3]，

[2a-3b=（2a-3b）2=4a2-12a?b+9b2=][4×9-12×3+9×4=6]，故本題選A.

3．【答案】B

【解析】由題意得，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在[x]軸上，設(shè)橢圓方程為：[x2a2+y2b2=1]，則[b=3c]，[a-c=3]，

所以[a=b2+c2=4c2=2c]，[c=3]，[a=23]，[b=3]，

所以橢圓方程為：[x212+y29=1]，

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在[y]軸上時(shí)，同理可得：[x29+y212=1]，故本題選B.

4．【答案】C

【解析】顯然甲企業(yè)大部分月份位于[82]%以上，故利潤(rùn)增長(zhǎng)均數(shù)大于[82]%，則A不正確；

乙企業(yè)潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)按從小到大排列分別是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10，

又因?yàn)閇11×70]%=7.7，所以從小到大排列的第8個(gè)月份，即7月份是第70百分位，從折線圖可知，7月份利潤(rùn)增長(zhǎng)均數(shù)大于[82]%，故B錯(cuò)誤；

觀察折現(xiàn)圖發(fā)現(xiàn)甲企業(yè)的數(shù)據(jù)更集中，所以甲企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)較乙企業(yè)更穩(wěn)定，故C正確；

[P]（2個(gè)月乙企業(yè)月利潤(rùn)增長(zhǎng)指數(shù)都小于82%）[=C26C211=311]，故D錯(cuò)誤.故本題選C.

5．【答案】D

【解析】因?yàn)閇|AB|=62+（-2）2+（-3）2=7]，[|AC|=（-2）2+32+（-6）2=7]，故A正確；

因?yàn)閇AB?AC=（6，-2，-3）?（-2，3，-6）=-12-6+18=0]，所以[AB⊥AC]，故C正確;

因?yàn)閇AB=（6，-2，-3），AC=（-2，3，-6）]，[AP=（4，1，-9）]，所以[AP=AB+AC=（4，1，-9）]，所以點(diǎn)[P（8，2，0）]在平面[ABC]內(nèi)，故B正確；

因?yàn)閇AB=（6，-2，-3），2CD=2（-1，-9，-92）=（-2，-18，-9）]，顯然不成立，故D錯(cuò)誤.

故本題選D.

6．【答案】D

【解析】因?yàn)閇80+70=60+90]，因此平均數(shù)不變，即[X=70]，設(shè)其他48個(gè)數(shù)據(jù)依次為[a1，a2，…，a48]，

因此[a1-702+a2-702+…+a48-702+60-702+90-702=50×75]，

[a1-702+a2-702+…+a48-702+80-702+70-702=50×s2]，

則[50s2-75=100-400-100=-400lt;0]，

所以[s2lt;75]，故本題選D．

7．【答案】C

【解析】由已知條件得[AA1⊥]底面[ABC]，且[AC⊥BC]，

所以[VA-PBC=VP-ABC=13×S△ABC×PA=13×12×3×4×PA=4]，解得[PA=2].

以點(diǎn)[C]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[CB]、[CA]、[CC1]所在直線分別為[x]、[y]、[z]軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則[C0，0，0]、[P0，4，2]、[B3，0，0]、[C10，0，3]，

則[CB=3，0，0]，[CP=0，4，2]，[BC1=-3，0，3].

設(shè)平面[BCP]的法向量為[n=x，y，z]，

則由[n?CB=0，n?CP=0，]可得[3x=0，4y+2z=0，]即[x=0，2y+z=0，]得[x=0]，令[y=1]，得[z=-2]，

所以[n=0，1，-2]為平面[BCP]的一個(gè)法向量.

設(shè)直線[BC1]與平面[PBC]所成的角為[θ]，

則[sinθ=coslt;n，BC1gt;=n?BC1n?BC1]

[=-6-32+32×12+-22=105].

故本題選C.

8．【答案】B

【解析】設(shè)[AF1，AF2，F(xiàn)1F2]上的切點(diǎn)分別為H、I、J，

則[|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|F2I|].

由[|AF1|-|AF2|=2a]，得[（|AH|+|HF1|）-（|AI|+|IF2|）=2a]，

則[|HF1|-|IF2|=2a]，即[|JF1|-|JF2|=2a].

設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為[x0]，由[JM⊥x]軸得點(diǎn)J的橫坐標(biāo)也為[x0]，則[c+x0-c-x0=2a]，

得[x0=a]，則E為直線[JM]與x軸的交點(diǎn)，即J與E重合.

同理可得[△BF1F2]的內(nèi)心在直線[JM]上，

設(shè)直線[AB]的領(lǐng)斜角為[θ]，則[∠EF2M=π-θ2，∠EF2N=θ2]，

[|ME|-|NE|=（c-a）tanπ-θ2-（c-a）tanθ2]

[=（c-a）2cosθsinθ=（c-a）2tanθ]，

當(dāng)[θ=π2]時(shí)，[|ME|-|NE|=0]；

當(dāng)[θ≠π2]時(shí)，由題意知，[a=2，c=4，ba=3]，

因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，

則[π3lt;θlt;2π3]，且[θ≠π2]，所以[tanθlt;-3]或[tanθgt;3]，

所以[-33lt;1tanθlt;33]且[1tanθ≠0]，

則[|ME|-|NE|=4tanθ∈-433，0?0，433]，

綜上所述，[|ME|-|NE|=4tanθ∈-433，433].

故本題選B.

二、多選題

9．【答案】ABC

【解析】甲罐中小球編號(hào)在前，乙罐中小球編號(hào)在后，表示一個(gè)基本事件，

事件[A]含有的基本事件有：16，25，26，34，35，36，44，45，46，54，55，56，共12個(gè)，事件[B]含有的基本事件有：[11，14，15，21，31，41，51]，共7個(gè)，兩者不可能同時(shí)發(fā)生，它們互斥，則A正確；

基本事件[15]發(fā)生時(shí)，事件[A，B]均不發(fā)生，不對(duì)立，則B正確；

事件[A?B]中含有19個(gè)基本事件，由以上分析知共有基本事件20個(gè)，因此[P（A?B）=1920]，則C正確；

[P（A）=1220=35]，[P（B）=720]，[P（AB）=0][≠P（A）P（B）]，[A，B]不相互獨(dú)立，所以D錯(cuò)．

故本題選ABC．

10．【答案】ABC

【解析】由題意可知：[BA，BC，BE]兩兩互相垂直，以點(diǎn)[B]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[BA，BE，BC]為[x，y，z]軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

[可得M5a5，0，2-25a5，N5a5，25a5，0]，

[∴MN=0，25a5，25a5-2，BA=1，0，0]，

[∴AB?MN=0，∴AB⊥MN]，[∴]選項(xiàng)[A]正確；

又[MN=4a25+2-25a52=85a2-855a+4=85a-522+2]，

[∴]當(dāng)[a=52]時(shí)，[MNmin=2]，[∴]選項(xiàng)[B]正確；

當(dāng)[MN]最小時(shí)，[a=52，M，N]分別是[AC，BF]的中點(diǎn)，

取[MN]中點(diǎn)[K]，連接[AK]和[BK]，

[∵AM=AN，BM=BN]，[∴AK⊥MN，BK⊥MN]，

[∴∠AKB]是二面角[A-MN-B]的平面角.

[△BMN]中，[BM=BN=52，MN=2]，

可得[BK=BM2-14MN2=32]，同理可得[AK=32]，

由余弦定理可得[cos∠AKB=34+34-12×32×32=13]，[∴]選項(xiàng)[C]正確；

[VM-ABN=13×S△ABN×h=a6×2552-25a5=25a-2a215]，故選項(xiàng)[D]錯(cuò)誤.

[∴]本題選[ABC].

11．【答案】AC

【解析】當(dāng)[xgt;0]時(shí)，[f（x）=x-1x-3]， [f（x）=1+1x2gt;0]，

所以[f（x）]在區(qū)間[（0，+∞）]是增函數(shù)，則A選項(xiàng)正確，

當(dāng)[xlt;0]時(shí)， [f（x）=-x-1x-3=（-x）+1（-x）-3≥-1]，

當(dāng)且僅當(dāng)[x=-1]時(shí)取最小值，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

當(dāng)[xgt;0]時(shí)，[f（x）-f（x）=x3-4x2-x-1x2]，

令[g（x）=x3-4x2-x-1]，則[g（x）=3x2-8x-1]，

由于[Δgt;0]，[g（0）=-1lt;0]，

所以[g（x）]在[（0，+∞）]上先減后增，且[g（0）=-1lt;0]，

所以[g（x）]在[（0，+∞）]內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)[xlt;0]時(shí)，[f（x）-f（x）=x3-2x2-x-1x2]，

令[h（x）=x3-2x2-x-1]，則[h（x）=3x2-4x-1]，

由于[Δgt;0]，[h（0）=-1lt;0]，

所以[h（x）]在[（-∞，0）]上先增后減，且[h（0）=-1lt;0]，

所以[h（x）]在[（-∞，0）]內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知，[y=f（x）-f（x）]有[2]個(gè)零點(diǎn)，則C選項(xiàng)正確，

當(dāng)[xgt;0]時(shí)，[f（x）=1+1x2]，[f（x）-f（-x）=0]，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故本題選AC.

12．【答案】ACD

【解析】由橢圓[C]中[a=2]，圓[M]中圓心[M（0，2）]，半徑為1.

對(duì)于A：由于[0lt;blt;2]，由圖知：當(dāng)[0lt;blt;1]時(shí)橢圓C和圓M沒(méi)有交點(diǎn)，

此時(shí)離心率[e=1-（ba）2=1-b24∈32，1]，則A對(duì)；

對(duì)于B：當(dāng)[b=1]時(shí)，令[P（x，y）]，則[|MP|=x2+（y-2）2]，而[x2=4（1-y2）]，所以[|MP|=-3（y+23）2+283]，

又[-1≤y≤1]，故[|MP|max=283]，

所以[|PQ|]的最大值為[283+1]，則B錯(cuò)；

對(duì)于C：由[PF1+PF2=2a=4]，若[PF1=3PF2]，則[PF1=3，PF2=1]，

由[F1（-4-b2，0），F(xiàn)2（4-b2，0）]，令[P（x，y）]，且[y2=b2（1-x24）]，

則[x+4-b22+y2=9，x-4-b22+y2=1，]

所以[x=24-b2∈（0，2]]，則[b2≤3]，且[0lt;blt;2]，

故[0lt;b≤3]，則C對(duì)；

對(duì)于D：令[Q（x，y）]，若[QF1=3QF2]，

所以[（x+4-b2）2+y2=3[（x-4-b2）2+y2]]，

則[x2-44-b2x+（4-b2）+y2=0]，

所以[（x-24-b2）2+y2=3（4-b2）]，

則[Q]軌跡是圓心為[（24-b2，0）]，半徑為[3（4-b2）]的圓，

而[M（0，2）]與[（24-b2，0）]的距離為[25-b2]，要使點(diǎn)Q存在，則[|3（4-b2）-1|≤25-b2≤3（4-b2）+1]，

可得[（b2-1）2≤0]，且[0lt;blt;2]，即[b=1]，則D對(duì)；

故本題選ACD.

三、填空題

13．【答案】[322].

【解析】因?yàn)橹本€[x+y=1]與直線[2（m+1）x+my-4=0]平行，則[2（m+1）1=m1≠-4-1]，解得[m=-2]，

故直線[x+y=1]與直線[2（m+1）x+my-4=0]即為直線[x+y-1=0]與直線[x+y+2=0]，

則這兩條平行線之間的距離為[|2+1|2=322].

14．【答案】[512，34]

【解析】直線l過(guò)點(diǎn)A（2，4），又曲線[y=1+4-x2]的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離d=r，

即[3-2kk2+1=2]，解得[k=512].

當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B（－2，1）時(shí)，直線l的斜率為[4-12--2=34]，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[512，34.]

15．【答案】乙

【解析】對(duì)于甲同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，

平均數(shù)為：[x=151+2+3+3+6=3]，方差為[S2=151-32+2-32+3-32+3-32+6-32=2.8]，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；

對(duì)于乙同學(xué)，若平均數(shù)為3.4，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差[S2gt;15（6-3.4）2=1.352gt;1.04]，所以當(dāng)平均數(shù)為3.4，方差為1.04時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；

對(duì)于丙同學(xué)，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6；

對(duì)于丁同學(xué)，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為[2，2，2，3，6]時(shí)，滿足平均數(shù)為[3]，中位數(shù)為[2]，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)[6].

綜上可知，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是乙同學(xué).

16．【答案】[82-11，1]

【解析】設(shè)[QF1=m，PF1=n]，則[QF2=2a-m].顯然當(dāng)[P]靠近右頂點(diǎn)時(shí)，[PQgt;QF2]，

所以存在點(diǎn)[P]使[PQ=QF2]等價(jià)于[PQ-QF2min≤0，PQ-QF2=2m+n-2a]，

在[△PF1F2]中，由余弦定理得[PF22=PF12+F1F22-2PF1?F1F2?cosθ]，

即[2a-n2=n2+4c2-2n?2c?cosθ]，解得[n=b2a-ccosθ]，

同理可得[m=b2a+ccosθ]，所以[1m+1n=2ab2]，

所以[2m+n=b22a2m+n1m+1n=b22a3+nm+2mn≥3+22b22a]，

所以[（2m+n-2a）min=（2+1）2b22a-2a]，當(dāng)且僅當(dāng)[n=2m]時(shí)等號(hào)成立.

由[（2+1）2b22a-2a≤0]得[b2a2≤12-82]，所以[82-11≤e2lt;1].

四、解答題

17．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列[an]公差為[d]，

由題意得[6a1+15d=36，（a1+2d）2=a1（a1+12d），] [d≠0]，解得[a1=1，d=2，]所以[an=1+2（n-1）=2n-1]；

（2）由（1）[1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）]，

所以[Tn=12（1-13）+12（13-15）+…+12（12n-1-12n+1）=12（1-12n+1）]，

易知[Tn]是遞增的且[Tnlt;12]，不等式[Tnlt;k4]對(duì)任意的[n∈N*]都成立，則[k4≥12]，所以[k≥2]．

18.【解析】（1）∵[c=2bcosB]，由正弦定理可得[sinC=2sinBcosB]，

∴[sin2B=sin2π3=32]，∵[C=2π3]，

∴[B∈0，π3]，[2B∈0，2π3]，∴[2B=π3]，解得[B=π6]．

（2）若選擇①，由（1）可得[A=π6]，即[a=b]，

∴[S△ABC=12absinC=12a2?32=334]，解得[a=3]，

由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：

[b2+a22-2?b?a2?cos2π3=3+34+3×32=212]．

若選擇②：由（1）可得[A=π6]，設(shè)[△ABC]的外接圓半徑為R，由正弦定理可得[a=b=2Rsinπ6=R]，[c=2Rsin2π3=3R]，

∴周長(zhǎng)[a+b+c=2R+3R=4+23]，解得[R=2]，

∴[a=2]，[c=23]，

由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：[232+12-2×23×1×cosπ6=7].

19．【解析】[1]證明：在[PD]上取中點(diǎn)[G]，連接[AG]，[EG]，

[∵][G]和[E]分別為[PD]和[PC]的中點(diǎn)，

[∴][EG][//][CD]，且[EG=12CD]，

又[∵]底面[ABCD]是直角梯形，[CD=2AB]，

[∴][AB][//][CD]，且[AB=12CD]，

[∴][AB//GE]且[AB=GE].即四邊形[ABEG]為平行四邊形，

[∴][AG//BE].

[∵][AG?]平面[PAD]，[BE?]平面[PAD]，[∴][BE//]平面[PAD].

[2]以[A]為原點(diǎn)，以[AB]所在直線為[x]軸，[AD]所在直線為[y]軸，[AP]所在直線為[z]軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得[B1，0，0]，[C2，2，0]，[D0，2，0]，[P0，0，2]，[E1，1，1]，

[BC=1，2，0]，[CP=-2，-2，2]， [AC=2，2，0].

由[F]為棱[PC]上一點(diǎn)，

設(shè)[CF=λCP=-2λ，-2λ，2λ][0≤λ≤1]，

所以[BF=BC+CF=1-2λ，2-2λ，2λ][0≤λ≤1]，

由[BF⊥AC]，得[BF?AC=21-2λ+22-2λ=0]，

解得[λ=34]，即[BF=-12，12，32， ][AF=AB+BF=1，0，0+-12，12，32=12，12，32]，

設(shè)平面[FAD]的法向量為[n=a，b，c]，

由[n?AF=0，n?AD=0，]可得[12a+12b+32c=0，2b=0，]

所以[b=0，a+3c=0，]令[c=1]，則[a=-3]，則[n=-3，0，1]，

取平面[ADC]的法向量為[m=0，0，1]，

則二面角[F-AD-C]的平面角[α]滿足：

[cosα=m?nm?n=110=1010]，

故二面角[F-AD-C]的余弦值為[1010].

20．【解析】（1）橢圓[C1：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）]，頂點(diǎn)[（±22，0）]，可得[a=22]，

又因?yàn)辄c(diǎn)[P（2，-1）]在橢圓[C1]上，

即[48+1b2=1]，得[b2=2]，所以橢圓的方程為[x28+y22=1]，

設(shè)等軸雙曲線為[C2]：[x2-y2=m2]，[mgt;0]，

由題意可知等軸雙曲線[C2]的頂點(diǎn)為[（±22，0）]，可得[m2=8]，

所以雙曲線[C2]的方程為：[x2-y2=8]，

因?yàn)橹本€PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，且[A]，[B]是不同的點(diǎn)，

所以直線PA、PB的斜率都存在，

設(shè)直線[PA]方程為[y=k（x-2）-1]，可得[y=k（x-2）-1，x28+y22=1，]

整理得[（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k-4=0]，

[A]和[P]點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程兩個(gè)根，

可得[xA+xP=16k2+8k1+4k2]，

因?yàn)閇xP=2]，所以[xA=8k2+8k-21+4k2]，

代入直線[PA]可得[yA=4k2-4k-11+4k2]，

即[A（8k2+8k-21+4k2，4k2-4k-11+4k2）]，

又因?yàn)橹本€PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，

將[k]換成[-k]，可得[B（8k2-8k-21+4k2，4k2+4k-11+4k2）]，

可得[kAB=-12]，所以直線AB的斜率為[-12].

（2）由（1）可設(shè)直線[AB]的方程：[y=-12x+n]，又因?yàn)橹本€AB與x，y軸正半軸相交，則[ngt;0]，聯(lián)立方程組[y=-12x+n，x28+y22=1，]整理得[2x2-4nx+4n2-8=0]，[Δ=16n2-8（4n2-8）gt;0]，解得[0lt;nlt;2].

聯(lián)立直線[AB]和雙曲線方程得[y=-12x+n（0lt;nlt;2），x2-y2=8，]

消去[y]得[3x2+4nx-4n2-32=0]，

由求根公式可得[x=-2n±4n2+63]，

所以[NQNR=xQxR=n+2n2+6-n+2n2+6=21+6n2+121+6n2-1=1+221+6n2-1]，又因?yàn)閇0lt;n2lt;4]，所以[6n2gt;32]，則[21+6n2-1gt;10-1]，即[0lt;221+6n2-1lt;210+29]，所以[1lt;NQNRlt;11+2109]，所以[NQNR]的取值范圍為[（1，11+2109）].