怎樣進(jìn)行三角恒等變換

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.解答三角函數(shù)問題都要通過三角恒等變換來化簡函數(shù)式，所以掌握一些進(jìn)行三角函數(shù)恒等變換的技巧是很有必要的.那么進(jìn)行三角恒等變換有哪些技巧呢？

一、變換角

當(dāng)題目中的所求角和已知角不相同時(shí)，為了方便計(jì)算，我們需要將其統(tǒng)一.首先要建立所求角和已知角之間的聯(lián)系，使二者為“和”“差”“倍”“半”等關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式、倍角公式、輔助角公式等進(jìn)行恒等變換.在變換角的過程中，要盡量將已知角向所求角靠攏，這樣便于明確解題的目標(biāo).

例1.已知[cosx+π4=35]，其中[3π4lt;xlt;7π4]，求[sin2x+2sin2x1-tanx]的值.

解：因?yàn)閇3π4lt;xlt;7π4]，所以[πl(wèi)t;x+π4lt;2π]，

又[cosx+π4=35]，所以[sinx+π4=-45]，

則[sinx=sinx+π4-π4=sinx+π4cosπ4-cosx+π4sinπ4=-7210]，

于是[cosx=-210]，[tanx=sinxcosx=7]，

故[sin2x+2sin2x1-tanx=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=-2875].

已知角為[x+π4]，所求角是[x]和[2x]，需將角進(jìn)行變換，使得[x=x+π4-π4]，這樣便建立了已知角與所求角之間的聯(lián)系，直接根據(jù)兩角差的正弦公式和二倍角公式進(jìn)行恒等變換即可解題.

例2.設(shè)[0°lt;αlt;90°]，若[sin75°+2α=-35]，求[sin15°+α?sin75°-α]的值.

解：因?yàn)閇0°lt;αlt;90°]，[sin75°+2α=-35lt;0]，

所以[180°lt;75°+2αlt;255°]，所以[cos75°+2α=-45]，

那么[sin15°+α?sin75°-α=sin15°+α?cos15°+α]

[=12sin30°+2α=12sin75°+2α-45°]

[=12sin75°+2α?cos45°-cos75°+2α?sin45°]

[=12×-35×22+45×22=220].

[15°]、[75°]均為非特殊角，我們無法求得其值，且題目中涉及了四個(gè)不同的角，需通過角的變換將[15°]、[75°]化為特殊角，并將角統(tǒng)一.于是利用誘導(dǎo)公式將[sin75°-α]化為[cos15°+α]，將[30°+2α]拆分為[75°+2α-45°]，再運(yùn)用兩角和的正弦公式和二倍角公式求解.

二、變換函數(shù)名

有些三角函數(shù)問題中涉及多個(gè)函數(shù)名，這就給我們解題帶來很大的阻礙，需通過變換將函數(shù)名統(tǒng)一.一般可以用[tanα=sinαcosα]進(jìn)行弦切互化，也可以借助同角的三角函數(shù)關(guān)系式[sin2α+cos2α=1]和誘導(dǎo)公式進(jìn)行正余弦互化.

例3.若[3sinα-sinβ=10]，[α+β=π2]，求[sinα]和[cos2β]的值.

解：因?yàn)閇3sinα-sinβ=10]，[α+β=π2]，

所以[3sinα-cosα=10]，

將上式兩邊平方得[8sin2α-6sinαcosα=9]，

可得[8sin2α-6sinαcosα=8sin2α-6sinαcosαsin2α+cos2α]

[=8tan2α-6tanαtan2α+1=9]，

即[tan2α+6tanα+9=0]，解得[tanα=-3]，

所以[sinα=31010]，[cosα=-1010]，

則[cos2β=cos2π2-α=-cos2α=sin2α-cos2α=45].

已知關(guān)系式中含有正弦函數(shù)式、余弦函數(shù)式，于是先將其兩邊平方，再利用[sin2α+cos2α=1]化簡，接著根據(jù)[tanα=sinαcosα]將函數(shù)名化為正切，如此便能化異為同，順利求得問題的答案.

通過分析可以發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行三角恒等變換，需重點(diǎn)關(guān)注題目中涉及的角、函數(shù)名，明晰其中的差異和共同之處，然后選取合適的三角函數(shù)公式來進(jìn)行恒等變換.