例談解答三角形中線段的比值問題的幾種方法

三角形問題經常出現(xiàn)在高中幾何試題中.此類問題常與解三角形、三角函數、函數、向量、圓錐曲線、立體幾何等知識相結合.因而，解答三角形中線段的比值問題，可以從不同的知識點入手，來尋找解題的思路.下面結合一道題，談一談解答三角形中線段的比值問題的方法.

例題：已知點[D]是[ΔABC]的一條邊[BC]上的一點，若[sinB=55]，[cos∠ADC=55，] [AB=2AD=2AC]，求[BDDC]的值.

方法一：利用正余弦定理

正弦定理：[asinA=bsinB=csinC=2R]，以及余弦定理：[cosA=b2+c2-a22bc]是解答三角形問題的常用工具.在解答三角形中線段的比值問題時，要根據三角形的邊角關系，靈活運用正余弦定理進行邊角互化，從而順利求得三角形中線段的比例.

解：因為[AD=AC]，[所以∠ADC=∠ACD]，所以[cos∠ADC=cos∠ACD=55].因為[sinB=cos∠ACD=55]，

所以[∠B+∠ACB=90°]，則[∠BAC=90°].

所以[BC=AB2+AC2=5AC=5AD].

因為[sin∠BAD=sin（π-∠B-∠BDA）=sin（∠B+∠BDA）=35]，[cos∠BAD=45].

所以[BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cos∠BAD=5AD2-165AD2=95AD2]，即[BD=355AD]，所以[CD=BC-BD=5AD-355AD=255AD]，所以[BDDC=32].

在利用正余弦定理解題時，要明確有關三角形的隱含條件：（1）三角形的三個內角和為180O；（2）大角對大邊，小角對小邊.

方法二：向量法

向量法是解答平面幾何問題的重要方法.在解答三角形中線段的比值問題時，要先給三角形的三條邊賦予方向，構造出向量；然后利用三角形法則，向量的加法、減法、數乘運算法則等來求得問題的答案.

解：因為[AD=AC]，[所以∠ADC=∠ACD]，所以[cos∠ADC=cos∠ACD=55].因為[|AC|=|DC-DA|]，所以[|AC|2=|DC|2-2|DA|?|DC|?cos∠ADC+|DA|2]，得[DCAC=255].

又因為[|AC|=|AD|]，所以[DCAD=255].易知[|AD|=|BD-BA|]，兩邊平方可得[BDAD=355]，所以[BDDC=32].

在運用向量法解答三角形中線段的比值問題時，要選擇合理基底，通常以三角形的三條邊所在的向量為基底，用基底的模來表示要求的線段及其比值.

方法三：建系法

在解答三角形中線段的比值問題時，我們也可以考慮運用建系法，以三角形的一個頂點、一條邊上的中點為坐標原點，以三角形的一條邊所在的直線、中垂線、高線等為坐標軸來建立平面直角坐標系，即可通過向量的坐標運算求得線段的比值.

解：因為[AD=AC]，[所以∠ADC=∠ACD]，所以[cos∠ADC=cos∠ACD=55].因為[sinB=cos∠ACD=55]，所以[∠B+∠ACB=90°]，則[∠BAC=90°].

以點[A]為原點、[AB]所在的直線為[x]軸，AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系.

設[AC=1]，則[A（0，0）、B（2，0）、C（0，1）]，可得直線[BC]的方程為[y=-12x+1].

因為點[D]在直線[BC]上，所以可設點[D（x0，y0）]，則[y0=-12x0+1]①.

由題意可得[AD=AC=1]，則[AD=x02+y02=1]②.

由①②得[x0=45]，則[y0=-12×45+1=35]，則[D（45，35）]，

則[BD=355]，[CD=255]，所以[BDDC=32].

由題意得[∠BAC=90°]，于是以點[A]為原點、[AB]所在的直線為[x]軸，建立平面直角坐標系.

上述三種方法都是解答三角形中線段的比值問題的常用方法.無論運用哪種方法解答此類問題，都需要注意：（1）靈活運用三角形的性質、定理；（2）選用合適的方法求得有關線段以及比值的表達式；（3）結合題目中的已知條件對表達式進行化簡.