如何運(yùn)用函數(shù)的凹凸性解題

在高中數(shù)學(xué)教材中，關(guān)于函數(shù)的凹凸性沒有作具體的介紹，大多是以練習(xí)題的形式一筆帶過，然而很多高考試題卻考查了這一性質(zhì)的應(yīng)用，這充分體現(xiàn)了高考命題源于課本，又高于課本的原則，也體現(xiàn)了高考的選拔性功能.許多學(xué)生經(jīng)常在面對此類問題時(shí)一頭霧水，無法準(zhǔn)確解題.為了全面認(rèn)識和了解函數(shù)的凹凸性及其應(yīng)用技巧，筆者對此進(jìn)行了深入的研究，下面作詳細(xì)的介紹.

一、函數(shù)凹凸性的定義以及相關(guān)定理

1.凹函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[I]上連續(xù)，對[?x1，x2∈I]和任意的[λ∈0，1]，都有不等式[fλx1+1-λx2≥λf（x1）+1-λf（x2）]成立，則稱[f（x）]是上凹函數(shù).特別地，當(dāng)[λ=12]時(shí)，恒有[f（x1+x22）≥f（x1）+f（x2）2]成立.

2.凸函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[I]上連續(xù)，對[?x1，x2∈I]和任意的[λ∈0，1]，都有不等式[fλx1+1-λx2≤λf（x1）+1-λf（x2）]成立，則稱[f（x）]是下凸函數(shù).特別地，當(dāng)[λ=12]時(shí)，有[f（x1+x22）≤f（x1）+f（x2）2]恒成立.

3.凹凸函數(shù)的圖象特征

設(shè)[A1，A2]是凹（凸）函數(shù)[y=f（x）]圖象上的兩點(diǎn)，則凹函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)[A1]與[A2]之間的部分圖象總位于線段[A1A2]的上方，如圖1.凸函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)[A1]與[A2]之間的部分圖象總位于線段[A1][A2]的下方，如圖2.簡記為“上凹下凸”.

4.凹凸函數(shù)的相關(guān)定理

定理1.（凹凸函數(shù)的判定定理）設(shè)函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[I]上可導(dǎo)，且在區(qū)間[I]上存在二階導(dǎo)數(shù)，

（1）若對任意[x∈I]，有[f（x）lt;0]，則[f（x）]在[I]上為凹函數(shù)；

（2）若對任意[x∈I]，有[f（x）gt;0]，則[f（x）]在[I]上為凸函數(shù).

定理2.設(shè)[f（x）]為區(qū)間[I]上的可導(dǎo)函數(shù)，則[f（x）]為[I]上的凹函數(shù)[?][f（x）]為[I]上的減函數(shù)[?]對[I]上任意兩點(diǎn)[x1]、[x2，]有[fx2≤fx1+fx1x2-x1?f（x）≤0]； [f（x）]為[I]上的凸函數(shù)[?][f′（x）]為[I]上的增函數(shù)[?]對[I]上任意兩點(diǎn)[x1]、[x2，]有[fx2≥fx1+fx1x2-x1?f（x）≥0].

定理3.（詹森不等式）若函數(shù)[f（x）]是[I]上的凸函數(shù)，則對[I]內(nèi)的任意數(shù)[x1]，[x2]，[…]，[xn]，[λ1]，[λ2]，[…]，[λn≥0]（不全為0）時(shí)，有[fλ1x1+λ2x2+…+λnxnλ1+λ2+…+λn≤λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）λ1+λ2+…+λn.]

特別地，當(dāng)[λ1=λ2=…=λn=1]，有[fx1+x2+…+xnn≤f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n]，當(dāng)且僅當(dāng)[x1=x2=…=xn]時(shí)取等號.

若[f（x）]是[I]上的凹函數(shù)，則[fλ1x1+λ2x2+…+λnxnλ1+λ2+…+λn≥λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）λ1+λ2+…+λn]，特別地，當(dāng)[λ1=λ2=…=λn=1]，有[fx1+x2+…+xnn≥f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n，]當(dāng)且僅當(dāng)[x1=x2=…=xn]時(shí)取等號.從某種意義上看這是對定義的擴(kuò)充.

以上主要介紹的是凹凸函數(shù)的定義、圖象特征及相關(guān)定理，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識，是靈活應(yīng)用凹凸函數(shù)性質(zhì)解題的前提.

二、函數(shù)凹凸性在解題中的應(yīng)用

關(guān)于函數(shù)凹凸性的應(yīng)用，主要有兩方面：一是解答函數(shù)問題，二是解答不等式問題.

（一）解答函數(shù)問題

1.解答極值問題

求解函數(shù)極值問題的常用方法是導(dǎo)數(shù)法.而運(yùn)用函數(shù)的凹凸性求解極值問題，需對函數(shù)求導(dǎo)，若[fx0=0]，則[x0]是疑似極值點(diǎn)，若[f（x0）gt;0]，則[x∈x0-?，x0+?（?gt;0）]內(nèi)均存在[fxgt;0]，根據(jù)定理1可知，此時(shí)函數(shù)[fx]是凸函數(shù).根據(jù)定理2可知，此時(shí)[fx]單調(diào)遞增，所以當(dāng)[x∈x0-?，x0]時(shí)，[f′xlt;f′x0=0]，當(dāng)[x∈x0，x0+?]時(shí)，[fxgt;fx0=0]，故[x0，f（x0）]是函數(shù)的極小值點(diǎn)；同理可知，當(dāng)[f（x0）lt;0]時(shí)，[x0，f（x0）]是函數(shù)的極大值點(diǎn).值得注意的是當(dāng)[f″（x0）=0]時(shí)，[x0]不是函數(shù)的極值點(diǎn).

這就是說，若[fx]在[x0]處具有二階可導(dǎo)性，且[fx0=0]， [f（x0）≠0]，則當(dāng)[f（x0）gt;0]時(shí)，[x0，f（x0）]是函數(shù)的極小值點(diǎn).當(dāng)[f（x0）lt;0]時(shí)，[x0，f（x0）]是函數(shù)的極大值點(diǎn).

例1.求函數(shù)[fx=ax2-a-lnx]的極值.

解：由題意可得[xgt;0]，[fx=2ax-1x]， [f（x）=2ax2+1x2].

令[fx=0]得[2ax2=1]，

當(dāng)[a≤0]時(shí)，方程無解，此時(shí)[fxlt;0，]則[fx]在[xgt;0]時(shí)單調(diào)遞減.

當(dāng)[agt;0]時(shí)，由上述方程可得[x=2a2a].

因?yàn)閇f12a=4agt;0]，所以當(dāng)[x=2a2a]時(shí)， [fx]有極小值[12-a+ln2a].

對函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的凹凸性確定函數(shù)的極值.運(yùn)用函數(shù)的凹凸性求解極值問題，可以省去一些復(fù)雜的推理過程，這樣能減少運(yùn)算量，提升解題的效率.但是函數(shù)的凹凸性一般只適用于求解二階可導(dǎo)函數(shù)問題.

2.解答函數(shù)零點(diǎn)問題

具有凹凸性的函數(shù)圖象有一個(gè)鮮明特點(diǎn)——上凹下凸.學(xué)生可以根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及函數(shù)的凹凸性，快速畫出函數(shù)圖象的簡圖.解答函數(shù)零點(diǎn)問題的思路為：（1）令[f（x0）=0]，求函數(shù)的拐點(diǎn)；（2）判斷函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的凹凸性，由定理1可知，當(dāng)[f（x0）gt;0]時(shí)，函數(shù)[fx]的圖象是凸的，當(dāng)[f（x0）lt;0]時(shí)，函數(shù)[fx]的圖象是凹的；（3）將函數(shù)[fx]的極值點(diǎn)用凹或凸的曲線連接起來，就能根據(jù)函數(shù)的簡圖直觀地求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).值得注意的是，拐點(diǎn)往往是凹凸曲線部分的銜接點(diǎn).

例2.已知函數(shù)[fx=（x-2）ex+aa∈R]，試確定函數(shù)[fx]的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：由[f（x）=0]可得[a=（2-x）ex]，令[g（x）=（2-x）ex]，

則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為直線[y=a]與曲線[g（x）=（2-x）ex]的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

因?yàn)閇g（x）=（1-x）ex]，[g（x）=-xex].

令[g（x）=（1-x）ex=0]，解得[x=1].

又因?yàn)閇g（1）=-elt;0]，所以[x=1]時(shí)，[g（x）]有極大值[g（1）=e]，無極小值.

又當(dāng)[g（x）=-xex≥0，]得[x≤0，]此時(shí)[g（x）]為凸函數(shù)，且[g（x）gt;0]；當(dāng)[g（x）=-xex≤0，]解得[x≥0，]此時(shí)[g（x）]為凸函數(shù)，[x=0]處是拐點(diǎn)，畫出函數(shù)[g（x）=（2-x）ex]的簡圖，如圖所示.

從圖中可以看出，當(dāng)[agt;e]時(shí)，函數(shù)[fx]沒有零點(diǎn)；當(dāng)[a=e]或[a≤0]時(shí)，函數(shù)[fx]有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)[0lt;alt;e]時(shí)，函數(shù)[fx]有2個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)函數(shù)的凹凸性可以快速地描繪出函數(shù)在拐點(diǎn)兩側(cè)的圖象，明確函數(shù)圖象的變化趨勢，再結(jié)合函數(shù)的其他性質(zhì)，就能畫出更加精確的圖象，從而借助圖象直觀地判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和位置.

（二）解答不等式問題

在解答不等式證明題時(shí)，有時(shí)很難利用常規(guī)的方法證得結(jié)論，此時(shí)需要另辟蹊徑，根據(jù)不等式的特征構(gòu)造出函數(shù)，利用函數(shù)的凹凸性來解題.若所構(gòu)造的函數(shù)是連續(xù)的二階可導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)具備凹凸性，便可結(jié)合凹凸函數(shù)的定義或利用定理3中的詹森不等式，來證明不等式.

例3.若[a≥0，b≥0，c≥0，d≥0]，且[a+b+c+d=1]，求證：[a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2≤1617].

解：根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)[f（x）=x1+x2（0≤x≤1）]，

則[f（x）=1-x2（1+x2）2， f（x）=2x（x2-3）（1+x2）3，]

因?yàn)閇0≤x≤1]， [f（x）lt;0]，所以[f（x）]是凹函數(shù)，

根據(jù)詹森不等式可得：

[fa+fb+fc+fd4≤fa+b+c+d4]，

即[a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2≤4×141+116=1617].

根據(jù)函數(shù)的凹凸性證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，從而建立起已知條件與未知結(jié)論之間的聯(lián)系，巧妙利用函數(shù)的凹凸性解答不等式問題，這也進(jìn)一步凸顯了函數(shù)與不等式間的緊密聯(lián)系.

凹凸性是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是對高中教材中關(guān)于函數(shù)性質(zhì)這一知識板塊的補(bǔ)充和完善.靈活運(yùn)用函數(shù)的凹凸性解答函數(shù)和不等式中的相關(guān)問題，既能加深對這一性質(zhì)的理解，又能拓寬解題的思路.