例析用圓的參數(shù)方程求最值的思路

由于圓的方程中涉及兩個(gè)未知數(shù)，且含有二次式，所以與圓有關(guān)的最值問題的運(yùn)算量較大.很多同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題失敗.而運(yùn)用圓的參數(shù)方程來求解，可以有效減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化解題的過程.

我們知道，圓心為[（a，b）]，半徑為[r]的圓的參數(shù)方程為[x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，]（[θ]為參數(shù)）若點(diǎn)[P]在圓[（x-a）2+（y-b）2=r2]上，則可設(shè)[P]的坐標(biāo)為[（a+rcosθ，b+rsinθ）]，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式、圓的性質(zhì)、圓的定義等建立關(guān)系式，即可用正余弦函數(shù)表示出目標(biāo)式，利用正余弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性、圖象，順利求得最值.

例1.已知點(diǎn)[A（2，0），B（-2，0）]，設(shè)點(diǎn)[P]是圓[x2+（y-3）2=1]上的動(dòng)點(diǎn)，求[PA?PB]的最大值和最小值.

解：由題意可知圓[x2+（y-3）2=1]的參數(shù)方程為[x=cosθ，y=3+sinθ，]（[θ]為參數(shù)）

設(shè)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[P（cosθ，3+sinθ）]，

則[PA=（2-cosθ，-3-sinθ）]，[PB=（-2-cosθ，-3-sinθ）]，

所以[PA?PB=cos2θ-4+9+6sinθ+sin2θ=6+6sinθ].

而[sinθ∈[-1，1]]，

所以當(dāng)[sinθ=-1]時(shí)，[PA?PB=0]；當(dāng)[sinθ=1]時(shí)，[PA?PB=12]；

所以[PA?PB]的最大值為12，最小值為0.

先根據(jù)圓的參數(shù)方程[x=cosθ，y=3+sinθ，]（[θ]為參數(shù)）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)[P（cosθ，3+sinθ）]；然后用坐標(biāo)表示出向量[PA、PB]，即可根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得目標(biāo)式，將問題轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的最值問題，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性快速求得最值.

例2.已知實(shí)數(shù)[x，y]滿足方程[x2+y2-4x+1=0]，求[y-x]和[x2+y2]的最大值和最小值.

解：設(shè)圓[（x-2）2+y2=3]的參數(shù)方程為[x=2+3cosθ，y=3sinθ.]（[θ]為參數(shù)），則[P2+3cosθ，3sinθ]，

可得[y-x=3（sinθ-cosθ）-2=6sin（θ-π4）-2]，

而[sin（θ-π4）∈[-1，1]]，

所以[y-x=6sin（θ-π4）-2∈[-6-2，6-2]]，

所以[y-x]的最小值為[-6-2]，最大值為[6-2].

[x2+y2=（2+3cosθ）2+（3sinθ）2]

[=7+43cosθ]，

而[43cosθ∈[-43，43]]，

所以[x2+y2=7+43cosθ∈[7-43，7+43]].

所以[x2+y2]的最小值為[7-43]，最大值為[7+43].

先根據(jù)圓的參數(shù)方程為[x=2+3cosθ，y=3sinθ.]（[θ]為參數(shù)）設(shè)出[P2+3cosθ，3sinθ]；然后將其代入目標(biāo)式，并進(jìn)行三角恒等變換，即可將問題轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù)的有界性問題來求解.

例3.已知[AxA，yA]是單位圓（圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)[O]）上的任意一點(diǎn)，將射線[OA]繞[O]點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)[π3]到[OB]交單位圓于點(diǎn)[BxB，yB]，則[2yA-yB]的最大值為______.

解：設(shè)單位圓的參數(shù)方程為[x=cosα，y=sinα.]（[α]為參數(shù)）

則[A（cosα，sinα）]，則[B（cos（α+π3），sin（α+π3））]，

所以[2yA-yB=2sinα-sin（α+π3）]

[=32sinα-32cosα=3sin（α-π6）]，

而[sin（α-π6）∈[-1，1]]，則[2yA-yB=3sin（α-π6）] [∈[-3，3]]，所以[2yA-yB]的最大值為[3].

解答本題需抓住關(guān)鍵信息：[AxA，yA]是單位圓上的任意一點(diǎn)，于是根據(jù)單位圓的參數(shù)方程設(shè)出[A（cosα，sinα）]、[B（cos（α+π3），sin（α+π3））]，即可用[α]的正余弦函數(shù)表示出[2yA-yB].再根據(jù)輔助角公式將其化簡(jiǎn)，就能根據(jù)正弦函數(shù)的有界性來解題.

運(yùn)用圓的參數(shù)方程，可以快速設(shè)出圓上的任意一點(diǎn)，并用某個(gè)角表示出圓上各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便能將圓上的點(diǎn)視為已知的點(diǎn)，建立關(guān)于該點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，從而將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.這樣就可以直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象來快速求得問題的答案，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，提升解題的效率.