由一道與圓有關(guān)的直線斜率題引發(fā)的思考

與圓有關(guān)的直線斜率問題的難度一般較大，且運算量較大.這類問題側(cè)重于考查圓的方程、圓的性質(zhì)、直線的方程、直線的斜率公式等的應(yīng)用，以及直線與圓的位置關(guān)系.下面結(jié)合一道題探討一下與圓有關(guān)的直線斜率問題的解法.

例題：如圖1，雙曲線[C：y23-x2=1]的下焦點為[F]，過[F]的直線[l]與[C]交于A、B兩點，若過A、B和點[M0，7]的圓的圓心在[x]軸上，則直線[l]的斜率為（" " "）.

A. [±102] B. [±2] C. [±1] D. [±32]

一、同構(gòu)法

同構(gòu)法是通過構(gòu)造結(jié)構(gòu)相同或相似的代數(shù)式來解題的方法.與圓有關(guān)的直線斜率問題中有些直線、點的位置相同，此時可以運用同構(gòu)法，構(gòu)造出同構(gòu)式，將這些位置相同的點、直線用同構(gòu)式表示出來，即可通過代換、變形、消元求得直線的斜率、方程.

解：設(shè)[Ax1，y1，Bx2，y2]，圓心為[Na，0]，連接MN，NA，NB.

顯然直線[l]的斜率存在，且不為[0，±3]，

由雙曲線[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

所以設(shè)直線[l：y=kx-2]，

將其代入[y23-x2=1]中，整理得[k2-3x2-4kx+1=0]，

所以[x1，x2]是方程[k2-3x2-4kx+1=0]①的兩個根.

而圓的半徑[R2=a2+7=x1-a2+y12，y12=3+3x12]，

所以[2x12-ax1-2=0]，

同理可得[2x22-ax2-2=0]，

所以[x1，x2]是方程[2x2-ax-2=0]②的兩個根，

由①②可得[k2-32=4ka=1-2]，

解得[k=±2]，故本題選B項.

因為A、B在雙曲線上，且在圓上，所以根據(jù)雙曲線的方程、圓的半徑來建立方程，構(gòu)造出結(jié)構(gòu)相同的兩個方程[2x2-ax-2=0]和[k2-3x2-4kx+1=0]，就此建立等價關(guān)系式，即可通過解方程求得k的值.

二、利用圓的相交弦定理

若直線與圓相交，通常可以運用圓的相交弦定理：設(shè)[AB]和[CD]是圓的兩弦，若[AB?CD=P]，則[PA?PB=PC?PD]來解題.運用相交弦定理，可以快速建立起圓的弦之間的關(guān)系，從而求得弦的長度及其關(guān)系，就能根據(jù)弦長公式建立關(guān)于直線斜率的關(guān)系式，從而求得直線的斜率.

解：如圖2所示，設(shè)[Ax1，y1，Bx2，y2]，圓心為[Na，0]，根據(jù)題意可知直線[l]的斜率存在，

由雙曲線[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

所以設(shè)直線[l：y=kx-2]，則[k∈0，3].

將直線的方程代入[y23-x2=1]中，整理得：

[k2-3x2-4kx+1=0]，則[x1x2=1k2-3].

設(shè)點[M]關(guān)于[x]軸對稱的點為[M]，則[M]也在[⊙N]上.

由圓的相交弦定理可知[AF?BF=MF?MF]，

所以[1+k2x1?1+k2x2=7+2×7-2]，

故[k2=2]，從而[k=±2]，故選B.

作點[M]關(guān)于[x]軸對稱的點為[M]，即可根據(jù)圓的對稱性得出[M]也在[⊙N]上，這樣就構(gòu)造出了圓的兩條相交弦.然后利用圓的相交弦定理建立等式[AF?BF=MF?MF]，即可得到關(guān)于直線斜率[k]的方程.

三、利用參數(shù)方程

我們知道，若直線過定點[P（x0，y0）]，且傾斜角為[α]，則直線的參數(shù)方程為[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，t為參數(shù)]；若圓的圓心為（a，b），半徑為r，則圓的參數(shù)方程為[x=a+rcosα，y=b+rsinα，] [α為參數(shù)].在解答與圓有關(guān)的直線斜率問題時，可以根據(jù)圓的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程來設(shè)出相關(guān)的點，這樣便可以根據(jù)兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線的參數(shù)方程中參數(shù)[t]的絕對值[t]的幾何意義快速求得圓中的弦長、點與直線之間的距離，據(jù)此建立關(guān)于直線斜率的關(guān)系式.

解：由雙曲線[C：y23-x2=1]的方程可得[F0，-2]，

因為過[A，B，M]的圓的圓心在[x]軸上，所以[M]關(guān)于原點的對稱點[N（0，-7）]也在圓上.

由圓的相交弦定理可得：

[FA?FB=FM?FN=（7+2）×（7-2）=3].

設(shè)直線[l]的參數(shù)方程為[x=tcosα，y=-2+tsinα，（t為參數(shù)，α≠π3）]

設(shè)[A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2]，

將直線[l]的參數(shù)方程代入[y23-x2=1]，得：

[（4sin2α-3）t2-4tsinα+1=0]，

則[Δ=（4sinα）2-4×（4sin2α-3）×1=12gt;0].

因為A、B兩點在點F的兩側(cè)，所以[t1?t2=14sin2α-3lt;0].

則[FA?FB=t1?t2=-t1?t2=-14sin2α-3=3]，

解得[sin2α=23]，所以[tan2α=2]，

所以直線[l]的斜率為[±2].則本題選B.

由圓的相交弦定理可知[FA?FB=FM?FN=3]，其中焦點[F]是定點，而[A，B]是兩動點，這就涉及了動點到定點的距離，故考慮用直線的參數(shù)方程設(shè)出直線[l]的方程，根據(jù)參數(shù)方程中[t]的絕對值[t]的幾何意義（直線上的動點到定點[P（x0，y0）]的距離來求解.

四、借助圓系方程

我們知道，過兩條直線[f1=0，f2=0]與二次曲線[f（x，y）=0]的4個交點的二次曲線系方程為[f（x，y）+λf1f2=0]（[λ]為參數(shù)），且當(dāng)[x2]與[y2]的系數(shù)相同，且[xy]的系數(shù)為0時，該方程表示圓.對于直線與二次曲線相交的問題，通?？梢允紫仍O(shè)出圓系方程；然后根據(jù)題意將相關(guān)的點代入圓系方程中，據(jù)此建立關(guān)于直線的斜率的方程，即可通過解方程求得直線的斜率.

解：由題意知直線[l]的斜率存在且不等于[±3]，設(shè)直線[l]的方程為[y=kx-2]，

將[y=kx-2]代入[y23-x2=1]中得：

[x2-4kk2-3x+1k2-3=0，y2-12k2-3y-3k2+12k2-3=0].

設(shè)過[A，B，M]三點的圓系方程為（[x2-4kk2-3x+1k2-3+y2-12k2-3y-3k2+12k2-3+λ（y-kx+2）=0].

因為點[M（0，7）]在圓上，圓心在[x]軸上，

[所以0+1k2-3+7-12k2-3×7-3k2+12k2-3+λ（7-0+2）=0，-12k2-3+λ=0，]

解得[k2=2，即k=±2].則本題選B.

本題中直線[l]與圓相交，且圓過[A、B、M]三點，于是設(shè)出直線與圓的圓系方程，然后根據(jù)“點[M（0，7）]在圓上且圓心在[x]軸上”建立方程組，即可通過解方程組求出斜率[k]的值.

可見，解答與圓有關(guān)的直線斜率問題的方法很多，無論運用哪種方法解題，同學(xué)們都要注意：（1）靈活運用圓的性質(zhì)、方程、定理，以及直線的方程、斜率等知識解題；（2）借助圖形來判斷、分析、研究直線與雙曲線的位置關(guān)系；（3）利用方程思想來建立方程（組），通過研究方程的解、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來解題.