對一道解三角形題的解法的探究

解三角形是高中數(shù)學(xué)中的一個重要板塊.解三角形問題側(cè)重于考查正余弦定理以及三角形性質(zhì)的應(yīng)用.下面結(jié)合一道例題，來談一談解答解三角形問題的方法.

例題：如圖1，已知點(diǎn)[D]是[ΔABC]的邊[BC]上的一點(diǎn)，[sinB=55]，[AB=2AD=2AC]，求[cos∠ADB]的值.

方法一：利用正弦定理

正弦定理：[asinA=bsinB=csinC]，其中a、b、c分別為[ΔABC]三個內(nèi)角的對邊.若已知三角形的兩條邊和一個內(nèi)角，或三角形的兩個內(nèi)角以及一條對邊，即可運(yùn)用正弦定理來解三角形，從而順利求得問題的答案.

解：在[ΔABD]中，[AB=2AD]，

由正弦定理可得[ADsinB=ABsin∠ADB=2ADsin∠ADB]，

則[sin∠ADB=2sinB=2×55=255]，

則[|cos∠ADB|=1-（255）2=55]，

由于[AD=AC]，所以[∠ADC=∠ACD]，

所以[∠ADB=∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠ADC]，

因?yàn)閇∠ADB+∠ADC=180°]，

所以[∠ADB]為鈍角，可得[cos∠ADB=-55].

由于sinB是已知的，且[AB=2AD]，所以運(yùn)用正弦定理即可建立[ΔABD]的邊、角之間的關(guān)系，進(jìn)而求得[∠ADB]的正余弦值.由于互補(bǔ)的兩個角的正弦值相等，所以在求三角形內(nèi)角的正弦值時，要對其角的范圍進(jìn)行討論，以免產(chǎn)生增解.

方法二：利用余弦定理

余弦定理：[cosA=b2+c2-a22bc]，其中a、b、c分別為[ΔABC]三個內(nèi)角的對邊.若已知三角形的三條邊長，或已知三角形的兩條邊長以及一個內(nèi)角，即可運(yùn)用余弦定理來解三角形.

解：在[ΔABD]中，[sinB=55]，

由[sin2B+cos2B=1]，可得[cosB=255].

設(shè)[AB=2]，則[AD=1]，

由余弦定理可得[cosB=AB2+BD2-AD22AB?BD]，

解得[BD=355]或[5]（舍）.

在[ΔABD]中，由余弦定理得[cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD?BD=-55.]

由于sinB是已知的，且[AB=2AD]，所以設(shè)[AB=2]，[AD=1]，運(yùn)用余弦定理來建立[ΔABD]的邊、角之間的關(guān)系.

方法三：向量法

向量法是解答平面幾何問題的常用方法.在解答解三角形問題時，要將三角形的三條邊賦予方向，構(gòu)造出平面向量，即可用向量的運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積等來解題.

解：因?yàn)閇sinB=55]，所以[cosB=BA?BD|BA|?|BD|=255]，

則[cos∠ADB=AD?BD|AD|?|BD|]，

由向量的三角形法則可知[|AD|=|BD-BA|]，

將其兩邊平方得到[BDAD=355或5].

而[|AD|=12|AB|]，[AD=AB+BD]，

[所以cos∠ADB=（AB+BD）?BD12|AB|?|BD|=AB?BD12|AB|?|BD|+BD12|AB|=-55].

[而∠ADB]為鈍角，故[cosADB=-55.]

將[|AD|=|BD-BA|]平方后，即可得到兩個向量的比值和數(shù)量積，便可運(yùn)用向量的數(shù)量積公式，通過向量運(yùn)算求得角的大小.

方法四：坐標(biāo)法

在解答解三角形問題時，可以根據(jù)三角形的特征尋找或作出垂線，并將其作為坐標(biāo)軸，來建立平面直角坐標(biāo)系.然后求得各個點(diǎn)的坐標(biāo)，就能通過坐標(biāo)運(yùn)算求得問題的答案.

解：過頂點(diǎn)[A]作[BC]邊上的高，記垂足為點(diǎn)[E]，以點(diǎn)[E]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[BC]所在的直線為[x]軸，[EA]所在的直線為[y]軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

設(shè)[AE=a，BE=b，EC=c]，且[a、b、c]都大于0，

可得[|AC|2=a2+c2]，[|AB|2=a2+b2]，

又[|AB|=2|AC|]，得[a2+b2=4（a2+c2）]，

化簡可得[b2=3a2+4c2].

因?yàn)閇sinB=55]，則[tanB=12]，

而[tanB=ab=12]，得[b=2a].

代入[b2=3a2+4c2]可得[a=2c]，則[b=4c].

設(shè)[A（0，2），B（-4，0），C（1，0）]，

又因?yàn)閇AD=AC， AE⊥BC]，

所以點(diǎn)[E]為[CD]的中點(diǎn)，可得[D（-1，0）].

因此[DA=（1，2），DB=（-3，0）]，

所以[cos∠ADB=AD?BD|AD|?|BD|=-55].

在建立平面直角坐標(biāo)系時，通常以三角形的一個頂點(diǎn)為原點(diǎn)，或以三角形的高線與底邊的交點(diǎn)為原點(diǎn)，這樣便于快速求得各個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而簡化運(yùn)算.

總的來說，上述四種方法各有特點(diǎn)，同學(xué)們在解題時要根據(jù)解題需求合理選擇最佳的解題方案.對于較為簡單的題目，可以直接利用正、余弦定理來求解；對于較為復(fù)雜的題目，可以運(yùn)用向量法和坐標(biāo)法來求解.