1 一題多解強能力
解題就是對提出的問題進行解答的過程,是一種將未知問題化為已知問題的過程.這個過程需要針對學過的知識點進行歸納整理轉(zhuǎn)化,將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,將難懂問題轉(zhuǎn)化為已把握問題,這更需要進行數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換,也需要在宏觀與微觀之間進行等價變化.解題能力是學生數(shù)學素養(yǎng)中表現(xiàn)最為突出的一種能力,數(shù)學思想的運用更是能力的一種著重體現(xiàn).對有些問題,如果能采用多種方法進行滲透解答,于學生而言是一種強能力的體現(xiàn).
例題1如圖1所示,已知∠MON=120°,P,A分別為射線OM和射線ON上的動點,將射線PA繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)30°交射線ON于點B,試求OAAB的最大值.
解法1:考慮到問題情境中只有兩個已知角度∠MON和∠BPA,此時根據(jù)對所學知識點的把握和經(jīng)驗了解到可以用圓的知識來解答,故考慮利用“隱圓”來突破,如圖2.
以PB為底作等腰三角形BDP且PD=BD,過點B作BH⊥射線PD于點H,過點O作OC⊥PD于點C,可得∠BPA=∠PBD=30°,求得∠BDP=120°,∠BDH=60°,推出點P,O,D,B在以點E為圓心的圓上,當OE⊥PD時,OC的值最大.根據(jù)相似三角形的性質(zhì),得OAAB=OCBH.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),得∠EPB=∠EBP=30°,求得PD=2PC,得到OC=OE-EC=PD-32PD,則BH=BD[J]5sin∠BDH=32BD=32PD,于是得到OAAB的最大值為233-1.
解法2:根據(jù)問題情境,考慮到求OAAB的比值問題,此時可以聯(lián)想相似三角形的對應邊比值問題,故可構造相似三角形進行解答.
要使OAAB最大,只要ABOA最小,則可以得到ABOA+1最小,即OBOA的值就最小,若OB為定值,則OA最大即可滿足要求.
根據(jù)∠BPA=30°,可以利用“一線三等角”模型構造相似三角形.如圖3,在射線OM上作OC=OB,再作AF⊥OB于點A,根據(jù)條件可得∠AFO=30°,
則可以得到△BCP∽△PFA,
此時可令OC=OB=1,再設AO=a(0<a<1),CP=b,則可得到BC=3,OP=1-b,OF=2a,AF=3a.根據(jù)BCPF=CPFA,得到31-b+2a=b3a,建立關于b的一元二次方程,因有解,可利用Δ≥0解得a≤1-32,得到OA的最大值,即得OAAB的最大值為233-1.
解法3:如果我們轉(zhuǎn)化解題思路,將題干中的動點P,B固定,讓點O運動,則點A也隨之運動,點E為定點,作BC⊥PA,垂足為點C,可知BC長度始終不變,此時∠BOP=120°也始終不變,
故可作△POB的外接圓Q,如圖4,作OD⊥AP,垂足為點D,此時設PQ=BQ=2m,則PB=23m,可得BC=3m,根據(jù)△OAD∽△BAC,得到OAAB=ODCB=OD3m.當O運動到PE的中點時,OD最大,此時值為2m-3m,可得答案.
2 一題多變提素養(yǎng)
題海無邊,我們對數(shù)學問題的把控,不能純粹通過做題去達成,這樣也根本達不成我們學習數(shù)學的目的.但是如果借助一種題的學習,通過變通,不斷變換問題的模型,或通過改變條件或結論進行一題多變,從而挖掘問題的本質(zhì),以此來培養(yǎng)學生問題變通能力,追本溯源,可以培養(yǎng)學生觸類旁通、舉一反三的解題能力,真正提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).
例題2如圖5,在平面直角坐標系中,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的圖象與x軸交于點A(-1,0),B(3,0),與一次函數(shù)y=mx+c(m為常數(shù),且m≠0)的圖象分別相交于點C(0,3)和E,直線CE與x軸交于點D(4,0).
顯然,根據(jù)題意可以直接求得二次函數(shù)的解析式及其對稱軸;再根據(jù)上述條件將問題進行變式設計,編制出更多種類型的問題:
變式1若P是該拋物線對稱軸上一動點,則連接AC,PA,PC,△PAC的周長能否取得最小值?若能,試求點P的坐標;若不能,請說明理由.
變式2若Q是該拋物線對稱軸上一動點,則連接QC,QE,△QCE的面積能否取得最大值?若能,試求點Q的坐標,并求出面積的最大值;若不能,請說明理由.
變式3若M是平面直角坐標系中任一點,且與點A,C兩點組成等腰三角形,試求點M的坐標.
變式4若N是平面直角坐標系上任一點,且與點A,C,E三點構成平行四邊形,試求點N的坐標.
變式5若G是第一象限內(nèi)拋物線上一點,是否存在∠GCE=∠ACO?若存在,試求點G的坐標;若不存在,請說明理由.
這樣我們可以結合某一道試題的背景,展開綜合性的變式訓練,讓學生能夠在一題多變中尋求突破的方法與思想,輕松把握問題的解答思路,從而在數(shù)學素養(yǎng)上得到提升.
3 多題歸一探本質(zhì)
在數(shù)學問題探究過程中,真正讓學生通過訓練,尋求一種簡單模型,進而通過模型的把握,掌握一系列問題的通解,把握知識的系統(tǒng)化與大框架思路,能更好地引導思維走向深刻、能力更加創(chuàng)新發(fā)展,甚至通過模型的初步類比遷移,提煉“歸一”,能夠以不變應萬變,讓問題真正在歸一的道路上扎根發(fā)芽,這樣才能引導學生走上數(shù)學王國的寶殿.
例如下面的幾種類型問題,我們在解答過程中發(fā)現(xiàn)都涉及到了一種模型,模型一旦建立,問題便迎刃而解.
問題1如圖6,一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與y軸,x軸分別交于A,B兩點.將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l,求直線l對應的函數(shù)表達式.
點撥:我們發(fā)現(xiàn)題目中有45°特殊角,如何利用這個特殊角度是解題的關鍵.此時可過點B作BH垂直直線l,再利用點A,H分別作坐標軸的垂線,構造矩形AMNO,如圖7所示,問題就變得容易突破.
問題2如圖8,請你用無刻度直尺作出△ABC的高BF.
點撥:問題要求過點B作一條直線垂直AC即可,但是如何找到點F有一定難度,且還需要說明理由.根據(jù)AC所在的位置,可以構造一個3×4的直角三角形,此時利用“一線三等角”,在BC下方也構造一個直角三角形,從而形成“一線三直角”,問題得解,如圖9.
問題3如圖10,A,C分別是等邊三角形DEF邊上的兩個動點,且滿足CD=12AE,連接AC,再以AC為邊在△DEF內(nèi)部作等邊三角形ABC,連接BF,點A在線段ED(不與點D重合)上運動的過程中,試判斷∠CFB的度數(shù)變化情況?并說明理由.
點撥:如圖11,在CF上取一點N,使得FN=DC.證明△ADC≌△CNB(SAS),推出BN=CD,∠D=∠BNC=60°,可得∠CFB=30°為定值.
當然,相關數(shù)學問題的研究不只這幾種類型,更多的是從本文中獲得一種數(shù)學能力提高、素養(yǎng)提升的方式,讓學生在解題過程中多思考,多研究,共探究,讓數(shù)學問題最終“歸一”,突破瓶頸,回到問題本質(zhì)上來.