二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)最值問題初探

摘要：二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)的最值問題，是初中二次函數(shù)內(nèi)容中的難點，一般可分為定軸定區(qū)間型、動軸定區(qū)間型與定軸動區(qū)間型三種類型.解決此類問題的關(guān)鍵是要抓住“三點一軸”，利用圖象的對稱性、增減性，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化.

關(guān)鍵詞：最值；閉區(qū)間；數(shù)形結(jié)合；三點一軸

二次函數(shù)以其豐富的內(nèi)涵和完備的理論體系，在函數(shù)中占有極為重要的地位.二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)的最值問題，是考查學(xué)生綜合能力的好素材，能夠很好地反映出學(xué)生對函數(shù)增減性、對稱性、最值等知識的理解深度.此類問題，一般可分為以下三種類型：定軸定區(qū)間型，動軸定區(qū)間型，定軸動區(qū)間型.影響二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值主要有三個要素：拋物線的開口方向，對稱軸，給定的區(qū)間的位置.解決此類問題要抓住“三點一軸”（頂點，兩端點，對稱軸），利用圖象的對稱性、增減性，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.

1 類型一：定軸定區(qū)間求最值

對于二次函數(shù)對稱軸確定、區(qū)間確定的最值問題，可以先求出區(qū)間兩個端點（假設(shè)能取到）以及頂點的坐標(biāo)，然后判斷頂點是否在區(qū)間內(nèi).若頂點在區(qū)間內(nèi)，則二次函數(shù)的其中一個最值就在頂點處取得，另一個最值在某端點處取得；若頂點不在區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)的兩個最值都在端點處取得.

例1若函數(shù)y＝x2-6x+5，當(dāng)2≤x≤6時的最大值是m，最小值是n，求m-n的值.

分析：該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為（3，-4），當(dāng)2≤x≤6時，圖象過頂點，二次項系數(shù)為1，圖象開口向上，此時最小值n為-4.因為|6－3|＞|2－3|，拋物線開口向上時，圖象上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，所以，當(dāng)x=6時，函數(shù)的最大值m為5.所以m-n=9.函數(shù)的圖象草圖如圖1.

例2已知二次函數(shù)y＝mx2+2mx+1（m≠0）在-2≤x≤2時有最小值-2，求m的值.

分析：該二次函數(shù)的二次項為字母參數(shù)m，正負(fù)性不確定，故需要分類討論.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易求其對稱軸為直線x=-1，當(dāng)-2≤x≤2時，拋物線的頂點在區(qū)間內(nèi).當(dāng)m＞0時，因為圖象開口向上（如草圖2所示），所以，當(dāng)x=-1時，函數(shù)的最小值為-2，代入函數(shù)表達(dá)式，得方程m-2m+1=-2，解得m=3（符合m＞0）；當(dāng)m＜0時，圖象開口向下（如草圖3所示），圖象上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，所以，當(dāng)x=2時，函數(shù)的最小值為-2，代入表達(dá)式，得方程4m+4m+1=-2，解得m=－38（符合m＜0）.綜上所述，m=3或－38.

小結(jié)：解決此類問題的一般步驟可歸納為——畫出函數(shù)草圖，代入端點求值，描出區(qū)間內(nèi)圖象，判斷函數(shù)最值.

2 類型二：動軸定區(qū)間求最值

二次函數(shù)的對稱軸位置隨參數(shù)變化，而區(qū)間固定，此類求函數(shù)最值問題的方法是，根據(jù)二次項系數(shù)確定開口方向，畫出草圖，用參數(shù)表示二次函數(shù)的對稱軸，令兩端點值關(guān)于對稱軸對稱，求出此時的參數(shù)值，平移對稱軸，根據(jù)函數(shù)增減性確定參數(shù)范圍.

例3已知y=x2＋（1－a）x＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：該二次函數(shù)的二次項系數(shù)為1，其圖象開口向上，對稱軸為直線x=a－12，畫出草圖.令x=1，x=3時，函數(shù)值相等，求得此時對稱軸為直線x=2（如圖4），得方程a－12=2，解得a=5，因為函數(shù)在x＝1時取得最大值，根據(jù)“開口向上時，圖象上的點離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大”，所以需要把對稱軸向右平移，如圖5與圖6，則a-12≥2，解得a≥5.

例4已知拋物線y=x2+2bx+b+2，且拋物線在-1≤x≤2時的最小值是-3，求b的值.

分析：因為拋物線的對稱軸為直線x=－b，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值在端點處取得，還是在頂點處取得是不確定的，因此，需要結(jié)合圖象分類討論.

當(dāng)-b≥2，即b≤-2時，如草圖7，在x=2處，y取得最小值-3.將x=2代入表達(dá)式，得方程4+4b+b+2=-3，解得b=－95（不在范圍內(nèi)，舍去）.

當(dāng)-1＜-b＜2，即-2＜b＜1時，如草圖8，在x=－b處，y取得最小值-3.將x=-b代入表達(dá)式，得方程b2-2b2+b+2=-3，即b2-b-5=0，解得b1=1+212（不在范圍內(nèi)，舍去），b2=1－212（符合）.

當(dāng)-b≤-1，即b≥1時，如草圖9，在x=-1處，y取得最小值-3.將x=-1代入表達(dá)式，得方程1-2b+b+2=-3，解得b=6（符合）.

所綜上所述，b的值為1－212或6.

3 類型三：定軸動區(qū)間求最值

二次函數(shù)的對稱軸位置確定，區(qū)間隨著參數(shù)而變化，此類求函數(shù)最值問題的方法是，根據(jù)二次項系數(shù)確定開口方向，求出對稱軸，畫出草圖，移動兩端點位置，確定此時的最值，列方程求解.

例5已知二次函數(shù)y＝-x2+6x-5，當(dāng)t≤x≤t+3時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m-n＝3，求t的值.

分析：該二次函數(shù)的二次項系數(shù)為-1，其圖象開口向下，對稱軸為直線x=3，頂點坐標(biāo)為（3，4）.由于區(qū)間隨參數(shù)t而變化，不能確定拋物線的頂點是否在區(qū)間范圍內(nèi)，因此，需要根據(jù)區(qū)間范圍畫圖分類討論，確定最值.

若x=t，則y=-t2+6t-5；

若x=t+3，則y=-t2+4.

當(dāng)t+3≤3，即t≤0時，如草圖10，m=-t2+4，n=-t2+6t-5，由m-n=-t2+4-（-t2+6t-5）=3，解得t=1（不在范圍內(nèi)，舍去）；

當(dāng)0≤t＜32時，如草圖11，m=4，n=-t2+6t-5，由m-n=4-（-t2+6t-5）=3，解得t1=3－3（符合），t2=3+3（不在范圍內(nèi)，舍去）；

當(dāng)32≤t＜3時，如草圖12，m=4，n=-t2+4，由m-n=4-（-t2+4）=3，解得t1=3（符合），t2=－3（不在范圍內(nèi)，舍去）；

當(dāng)t＞3時，如草圖13，m=-t2+6t-5，n=-t2+4，由m-n=-t2+6t-5-（-t2+4）=3，解得t=2（不在范圍內(nèi)，舍去）.

綜上所述，t=3－3，或t=3.

小結(jié)：解決此類問題的一般步驟可歸納為——畫出草圖，算出最值，描出區(qū)間內(nèi)圖象、解出方程、檢驗最值.

從以上例題可以看出，解決二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)最值問題的關(guān)鍵是抓住“三點一軸”，利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出草圖，描出區(qū)間內(nèi)圖象.當(dāng)對稱軸確定時，可以嘗試平移區(qū)間；當(dāng)對稱軸不確定時，可以平移對稱軸.根據(jù)圖象判斷頂點是否在區(qū)間內(nèi)，從而確定函數(shù)的最值.