一道幾何角度問題的解法及變式探究

摘要：研究一類特殊四邊形問題，有利于促進(jìn)學(xué)生綜合應(yīng)用特殊三角形和四邊形的相關(guān)知識及解題方法、思想、經(jīng)驗(yàn)解決新問題，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表達(dá)發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題，讓豐富的、有意義的、有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題的解決成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵事件.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造；關(guān)聯(lián)；變式；探究

在浙江省易良斌初中數(shù)學(xué)名師工作室暑期解題教學(xué)專題研修活動中，學(xué)員對一道來自熱播劇《天才基本法》中有關(guān)四邊形的角度求值問題產(chǎn)生了濃厚的研究興趣.這題結(jié)構(gòu)簡潔，數(shù)據(jù)設(shè)計巧妙，解題方法眾多，內(nèi)涵深刻，耐人尋味.現(xiàn)筆者把所解、所變、所思、所悟整理成文，以饗讀者，請同行批評指正！

1 原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD中，∠B=70°，∠C=170°，且AB=BC=CD，求∠BAD的度數(shù).

2 試題分析

結(jié)合題意，從定性和定量兩個角度分析，本題圖形是大小不定，但形狀確定的四邊形，因此∠BAD的度數(shù)確定是可求的.借助幾何畫板，可發(fā)現(xiàn)∠BAD=85°，∠D=35°.其中隱含著∠C=2∠BAD，∠B=2∠D，且有∠BAD+∠D=120°，∠B+∠C=240°，這些角度和60°角有莫大的關(guān)系，可為探尋解題思路帶來諸多啟發(fā).

在三角形的角度計算問題中，角格點(diǎn)問題是典型的范例，參考田永海先生的著作《三角形中的角格點(diǎn)問題》.本題雖然背景是四邊形，但解法可以借鑒角格點(diǎn)問題的常用方法，如構(gòu)造等邊三角形、構(gòu)造軸對稱圖形、構(gòu)造全等三角形等.

3 解法展示

3.1 視角1：構(gòu)造等邊三角形

觀察到∠ABC-60°+∠BCD=180°，∠ABC+60°=360°-∠BCD-60°

=130°，∠BAD+∠ADC+60°=180°，可構(gòu)造等邊三角形聯(lián)系邊角關(guān)系，有以下解法.

解法一：如圖2，以CD為邊向上作等邊三角形CDE，連接AE.

∵AB=BC=CD，CD=CE，

∴AB=CE.

∵∠BCD=170°，

∠DCE=60°，

∴∠BCE=110°.

∵∠B=70°，

∴∠B+∠BCE=180°.

∴AB∥CE.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∴AE=BC=CD=DE，∠B=∠AEC=70°，

∠BAE=∠BCE=110°.

∴∠AED=∠AEC+∠CED=70°+60°=130°.

∴∠EAD=∠EDA=25°.

∴∠BAD=∠BAE-∠EAD=85°.

當(dāng)然，本題的輔助線也可作平行四邊形ABCE，連接DE，雖作法不同，但圖形結(jié)構(gòu)不變，解法實(shí)質(zhì)上殊途同歸，在此不再贅述.

解法二：如圖3，以AB為邊向右作等邊三角形ABF，連接DF.

∵AB=BC=CD，

AB=BF=AF，

∴BF=CD.

∵∠ABC=70°，∠BCD=170°，

∠ABF=∠BAF=∠AFB=60°，

∴∠CBF=10°，∠CBF+∠BCD=180°.

∴BF∥CD.

∴四邊形BCDF是平行四邊形.

∴BC=DF=AF，

∠BFD=∠BCD=170°.

∴∠AFD=360°-∠BFD-∠AFB=130°.

∴∠FAD=∠FDA=25°.

∴∠BAD=∠BAF+∠FAD=85°.

同理，本題的輔助線也可作平行四邊形BCDF，連接AF，與解法一的情況類似，在此也不再贅述.

解法三：如圖4，以BC為邊向下作等邊三角形BOC，連接AO，DO，易知AB=BC=CD=BO=CO，

∴∠ABO=∠ABC+∠OBC=70°+60°=130°，∠DCO=360°-∠BCD-∠BCO=360°-170°-60°=130°.

∴∠DCO=∠ABO.

∴△DCO≌△ABO.

∴AO=DO，∠BOA=∠COD=∠BAO=∠CDO=25°.

∴∠AOD=∠BOC=60°.

∴△AOD是等邊三角形.

∴∠OAD=60°.

∴∠BAD=∠BAO+∠OAD=85°.

另外，本題先作等邊三角形AOD，再連接OB，OC，也是屬于同樣的圖形構(gòu)造，類似可解，在此也不再贅述.

解法四：如圖5，以CD為邊向下作等邊三角形CDE，連接BE，易知AB=BC=CD=CE=DE，

∴∠A+∠ADE=∠A+∠ADC+∠CDE=360°-∠ABC-∠BCD+∠CDE=360°-70°-170°+60°=180°.

∴AB∥DE.

∴四邊形ABED是平行四邊形.

∴∠A+∠ABE=180°.

又∠BCE=360°-∠BCD-∠DCE=360°-170°-60°=130°，

∴∠CBE=∠CEB=25°.

∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=95°.

∴∠BAD=85°.

同樣地，本題的輔助線也可以先作平行四邊形ABED，連接BE，也類似可解，在此不再贅述.

解法五：如圖6，以AB為邊向外作等邊三角形ABO，連接OC，易知AB=BC=CD=OA=OB，

∴∠OAD+∠ADC=∠OAB+∠BAD+∠ADC=∠OAB+360°-∠ABC-∠BCD=60°+360°-70°-170°=180°.

∴OA∥CD.

∴四邊形OADC是平行四邊形.

∴∠OAD+∠AOC=180°.

∵∠OBC=∠OBA+∠ABC=60°+70°=130°，

∴∠BOC=∠OCB=25°.

∴∠D=∠AOC=∠AOB-∠BOC=35°.

∴∠BAD=85°.

同樣地，本題的輔助線也可先作平行四邊形OADC，連接OB，也類似可解，在此也不再贅述.

3.2 視角2：二倍角構(gòu)造軸對稱圖形

注意到本題圖形中隱含著∠C=2∠BAD，∠B=2∠D，可構(gòu)造對稱圖形從中找到解題方法.

解法六：如圖7，以AC為邊作等邊三角形ACE，連接DE.

∵AB=BC=CD，∠B=70°，

∴∠BAC=∠BCA=55°.

又∠ACE=60°，∠BCD=170°，

∴∠DCE=55°=∠BCA.

∴△ABC≌△EDC.

∴DE=AB=CD.

又AD=AD，AC=AE，

∴△ACD≌△AED.

∴∠EAD=∠CAD=12∠CAE=30°.

∴∠BAD=85°.

解法七：如圖8，以BD為邊作等邊三角形BDE，連接AE.

∵AB=BC=CD，

∠BCD=170°，

∴∠CBD=∠BDC=5°.

∵∠ABC=70°，

∴∠ABE=5°=∠CBD.

∵BE=BD，

∴△ABE≌△CBD.

∴∠BAE=∠BCD=170°，AE=CD=AB.

又AD=AD，BD=ED，

∴△ABD≌△AED.

∴∠BAD=∠EAD=12∠BAE=85°.

3.3 視角3：三點(diǎn)共線

本題由于圖形及數(shù)據(jù)的特殊性，通過構(gòu)造特殊三角形，運(yùn)用三點(diǎn)共線有簡潔的求解方法.

解法八：如圖9，以BC為邊向上作等邊三角形BCG，連接AG，DG，易知AB=BC=CD=CG=BG.

∵∠ABC=70°，∠BCD=170°，∠GBC=∠GCB=∠BGC=60°，

∴∠ABG=10°，∠GCD=110°.

∴∠BAG=∠BGA=85°，∠CGD=∠CDG=35°.

∴∠BGA+∠BGC+∠CGD=85°+60°+35°=180°.

∴A，G，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在AD上.

∴∠BAD=∠BAG=85°.

解法九：如圖10，作∠ABC和∠BCD的平分線，交于點(diǎn)M，連接AM，DM.

∵∠ABC=70°，

∠BCD=170°，

∴∠ABM=∠CBM=35°，

∠BCM=∠DCM=85°.

∴∠BMC=60°.

∵AB=BC=CD，

易知△ABM≌△CBM≌△CDM，

∴∠AMB=∠BMC=∠DMC=60°.

∴∠AMB+∠BMC+∠DMC=180°.

∴A，M，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M在AD上.

∴∠BAD=∠BAM=∠BCM=85°.

3.4 視角4：通過等腰三角形構(gòu)造全等三角形

連接對角線AC，BD，交于點(diǎn)G，由本題結(jié)論∠BAD=85°，∠ADC=35°逆向思考，可以發(fā)現(xiàn)∠DAG=∠ADG=30°，AG=DG，于是，通過等腰三角形構(gòu)造全等三角形，可產(chǎn)生以下解法.

解法十：如圖11，連接AC并延長至點(diǎn)H，使得CD=DH，連接BD交AC于點(diǎn)G.

∵∠ABC=70°，

AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=55°.

∵∠BCD=170°，

∴∠ACD=115°，∠DCH=65°.

∵CD=DH，

∴∠DCH=∠H=65°.

又AB=BC=CD，

∴AB=DH，∠CBD=∠CDB=5°.

∴∠ABG=65°=∠H.

而∠AGB=∠DGH，

∴△ABG≌△DHG.

∴AG=DG.

又∠AGD=∠ABG+∠BAG=65°+55°=120°，

∴∠DAG=∠ADG=30°.

∴∠BAD=85°.

3.5 視角5正弦定理

連結(jié)對角線，通過正弦定理得到三角方程，運(yùn)用兩角差公式解之即可.

解法十二：如圖13，連結(jié)AC，因?yàn)锳B=BC，∠B=70°，∠C=170°，易知∠BAC=∠BCA=55°，∠ACD=115°，設(shè)∠CAD=α，則∠D=65°-α，在△ABC和△ACD中，由正弦定理得，

ACCD=sin∠Dsin∠CAD=sin（65°－α）sin α，

ACBC=sin∠Bsin∠BAC=sin 70°sin 55°，

∵CD=BC，

∴sin（65°－α）sin α=sin 70°sin 55°，sin 55°·sin（65°－α）=sin 70°·sin α，∵sin 70°=sin 110°=2sin 55°cos 55°，∴sin（65°－α）=2cos 55°·sin α=2cos（120°－65°）·sin α，由兩角差的正余弦公式得，

sin 65°·cos α－cos 65°·sin α=2（cos 120°·cos 65°+sin 120°sin 65°）sin α，

∵cos 120°=－12，sin 120°=32，化簡上式得，3sin α=cos α，即tan α=33，α=30°，于是∠BAD=85°.

解法十三：如圖14，連結(jié)BD，因?yàn)镃D=BC，∠B=70°，∠C=170°，易知∠CBD=∠CDB=5°，∠ABD=65°，設(shè)∠ADB=α，則∠A=115°-α，在△ABD和△BCD中，由正弦定理得，

BDAB=sin∠Asin∠ADB=sin（115°－α）sin α，BDBC=sin∠Csin∠CDB=sin 170°sin 5°，∵AB=BC，

∴sin（115°－α）sin α=sin 170°sin 5°，sin 5°·sin（115°－α）=sin 170°·sin α，

∵sin 170°=sin 10°=2sin 5°cos 5°，

∴sin（115°－α）=2cos 5°·sin α=2cos（120°－115°）·sin α，

由兩角差的正余弦公式得，

sin 115°·cos α－cos 115°·sin α=2（cos 120°·cos 115°+sin 120°sin 115°）sin α，

∵cos 120°=－12，sin 120°=32，化簡上式得，3sin α=cos α，即tan α=33，α=30°，于是∠ADB=30°，∠ADC=35°，∠BAD=85°.

本題解法的實(shí)質(zhì)是解三角方程：

sin α·sin 70°=sin（65°－α）·sin 55°，sin α·sin 10°=sin（115°－α）·sin 5°，答案α=30°是顯而易見的.

4 變式研究

本題是一個四邊形在三等邊背景下的求角度問題，角度條件呈現(xiàn)時隱含∠A+∠D=120°，∠B+∠C=240°這兩個關(guān)系.任意設(shè)計滿足其中一個關(guān)系的兩個角度值皆可成題，不妨設(shè)∠B

=α（60°lt;αlt;180°），∠C=240°-α（60°lt;αlt;180°），以上大部分解法仍然成立.在題目的難度設(shè)計及呈現(xiàn)形式上，可有以下變式.

4.1 特殊化策略

變式1四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=35°，且AB=BC=CD，求∠BCD的度數(shù).

變式1可供低層次的學(xué)生練習(xí)，也可作原題引入時的鋪墊之用，體現(xiàn)循序漸進(jìn)的教學(xué)理念.

變式2四邊形ABCD中，∠B=80°，∠C=160°，且AB=BC=CD，求∠D的度數(shù).

變式2中隱含著∠C=2∠A=2∠B=4∠D，角度倍分關(guān)系更特殊，這樣使得解法更有多樣性，越發(fā)豐富.具體解法讀者自行探究.

4.2 因果互換

變式3四邊形ABCD中，∠A=85°，∠B=70°，∠C=170°，且AB=CD，求證：AB=BC.

此變式互換了原題的條件和結(jié)論，以一個證明題來呈現(xiàn)，但本質(zhì)解法仍然不變.這樣處理可以讓學(xué)生對試題數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解更為深刻.

4.3 改變條件

變式4四邊形ABCD中，∠A=95°，∠D=35°，且AB=BC=CD，求∠ABC的度數(shù).

此變式把原題條件中的兩個角度換成了∠A與∠D的度數(shù)，但本質(zhì)解法仍然不變.這樣處理可以檢測學(xué)生是否真正理解與掌握了試題的解法，可作為鞏固訓(xùn)練的習(xí)題.

4.4 問題條件復(fù)雜化

變式5如圖12，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠ABC+∠BCD=240°，且AB=BC=CD，求證：OA=OD，且∠AOD=120°.

4.5 一般化策略

變式6如圖13，四邊形ABCD中，∠A=102°，∠B=138°，且AD=AB=BC，求∠D的度數(shù).

變式５和變式６把角度條件一般化屬性呈現(xiàn)出來.同樣地，本質(zhì)解法也仍然不變.這樣處理可以讓學(xué)生對試題本質(zhì)屬性的理解更為深刻，體現(xiàn)一般化思想，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)有益，也可以作為拓展訓(xùn)練習(xí)題.

5 教學(xué)啟示

5.1 一題多解深化數(shù)學(xué)思維

通過對同一問題的不同解決，一題多解，不僅豐富了解題思路，同時也使一些基本知識點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)方法等得到了充分的展示，每種解法都有它的思維切入點(diǎn)，使學(xué)生對試題數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解更為深刻，對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性起到積極的影響作用.

解題教學(xué)中，有的問題有多種解題方法，有些解法新穎，思路獨(dú)特，多角度分析和挖掘問題的解決方法，有利于開闊學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識間的縱橫關(guān)系，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性，深化數(shù)學(xué)思維.

5.2 變式教學(xué)落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

變式教學(xué)通過對數(shù)學(xué)問題多角度、多方位、多層次的討論與思考，能幫助學(xué)生打通關(guān)節(jié)，構(gòu)建有價值的變式探究，展示數(shù)學(xué)知識生成、發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的表象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使得所有知識點(diǎn)融會貫通.通過解一道題找到解一類題的方法，用思維活動的提升代替簡單機(jī)械的練習(xí)，做到舉一反三，觸類旁通.既注重結(jié)果，又關(guān)注過程；既理解本質(zhì)，又積累素養(yǎng)；既探究知識，又強(qiáng)化能力.通過變式教學(xué)，達(dá)到減負(fù)提質(zhì)的教學(xué)愿景，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5.3 試題研究促進(jìn)教師成長

解題、命題是一個教師專業(yè)素養(yǎng)的重要組成部分.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開解題教學(xué)，學(xué)業(yè)評價離不開命題、命卷.會解題的教師，但不一定會編題，會編題的教師一定會解題.因?yàn)榫庮}的過程不僅是解題的過程，更是一個把問題從簡單引向深入進(jìn)而逐步演繹的探究創(chuàng)新的過程.教師在研究試題時要追本溯源，深刻剖析問題的代數(shù)結(jié)構(gòu)或幾何結(jié)構(gòu)，抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，編制出一系列新的問題服務(wù)于學(xué)生.通過對試題的深入研究，有助于教師對課標(biāo)的深度把握和對數(shù)學(xué)問題的深入理解，有助于課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)教、學(xué)、評、研的一致性，從而提升教師自身的專業(yè)素養(yǎng).