二次函數(shù)問題的分類例析

摘要：二次函數(shù)由二次項(xiàng)、一次項(xiàng)以及常數(shù)項(xiàng)組成，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)、一次項(xiàng)系數(shù)的大小以及常數(shù)的正負(fù)都會(huì)影響二次函數(shù)的圖象特征、極值和在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用.文章借助初中數(shù)學(xué)經(jīng)典習(xí)題研究了二次函數(shù)的特征與幾何關(guān)系，分析了不同情況下如何理解和解決二次函數(shù)問題.研究發(fā)現(xiàn)對(duì)二次函數(shù)問題進(jìn)行分類解析具有重要的意義，能夠提升學(xué)生的對(duì)二次函數(shù)的理解和知識(shí)應(yīng)用能力.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；經(jīng)典習(xí)題；分類討論；圖象性質(zhì)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，其重要性不言而喻.對(duì)于學(xué)生來說，深入掌握二次函數(shù)的理論與應(yīng)用能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.二次函數(shù)問題的分類例析可以幫助學(xué)生在不同情況下更好地應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí).

1 有關(guān)函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)問題

例1根據(jù)下面的條件列出函數(shù)解析式，并判斷列出的函數(shù)是否為二次函數(shù)：

（1）如果兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)比另一個(gè)大5，那么，這兩個(gè)數(shù)的乘積p是較大的數(shù)m的函數(shù).

（2）在一個(gè)半徑為10cm的圓上，挖掉4個(gè)大小相同的正方形孔，剩余的面S（單位：cm2）是方孔邊長(zhǎng)x（單位：cm）的函數(shù).

（3）有一塊長(zhǎng)為60m、寬為40m的矩形綠地，計(jì)劃在它的四周相同的寬度內(nèi)種植闊葉草，中間種郁金香，那么郁金香的種植面積S（單位：m2）是草坪寬度a（單位：m）的函數(shù).

分析：以上題目主要是針對(duì)二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)類題目，考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)概念、特征掌握的熟練程度.第一小題根據(jù)題目給出的條件，可知函數(shù)的自變量是兩個(gè)數(shù)中較大的那個(gè)數(shù)m，而因變量是這兩個(gè)數(shù)的乘積p，因此，很容易列出關(guān)系式.第二小題根據(jù)題目給出的條件，可知函數(shù)的自變量是方孔的邊長(zhǎng)x，而因變量是圓的剩余面積S.由于四個(gè)正方形孔的大小相同，則剩余的面積是由圓的面積減去四個(gè)正方形孔的面積得到的，因此很容易得出關(guān)系式.第三小題根據(jù)題目給出的條件，可知函數(shù)的自變量是草坪的寬度a，而因變量是郁金香的種植面積S.根據(jù)題意，綠地的形狀是矩形，而郁金香的種植面積是矩形綠地的面積減去草坪的面積，因此很容易得出關(guān)系式.

解：（1）這兩個(gè)數(shù)的乘積p與較大數(shù)m的函數(shù)關(guān)系為p=m（m-5）=m2-5m，符合二次函數(shù)的特征，屬于二次函數(shù).

（2）剩余的面積S（單位：cm2）與方孔的邊長(zhǎng)x（單位：cm）的函數(shù)關(guān)系為S=100π-4x2，是二次函數(shù).

（3）郁金香的種植面積S（單位：m2）與草坪寬度a（單位：m）的函數(shù)關(guān)系為S=（60-2a）（40-2a）=4a2-200a+2 400.

2 有關(guān)二次函數(shù)與幾何的綜合問題

例2如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接CB交EF于點(diǎn)M，連接AM交OC于點(diǎn)R，連接AC，求△ACR的周長(zhǎng).

分析：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)和幾何圖形的理解和應(yīng)用.通過分析拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)以及矩形的特點(diǎn)，求解拋物線的解析式，并利用幾何性質(zhì)求解△ACR的周長(zhǎng).

（1）由已知條件可知，拋物線與x軸交點(diǎn)為A和B，坐標(biāo)分別為A（x1，0）和B（x2，0）.同時(shí)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，坐標(biāo)為C（0，c）.根據(jù)所給的矩形特點(diǎn)，可知點(diǎn)C，E的坐標(biāo)，

便可輕松得出解析式.

（2）

根據(jù)題目要求，如圖1右圖，利用幾何性質(zhì)，先計(jì)算出△ACR的各邊長(zhǎng)，然后計(jì)算周長(zhǎng).

解：（1）由四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，可兩

C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）.將C，E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=-x2+bx+c，得

c=3，

-4+2b+c=3，

解得b=2，c=3.

故拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）由-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，則

A（-1，0），B（3，0）.

在Rt△AOC中，由AO=1，CO=3，可得

AC=OA2+OC2=10.

因?yàn)锽O=CO=3，所以

∠OBC=∠OCB=45°，F(xiàn)M=BF=1.

因?yàn)镽O∥MF，∠RAO=∠MAF，所以

△ARO∽△AMF，則ROMF=AOAF=13，解得RO=13.

所以CR=OC-OR=3-13=83，

AR=OA2+OR2=103.

故△ACR的周長(zhǎng)為AC+CR+AR=10+83+103=8+4103.

3 有關(guān)二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)與極值問題

例3如圖2，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)A（3，0）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P是拋物線上的一點(diǎn)，并且落在第一限，連接PA，PB，求△PAB的面積S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：本題旨在讓學(xué)生通過已知點(diǎn)和條件，求解拋物線和直線的函數(shù)表達(dá)式，并運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決動(dòng)點(diǎn)和極值問題.第一小題比較簡(jiǎn)單，根據(jù)點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)A（3，0），利用待定系數(shù)法即可分別求出拋物線和

直線的函數(shù)表達(dá)式.第二小題要在第一小題的基礎(chǔ)上，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求解動(dòng)點(diǎn)P的區(qū)間，然后求解△PAB的最大面積和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo).

解：（1）由拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)A（3，0），可得

c=3，

-9+3b+c=0.

解得b=2，c=3.

故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+2x+3.

設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+m，

代入A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得m=3，

3k+m=0，

解得k=-1，m=3.

故直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.

（2）如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥OA于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M.

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+2a+3），

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-a+3）.

由點(diǎn)P，M在第一象限，可得

PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a.

所以S△PAB=S△PAM+S△PBM=12PM·OA=12×3×（-a2+3a）=-32a-322+278.

故當(dāng)a=32時(shí)，S△PAB有最大值，最大值為278，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32，154.

4 有關(guān)二次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題

例4大學(xué)畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè)，開了一家小商品超市.已知超市中某商品的進(jìn)價(jià)為20元/件，售價(jià)為30元/件，每個(gè)月可賣出180件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月就會(huì)少賣出10件，但每件售價(jià)必須低于34元，設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（為非負(fù)整數(shù)），每個(gè)月的銷潤(rùn)為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍;

（2）利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

（3）利用函數(shù)關(guān)系式求出每件商品的售價(jià)為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰好是1 920元？這時(shí)每件商品的利潤(rùn)率是多少？

分析：該題主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的應(yīng)用能力.學(xué)生需要運(yùn)用二次函數(shù)的概念和相關(guān)知識(shí)，建立起銷售數(shù)量和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題，如求最大利潤(rùn)和利潤(rùn)率.雖然此題有三個(gè)小題，但最主要的還是要寫出函數(shù)關(guān)系式，然后通過函數(shù)關(guān)系式來計(jì)算最值問題[J].

解：（1）由題意，得y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1 800，其中0≤x＜4，且x為正整數(shù).

（2）由（1），可得

y=-10x2+80x+1 800=-10（x-4）2+1 960.

因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)a=-10＜0，由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，當(dāng)0≤x＜4時(shí)，y隨著x的增大而增大.

又x為正整數(shù)，所以

當(dāng)x=3時(shí)，y值最大，最大值為1 950.

故當(dāng)每件商品上漲3元，即每件商品售價(jià)為33元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1 950元.

（3）由題意，可得-10x2+80x+1 800=1 920，化簡(jiǎn)得x2-8x+12=0，

解得x1=2，x2=6.

根據(jù)0≤x＜4可知，當(dāng)x=2，即每件商品售價(jià)為32元時(shí)，利潤(rùn)恰好為1 920元，此時(shí)每件商品的利潤(rùn)率為

32－2020×100%=60%.

5 結(jié)論

二次函數(shù)的表達(dá)式?jīng)Q定了二次函數(shù)的圖象特征，如開口方向、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及極值等.在實(shí)際應(yīng)用中，可以借助二次函數(shù)解決復(fù)雜的幾何問題，發(fā)揮知識(shí)的實(shí)用性.因此，在教學(xué)和實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用分類討論的方法，以解決不同類型的二次函數(shù)問題[J].同時(shí)，文章也為二次函數(shù)問題的進(jìn)一步研究提供了方向，鼓勵(lì)更多特殊情況下的分類討論方法的探索和應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]高學(xué)賢.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題方法探究[J].數(shù)理天地（初中版），2023（17）：8-9.

[2]胡玉華.例析二次函數(shù)最值問題的解答方法[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2023（8）：19-20.