基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的初中數(shù)學(xué)探究課教學(xué)策略研究

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程.該過(guò)程包括觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)、提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題、猜測(cè)和探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明.

筆者從“探結(jié)論—證結(jié)論—用結(jié)論”三個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)幾何探究課，逐步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，具體研究框架如圖1.

學(xué)生獨(dú)立完成一個(gè)較復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入探究是存在困難的，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，應(yīng)以學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，構(gòu)建符合學(xué)情的腳手架，在學(xué)生自主探究的過(guò)程中適時(shí)引導(dǎo)與總結(jié).

下面以一節(jié)九年級(jí)幾何探究課為例進(jìn)行教學(xué)策略研究.

1 探結(jié)論：?jiǎn)栴}鏈助力結(jié)論探索

設(shè)計(jì)有層次的問(wèn)題鏈可以讓學(xué)生更高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.“探索結(jié)論環(huán)節(jié)”主要是讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上經(jīng)歷結(jié)論的引入過(guò)程和結(jié)論的一般化過(guò)程，為結(jié)論的證明作好鋪墊.

1.1 搭建知識(shí)框架，引入特殊模型

單一的解題教學(xué)會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得枯燥乏味，無(wú)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲.教師可以從幫助學(xué)生理清知識(shí)的來(lái)龍去脈，搭建數(shù)學(xué)知識(shí)的框架入手，引入學(xué)生熟悉的特殊模型，從而進(jìn)一步開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

課堂中可先整合三種全等變化的常見(jiàn)模型（如圖2），讓學(xué)生感悟與體會(huì)三角形是平面幾何中簡(jiǎn)單多邊形的研究起點(diǎn)與基礎(chǔ)，然后用正方形中的“半角模型”問(wèn)題引入.

問(wèn)題如圖3，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD邊上，且∠EAF=45°，連接EF，則DF的長(zhǎng)為.

1.2 回顧解題思路，明確所證結(jié)論

每個(gè)學(xué)生的理解能力和接收能力各不相同，教師應(yīng)做到讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.“半角模型”的運(yùn)用對(duì)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然具有挑戰(zhàn)性，因此在課堂中需要幫助學(xué)生先回顧解題思路，然后再循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和探究.

師：在正方形中看到半角應(yīng)該怎么辦？

生1：旋轉(zhuǎn).

師：怎么旋轉(zhuǎn)？目的是什么？

生1：比如可以將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，目的是為了構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)化線段，然后通過(guò)勾股定理建立方程求出線段的長(zhǎng)度（學(xué)生進(jìn)行板演求出結(jié)果）.

師：剛才大家求出了線段DF的長(zhǎng)度，現(xiàn)在請(qǐng)分別計(jì)算Rt△ABE與Rt△DAF的短直角邊與長(zhǎng)直角邊的比值.

生2：BEAB=12，DFAD=13.

師：若把BEAB=12，∠EAF=45°

作為條件，DFAD=13作為結(jié)論，你能把這個(gè)命題敘述出來(lái)嗎？

生3：在正方形ABCD中，若∠EAF=45°（其中E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上），BEAB=12，則DFAD=13.

數(shù)學(xué)探究不是一個(gè)獨(dú)立的環(huán)節(jié)，而是由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的研究過(guò)程.

1.3 弱化圖形條件，提出結(jié)論猜想

從特殊到一般是幾何推理中重要的思維方式之一.教師要設(shè)計(jì)好問(wèn)題研究的一般化路徑，逐步將有關(guān)特殊條件一般化，引發(fā)學(xué)生思考，在已獲得的結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

師：剛才同學(xué)們總結(jié)得很好.如果把這個(gè)命題中的正方形改成矩形，那么該命題是否成立呢？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立，請(qǐng)舉出反例.

（學(xué)生沒(méi)有給出回應(yīng).）

師：我們不妨先根據(jù)條件畫(huà)個(gè)圖形，然后通過(guò)測(cè)量圖形中的線段長(zhǎng)度猜測(cè)該結(jié)論是否成立.

生1：我畫(huà)的圖是成立的.（其他學(xué)生也認(rèn)同.）

師：請(qǐng)?zhí)岢瞿愕牟孪?，并小組討論該如何證明.

生1：如圖4，在矩形ABCD中，如果∠EAF=45°（其中E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上），BEAB=12，那么DFAD=13.

學(xué)生需要通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理等步驟發(fā)現(xiàn)并證明數(shù)學(xué)結(jié)論，教師適時(shí)給予引導(dǎo)，化抽象為具體，降低思考難度.

2 證結(jié)論：已有經(jīng)驗(yàn)助力結(jié)論證明

長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累有助于學(xué)生解題思路的形成.“證明結(jié)論環(huán)節(jié)”主要是讓學(xué)生經(jīng)歷通過(guò)小組合作運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)完成數(shù)學(xué)證明的過(guò)程，為結(jié)論的應(yīng)用作好鋪墊.

2.1 回歸模型源頭，感受數(shù)學(xué)本質(zhì)

模型的運(yùn)用可以為實(shí)際問(wèn)題的解決提供指導(dǎo)與方法，深度思考模型的變化形式可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解.

小組1：我們是受到半角模型的啟發(fā)，雖然這個(gè)幾何圖形是矩形，但是它含有45°角，只需要將矩形補(bǔ)成正方形（如圖5）就可以輕松證明該結(jié)論了.

易證△ABE∽△AGH，可以得出GH∶AG=BE∶AB=1∶2，然后就回到了最開(kāi)始問(wèn)題的證明，易得DFAD=13.

學(xué)生之所以能形成這樣的證明思路，是因?yàn)閷?duì)半角模型的認(rèn)識(shí)足夠深刻，抓住了半角模型的特征，巧妙地將問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.

2.2 巧借網(wǎng)格背景，架構(gòu)思維橋梁

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的任何活動(dòng)體驗(yàn)都可以形成一定的經(jīng)驗(yàn)，它是一個(gè)組合體.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生突如其來(lái)的靈感就是以積累的經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ).

小組2：我們小組發(fā)現(xiàn)其實(shí)這個(gè)結(jié)論在網(wǎng)格背景的問(wèn)題中早就遇見(jiàn)過(guò)，雖然忘記了具體的問(wèn)題背景，但在網(wǎng)格中如果放置一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的等腰直角三角形，那么要證的這個(gè)結(jié)論是成立的.

受到網(wǎng)格的啟發(fā)，我們嘗試構(gòu)造了如圖6所示的一個(gè)結(jié)構(gòu)，這樣就能完成證明了.

如圖6，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形AHF，然后按圖補(bǔ)全矩形后，該圖就是左邊的結(jié)構(gòu)，這樣就能夠得出DF∶AD=1∶3.當(dāng)然，其實(shí)也可以這樣證明：

設(shè)GH的長(zhǎng)度為a，易得△ABE∽△AGH，則GH∶AG=BE∶AB=1∶2，所以AG=2a.易證△AGH≌△HMF，則HM=AG=2a，MF=GH=a，所以GM=3a.由于四邊形AGMD為矩形，則有DM=AG=2a，AD=GM=3a，所以DF=DM-FM=a.故DF∶AD=1∶3.

數(shù)學(xué)教學(xué)中需要適當(dāng)通過(guò)解題來(lái)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，既要注重學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，更要重視學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，這可以幫助學(xué)生架構(gòu)解決新問(wèn)題的思維橋梁，發(fā)展學(xué)生的“四基”與“四能”.

2.3 立足圖形變換，轉(zhuǎn)化研究路徑

有效的探究活動(dòng)可以開(kāi)拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的求知欲與探索欲.

小組3：我們受到第一小組的啟發(fā)，既然這個(gè)結(jié)構(gòu)可以補(bǔ)全成半角模型，那不妨嘗試在正方形的半角模型上，

以A為公共頂點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)滿足已知條件的矩形AGHM，如圖7所示，使得該矩形的AG邊和正方形的AB邊在同一直線上.此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論構(gòu)造的矩形多大，始終存在△AGJ∽△ABE，△ADF∽△AMN，則GJ∶AG=BE∶AB=1∶2，MN∶AM=DF∶AD=1∶3.

通過(guò)這種證法可以發(fā)現(xiàn)，如果AF與MH的交點(diǎn)在MH的延長(zhǎng)線上，而不是在線段MH上，這個(gè)結(jié)論也是成立的.

方法的選擇、思考的路徑、圖形的理解等都是影響探索的因素.如果嘗試轉(zhuǎn)化研究路徑，找到圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，便能實(shí)現(xiàn)柳暗花明.

3 用結(jié)論：多情境助力結(jié)論運(yùn)用

多情境的知識(shí)應(yīng)用可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.“運(yùn)用結(jié)論環(huán)節(jié)”主要是讓學(xué)生經(jīng)歷在多個(gè)不同的問(wèn)題情境中運(yùn)用本節(jié)課積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)之美，

3.1 抓住結(jié)構(gòu)特征，遷移已有結(jié)論

學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用需要一個(gè)過(guò)程.為讓學(xué)生初步體會(huì)運(yùn)用結(jié)論解決問(wèn)題的便捷之處，筆者設(shè)計(jì)了一道一星題，引導(dǎo)學(xué)生抓住結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，直接運(yùn)用結(jié)論快速解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

訓(xùn)練1（★）如圖8，在矩形ABCD中，AB=2，AD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，點(diǎn)G是射線DC與射線AF的交點(diǎn).若BE=1，∠EAF=45°，則AG的長(zhǎng)為.

課堂中，筆者經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)只有2位學(xué)生沒(méi)有解題思路，隨機(jī)選取一名舉手的學(xué)生分享解題思路.其思路如下：

在矩形ABCD中，BE∶AB=1∶2，∠EAF=45°，根據(jù)剛才證明的結(jié)論，馬上可得到DG∶AD=1∶3.由AD=8，就能求出DG的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)度.（在課堂中也有學(xué)生指出有別的解題思路，筆者也予以肯定和表?yè)P(yáng).）

審題是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵一步，抓住了關(guān)鍵信息就有利于解題思路的形成.

3.2 挖掘隱含條件，啟發(fā)合理聯(lián)想

根據(jù)已知條件進(jìn)行合理聯(lián)想是解決問(wèn)題過(guò)程中的重要一步.為了進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解，筆者設(shè)計(jì)了一道兩星題，引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)熟悉的結(jié)論特征后，挖掘題中隱藏的條件，指向性地進(jìn)行聯(lián)想，運(yùn)用結(jié)論解決問(wèn)題.

訓(xùn)練2（★★）如圖9，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形的邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處.點(diǎn)C，H，G恰好在同一條直線上，若AB=6，AD=4，BE=2，則DF的長(zhǎng)為.

生：通過(guò)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，這和前面探究的結(jié)構(gòu)很像，根據(jù)題目的已知條件，可知在矩形ABCD中，BE∶BC=1∶2，所以我就想能不能證明∠ECF=45°.如果可以證明，那直接就由結(jié)論得到DF∶CD=1∶3，即可求出DF的長(zhǎng)度.雖然題目沒(méi)有直接給出∠ECF=45°，但是根據(jù)折疊能推導(dǎo)出∠ECF=45°，因此這個(gè)問(wèn)題也就變得很容易解決了.

折疊問(wèn)題的本質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱(chēng)變化，半角模型的本質(zhì)是圖形的旋轉(zhuǎn)變化，它們都屬于圖形的全等變化.

3.3 重視思維生長(zhǎng)，感悟結(jié)論拓展

能根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)選擇合適的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是學(xué)生具備靈活思維能力的表現(xiàn).為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探究的價(jià)值和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，筆者設(shè)計(jì)了一道三星題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中提高思維能力，提升核心素養(yǎng).

訓(xùn)練3（★★★）如圖10，點(diǎn)A（2，3）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線AB：y=12x+b繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

生：點(diǎn)A的坐標(biāo)是用來(lái)求反比例函數(shù)與直線AB的函數(shù)表達(dá)式的，要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，我就想能不能先求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式，然后再求點(diǎn)C的坐標(biāo).已經(jīng)有點(diǎn)A的坐標(biāo)了，則還需要知道直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)，才能利用待定系數(shù)法求解直線AC的函數(shù)表達(dá)式，但是一開(kāi)始我找不到這樣的點(diǎn).當(dāng)發(fā)現(xiàn)45°角之后，經(jīng)過(guò)本題圖形和結(jié)論中圖形的對(duì)比，于是構(gòu)造了一個(gè)結(jié)論中的結(jié)構(gòu).

如圖11，過(guò)點(diǎn)A向y軸作了一條垂線段AE，向x軸作了一條垂線段AF.容易得到點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，則BE=1.又因?yàn)锳E=2，所以BE∶AE=1∶2，由此馬上得出FG∶AF=1∶3.由AF=3，得FG=1，則OG=1，所以G（1，0），即可求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式了.

函數(shù)與幾何的結(jié)合，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)最終走向一個(gè)系統(tǒng)的整體.

4 總結(jié)

常規(guī)復(fù)習(xí)課讓學(xué)生感到枯燥，探究課吸引了學(xué)生興趣，引發(fā)了學(xué)生思考，改善了課堂氛圍，也從一定程度上提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.在數(shù)學(xué)探究的過(guò)程中，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去探索與思考，逐步落實(shí)“三會(huì)”的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]李沐慧.“問(wèn)題提出”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)——以“正方體的截面”教學(xué)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2023（12）：18-22.