培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的模型觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高中、初中、小學(xué)階段的“具體”表現(xiàn)形式又有所不同，但是無(wú)論“稱謂”怎樣變化，“模型觀念”都是初中階段的重要核心素養(yǎng)之一.怎樣培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的模型觀念？

1 加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，為形成模型觀念奠定基礎(chǔ)

《課標(biāo)（2022年版）》）在“課程目標(biāo)”中提出了三條具體要求，其中第一條和第二條可以簡(jiǎn)稱為“四基”和“四能”.這是所有接受義務(wù)教育的學(xué)生都應(yīng)該達(dá)到的最低要求，學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必須掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，逐步形成數(shù)學(xué)基本技能，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

《課標(biāo)（2022年版）》中界定所有課程內(nèi)容，都屬于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).數(shù)學(xué)基本技能是在學(xué)習(xí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)所形成的技能（主要指運(yùn)算技能、繪圖技能、處理數(shù)據(jù)技能、推理技能）.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能相互“交融”在一起，有時(shí)是不好區(qū)分的.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，也會(huì)自然形成與之相應(yīng)的基本技能；另外，在運(yùn)用某些數(shù)學(xué)基本技能解決問題的同時(shí)，也進(jìn)一步加深了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解.

學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念可以用“強(qiáng)弱”來(lái)衡量，模型觀念“強(qiáng)”的人，表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)到位，思路明確，能通過閱讀實(shí)際問題清晰地意識(shí)到應(yīng)該建立怎樣的數(shù)學(xué)模型才能解決這個(gè)實(shí)際問題.

一個(gè)人擁有的數(shù)學(xué)知識(shí)容量越大，其數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)越優(yōu)化，數(shù)學(xué)觀念當(dāng)然也就越強(qiáng).要培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)“四基”的教學(xué).

方程（組）是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，方程模型是一類重要的數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)方程的有關(guān)知識(shí)并用方程解決實(shí)際問題對(duì)于模型觀念的形成具有積極的價(jià)值.

案例1人數(shù)、物價(jià)問題

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個(gè)人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，還差4錢.問人數(shù)、物價(jià)各是多少？若設(shè)共有x人，物價(jià)是y錢，則下列方程正確的是（）.

A.8（x-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

C.y－38=y+47D.y+38=y－47

點(diǎn)評(píng)：本題目中設(shè)了x，y兩個(gè)未知數(shù)，是“迷惑”學(xué)生的，是讓學(xué)生誤認(rèn)為有兩個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該建立二元一次方程組模型.而題目給出的選擇支都是一元一次方程，這必然導(dǎo)致部分學(xué)生的思路陷入“歧途”，不能作出正確選擇.這就是本題的“高明之處”.

在教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果建立二元一次方程組模型，找不到答案，那該怎么辦？事實(shí)上，學(xué)生思路受阻的原因在于對(duì)二元一次方程組知識(shí)的掌握還達(dá)不到“十分熟練”的程度.

當(dāng)學(xué)生想到“消元”是解二元一次方程組的基本思路時(shí)，反映靈敏的學(xué)生可能會(huì)想到“這莫非是建立的二元一次方程組經(jīng)過消元后的結(jié)果？”通過思考，得到y(tǒng)=8x－3，

y=7x+4，由第一個(gè)方程可得x=y+38，由第二個(gè)方程可得x=y－47，于是有y+38=y－47.

師生通過交流、思考，找到解決本題要分兩步：

一是根據(jù)題意正確列出二元一次方程y=8x－3，

y=7x+4；二是對(duì)上面兩個(gè)方程變形：分別用含有y的代數(shù)式表示出x.這就是本題的“真正立意”所在.

本題素材有三種考查方式：

（1）作為填空題出現(xiàn)，讓學(xué)生填寫出正確答案.這樣的話，雖然大部分考生都能給出正確答案，但對(duì)于考查學(xué)生方程組掌握的程度似乎“不夠力度”.

（2）作為選擇題出現(xiàn)，選擇的項(xiàng)中直接給出含有正確方程組的形式.大部分命題者會(huì)選擇這種考查方式.

（3）本題的考查形式.這種考查方式能發(fā)揮方程組“載體”的最大教學(xué)功能，有助于發(fā)展學(xué)生的模型觀念.

本考題啟發(fā)我們，教師應(yīng)站在編寫者的高度去研讀教材、例題和習(xí)題.對(duì)每一道例題、習(xí)題都要進(jìn)行深層次的思考，只有這樣才能創(chuàng)造性地使用教材.這對(duì)于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能是非常必要的.

2 注重過程教學(xué)，形成模型觀念的有效措施

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要向?qū)W生展示兩個(gè)過程：（1）充分展現(xiàn)知識(shí)的形成過程；（2）反映知識(shí)的應(yīng)用過程.

在落實(shí)這兩個(gè)過程時(shí)，都伴隨著學(xué)生的各種豐富的活動(dòng)，也就是說(shuō)無(wú)論是知識(shí)的形成過程，還是應(yīng)用過程都是在學(xué)生的活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的.

在《課標(biāo)（222年版）》界定的“課程內(nèi)容”中，含有大量的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運(yùn)算律、法則、定理、公式等，我們將其統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)知識(shí)”，對(duì)于這些知識(shí)的教學(xué)一定要體現(xiàn)過程，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的“剛性”要求.

模型觀念是在學(xué)生經(jīng)歷各種具體學(xué)習(xí)的過程中逐漸形成的，并且在建立各種具體模型解決問題的過程中得到增強(qiáng)和發(fā)展.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)結(jié)合具體的課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程.

案例2探索多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系

十八世紀(jì)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)并證明了一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在著一個(gè)有趣的關(guān)系式，即V+F-E=2.人們把這個(gè)公式稱為歐拉公式.

為引導(dǎo)學(xué)生通過探索，把“圖形”的“頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)”之間的特點(diǎn)抽象成“數(shù)量之間”的關(guān)系式，我們可利用問題引導(dǎo)學(xué)生在觀察、思考、抽象、概括的過程中，發(fā)現(xiàn)上面的公式.

觀察圖1所示的四種簡(jiǎn)單多面體模型，并思考、探索下面兩個(gè)問題：

（1）分別寫出圖1中的四個(gè)多面體模型的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）；

（2）猜想一個(gè)正多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是.

點(diǎn)評(píng)：歐拉是一位著名數(shù)學(xué)家，他淵博的知識(shí)、無(wú)窮無(wú)盡的創(chuàng)作精力和空前豐富的著作令世人驚嘆不已.本題以四個(gè)簡(jiǎn)單的多面體為例，讓學(xué)生歸納猜想得到著名的歐拉公式，并利用這一公式解答有關(guān)的問題.

本案例的目的是讓學(xué)生借助“圖形”的直觀特性，歸納出“數(shù)量”之間的關(guān)系式.首先提供了四個(gè)多面體模型，多面體模型有三個(gè)“基本數(shù)字”特征：頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）.學(xué)生通過觀察其中兩個(gè)模型，就可以得到上述公式，利用另外兩個(gè)模型驗(yàn)證上述公式，從而完成問題（1）的解答.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)過歸納、猜想等活動(dòng)，抽象出一般性的結(jié)論：一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F-E=2.

在實(shí)際教學(xué)中可分三步：

（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)四面體有4個(gè)頂點(diǎn)、4個(gè)面、6條棱；長(zhǎng)方形有8個(gè)頂點(diǎn)、6個(gè)面、12條棱.為了引導(dǎo)學(xué)生自己能發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間具有的數(shù)量關(guān)系，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索、猜想并相互交流.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）具有關(guān)系：V+F-E=2.

（2）觀察正八面體發(fā)現(xiàn)有6個(gè)頂點(diǎn)、8個(gè)面、12條棱，可以發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）也具有關(guān)系：V+F-E=2.

（3）結(jié)合一個(gè)正十二面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）是20、面數(shù)（F）是12、棱數(shù)（E）是30，可以驗(yàn)證V+F-E=2.

學(xué)生在解答的過程中，幾何直觀起了關(guān)鍵作用，反映了“利用圖形描述和分析問題”的過程.學(xué)生如果沒有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力和幾何直觀能力，是很難發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的.學(xué)生在探索、發(fā)現(xiàn)公式的同時(shí)，其抽象概括能力、合情推理能力等都有所提高，還能進(jìn)一步感悟“數(shù)形結(jié)合”的思想，加深對(duì)“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”的理解與認(rèn)識(shí).

本案例的教育教學(xué)價(jià)值有：（1）培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力；（2）讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的作用；（3）進(jìn)一步感悟到數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，發(fā)展了學(xué)生的模型觀念；（4）對(duì)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)文化教育，從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展來(lái)看，這一點(diǎn)似乎比單純地進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)教育更為重要.

3 注重問題解決，發(fā)展模型觀念的必要環(huán)節(jié)

《課標(biāo)2022年版》在“課程目標(biāo)”中要求學(xué)生“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題”.應(yīng)用意識(shí)是重要的數(shù)學(xué)觀念之一，教師在整個(gè)數(shù)學(xué)教育過程中都應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力主要是在解決實(shí)際問題的過程中形成和發(fā)展起來(lái)的.教師要通過“建立模型—解決問題”發(fā)展學(xué)生的模型觀念和問題意識(shí).

案例3飲水機(jī)中的學(xué)問（青島版教材）

教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃，加熱到100℃停止加熱，水溫開始下降，此時(shí)水溫y（單位：℃）與開機(jī)后用時(shí)x（單位：min）成反比例關(guān)系，直至水溫降至30℃，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序.若在水溫為30℃時(shí)接通電源，水溫y（單位：℃）與時(shí)間x（單位：min）的關(guān)系如圖2所示.

（1）分別寫出水溫上升和下降階段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）怡萱同學(xué)想喝高于50℃的水，請(qǐng)問她最多需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？

解析：（1）觀察圖2發(fā)現(xiàn)，y與x的函數(shù)圖象分兩段.水溫上升階段的圖象是線段，下降階段的圖象是雙曲線在第一象限的一部分.利用待定系數(shù)法，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式分別是y1=10x+30（0≤x≤7）和y2=700x.把y=30代入y=700x得x=703，即y與x的函數(shù)關(guān)系式每703分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次，所以在下降階段對(duì)應(yīng)表達(dá)式中，7＜x≤703.

所以y=10x+30，0≤x≤7，

700x，7lt;x≤703.

（2）將y=50代入y=10x+30，得x=2；將y=50代入y=700x，得x=14.因?yàn)?4-2=12，703-12=343.所以想喝高于50℃的水最多需要等待343分鐘.

點(diǎn)評(píng)：題目以“飲水機(jī)燒水”為背景，符合學(xué)生生活實(shí)際，屬于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用題.主要考查學(xué)生通過建立函數(shù)模型，利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.讀懂題意，結(jié)合圖象正確分析問題是解答的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的知識(shí)后，可以以此檢查學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念.

學(xué)生通過觀察圖象，很容易判斷出該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù).這個(gè)分段函數(shù)包含兩個(gè)部分：水溫上升階段的一次函數(shù)，下降階段的反比例函數(shù).利用待定系數(shù)法不難分別求得這兩段的函數(shù)關(guān)系式.要確定自變量x的取值范圍，必須正確理解“直至水溫降至30℃，飲水機(jī)關(guān)機(jī)，飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動(dòng)開機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序”的意義.這句話的意思是：當(dāng)水溫達(dá)到30℃，飲水機(jī)開始加熱；當(dāng)水溫到達(dá)100℃，飲水機(jī)停止加熱，水溫自然下降；當(dāng)水溫降至30℃時(shí)，飲水機(jī)又開始加熱.“30℃加熱—100℃降溫—30℃加熱”完成一個(gè)循環(huán)周期，重復(fù)上述過程.需要根據(jù)反比例函數(shù)式，求出重復(fù)上述自動(dòng)程序一次所用的時(shí)間，即把y=30代入y=700x，得x=703，從而就能確定自變量的取值范圍.在解答第（2）問時(shí)，分三小步：第一步是根據(jù)一次函數(shù)式求出上升到50℃所用的時(shí)間以及下降到50℃所用的時(shí)間；第二步求出這兩個(gè)時(shí)間差，這個(gè)“差”就是飲水機(jī)中的水溫一直保持高于50℃的一個(gè)時(shí)間段；第三步求“怡萱同學(xué)想喝高于50℃的水最多需要等待的時(shí)間”，只要用重復(fù)一次所用的時(shí)間703減去“水溫一直保持50℃以上的時(shí)間段”就能得到.

在學(xué)生學(xué)習(xí)各種具體方程、不等式以及函數(shù)的同時(shí)，都要圍繞具體的知識(shí)，設(shè)計(jì)一些通過建立相應(yīng)模型解決的實(shí)際問題，這有利于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解，同時(shí)讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性及數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，不斷發(fā)展學(xué)生的模型觀念和應(yīng)用意識(shí).

“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土，“四能”是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，精心設(shè)計(jì)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷各種活動(dòng)的過程中，掌握扎實(shí)的“四基”并具有“嫻熟”的“四能”，為發(fā)展學(xué)生的模型觀念提供堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，然后利用掌握的知識(shí)，通過建立各種模型去解決有關(guān)的實(shí)際問題，不斷培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的模型觀念，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).Z