巧用數(shù)學(xué)思想解決初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題

徐建明

(漳州市長泰區(qū)枋洋中學(xué),福建 漳州 363903)

函數(shù)與幾何的綜合性問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題,通常以壓軸題的形式出現(xiàn),這類問題主要以函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ),注重考查運(yùn)動過程中幾何圖形的變化情況.解決這類問題,不僅可以使學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的相關(guān)知識,而且還能通過多種數(shù)學(xué)思想巧妙應(yīng)用,幫助學(xué)生充分掌握相關(guān)解題思路與技巧,從而更加有效地解決函數(shù)與幾何的綜合性問題,提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 巧用數(shù)形結(jié)合法解決函數(shù)問題

例1如圖1,已知拋物線C:y=ax2-2ax+c過C點(diǎn)(1,2),且與x軸相交點(diǎn)A(-1,0)與點(diǎn)B.

圖1 拋物線C:y=ax2-2ax+c圖象

(1)求取拋物線C的解析式;

(3)如圖2,將拋物線C的頂點(diǎn)平移至原點(diǎn),得到拋物線C1,直線l:y=kx-2k-4與拋物線C1相交在P、Q兩點(diǎn),且拋物線C1上存在定點(diǎn)D,使∠PDQ=90°,求D點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2 直線l:y=kx-2k-4與拋物線C1相交的圖象

2 巧用換元法解決函數(shù)問題

3 巧用分類討論法解決函數(shù)問題

例3如圖3,已知拋物線y=ax2-5ax+4與坐標(biāo)軸分別交于A,C兩點(diǎn),過C點(diǎn)作BC∥x軸,與拋物線相交于C點(diǎn),AC=BC.若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一動點(diǎn),且處于x軸的下方.請問,是否存有P點(diǎn),使△PAB是等腰三角形?如果存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由[3].

圖3 拋物線y=ax2-5ax+4的坐標(biāo)圖

分析本題可通過分類討論的思想加以解題,可將其分成兩種情況,也就是AB為底或腰.當(dāng)AB為腰時(shí),則需注意頂角的位置,也就是∠A或∠B是頂角屬于兩種情況,此時(shí)可找出兩個(gè)△PAB.當(dāng)AB是底邊時(shí),△PAB的頂角必然是∠P,此時(shí),也能找出對應(yīng)的△PAB.

解如圖4所示,依據(jù)P點(diǎn)的不同位置,將其分為三種情況進(jìn)行探討.

圖4 點(diǎn)P不同位置圖

4 巧用待定系數(shù)法解決函數(shù)問題

圖5 例4題圖

(1)試著判斷哪條拋物線過A,B兩點(diǎn),并說出理由;

5 結(jié)束語

綜上所述,數(shù)形結(jié)合法、換元法、分類討論法、待定系數(shù)法是解決初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題常用的數(shù)學(xué)思想.因此,在函數(shù)問題的解題教學(xué)過程中,教師需選擇典型的例題,幫助學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題解決中的運(yùn)用方法,以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,使學(xué)生能夠從容應(yīng)對函數(shù)問題,切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).