數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用
——以“二次函數(shù)與幾何圖形”問題為例

王 麗

(江蘇省如皋市港城實驗學(xué)校初中部,江蘇 南通 226532)

數(shù)形結(jié)合思想是一種綜合性的思維方式,是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想能夠使數(shù)學(xué)問題形象化、直觀化,借助幾何圖形或函數(shù)圖象理解和解決數(shù)學(xué)問題[1].研究數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用,并為教師提供有價值的教學(xué)策略和方法,從而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題能力的提升,這對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的現(xiàn)實意義[2-3].因此,本文以“二次函數(shù)與幾何圖形”問題為例,通過實例分析,驗證了數(shù)形結(jié)合思想在解決這類問題上的有效性和實用性,對提高學(xué)生的解題能力和思維能力具有重要意義.

1 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的體現(xiàn)及運用

數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)問題與幾何圖形或函數(shù)圖象相結(jié)合,運用數(shù)學(xué)概念和方法分析解決與幾何有關(guān)的問題.它強調(diào)數(shù)學(xué)與幾何之間的相互關(guān)系,通過數(shù)學(xué)的抽象和邏輯推理方法理解和解釋幾何現(xiàn)象[4].數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運用主要表現(xiàn)在下面幾個方面.

1.1 幾何對象的數(shù)學(xué)表示

數(shù)形結(jié)合思想可以將幾何對象抽象為數(shù)學(xué)上的符號和表達式,通過數(shù)學(xué)語言來描述和分析幾何性質(zhì).例如,將平面上的點用坐標表示,將直線用方程表示,將平面圖形用數(shù)學(xué)公式和方程式表示.

1.2 利用數(shù)學(xué)方法解決幾何問題

數(shù)形結(jié)合思想可通過運用數(shù)學(xué)方法和工具解決幾何問題.例如,通過代數(shù)方法和方程的求解求取幾何圖形的參數(shù),通過向量和矩陣的運算來研究幾何變換和平面曲線,等等.

1.3 幾何問題的數(shù)學(xué)證明

數(shù)形結(jié)合思想可將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并通過數(shù)學(xué)的邏輯推理和證明方法解決幾何問題.例如,通過利用數(shù)學(xué)定理和推理方法證明幾何性質(zhì),如平行線的性質(zhì)、三角形的相似性質(zhì)等.

1.4 幾何模型的數(shù)學(xué)建模

數(shù)形結(jié)合思想可以將實際問題抽象為幾何模型,并通過數(shù)學(xué)建模和計算方法分析解決實際問題.例如,在工程和科學(xué)領(lǐng)域中,可以利用數(shù)形結(jié)合思想將物體的形狀和結(jié)構(gòu)抽象為幾何模型,通過數(shù)學(xué)建模和模擬計算研究其性質(zhì)和行為.

2 “二次函數(shù)與幾何圖形”問題的求解策略

“二次函數(shù)與幾何圖形”問題在試題中有多種形式,包括求頂點、方程求解、圖像分析等.本文將詳細介紹該類題型的解題思路和方法,討論如何運用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)與幾何圖形問題,具體求解策略如圖1所示.

圖1 數(shù)形結(jié)合解決二次函數(shù)與幾何圖形問題求解策略

2.1 理清問題信息和給定條件

在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”綜合題之前,首先需要仔細閱讀題目并理清其中的關(guān)鍵信息.例如,了解已知條件、待求量以及所給圖形的特點等.通過整理和歸納這些信息,可以為后續(xù)的解題過程提供指導(dǎo),提高解題效率.

2.2 繪制幾何圖形

根據(jù)題目中給出的信息,繪制相應(yīng)的幾何圖形是解決問題的重要一步.幾何圖形可以直觀地展示問題的情境和關(guān)系,幫助學(xué)生更好地理解問題.在繪制幾何圖形時,可以借助數(shù)學(xué)工具或手繪,確保圖形的準確性,為問題解決創(chuàng)造條件.

2.3 建立二次函數(shù)模型

在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”綜合題時,往往需要建立一個適當?shù)亩魏瘮?shù)模型來描述問題.根據(jù)已知條件和問題的要求,可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立相應(yīng)的函數(shù)模型.這個函數(shù)模型將數(shù)學(xué)概念與幾何圖形聯(lián)系起來,為解題提供了一個框架.

2.4 分析函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系

通過分析函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系,可以揭示二者之間的數(shù)學(xué)規(guī)律和聯(lián)系.觀察函數(shù)圖象的形狀、開口方向、定點位置等特點,并將其與幾何圖形進行對比和推理.這樣的分析有助于理解問題背后的數(shù)學(xué)原理,并為問題的解答提供線索.

2.5 運用數(shù)形結(jié)合解決問題

在掌握了函數(shù)圖象與幾何圖形的關(guān)系后,可以運用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題.通過將函數(shù)模型中的變量與幾何圖形相對應(yīng),可以建立數(shù)學(xué)方程或等式,進而求解待求量.同時,結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和特點,可以得出問題的解答.

2.6 檢查與解釋結(jié)果

在完成解題過程后,應(yīng)當對結(jié)果進行檢查,確保解答符合問題的要求.同時,還可以對解答結(jié)果進行解釋和分析,說明解題的思路和方法,并給出可能存在的其他解決方案.

3 “二次函數(shù)與幾何圖形”問題的案例分析

例題如圖2,在平面直角坐標系中,拋物線開口向下,且與x軸交于點A(5,0)和點B(-1,0),與y軸的正半軸交于點C(0,2.5).

圖2 例題圖

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線上是否存在一個點P,使得能夠與點A和點C為頂點構(gòu)成一個直角三角形,且點A為直角頂點;

(3)若在拋物線上有一個動點G,作GE⊥y軸,與直線AC相交于點D,作DF⊥x軸,連接EF,當線段EF最短時,求點G的坐標.

3.1 求解二次函數(shù)解析式

熟練掌握二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.其解析式有一般式、頂點式、交點式三種基本形式,特殊情況下還有對稱點式.求取二次函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法,依據(jù)題目中給出的已知條件的特征和二次函數(shù)三種基本形式,設(shè)出恰當?shù)慕馕鍪娇梢蕴岣呓忸}效率.根據(jù)已知條件可知,拋物線與x軸相交于A,B兩點,可以判斷交點式是求取該拋物線解析式的首選方法.

3.2 存在性問題

在初中數(shù)學(xué)中,存在性問題是指對于某個條件或要求,判斷是否存在滿足條件的對象或解.這類問題常常出現(xiàn)在各個數(shù)學(xué)分支中,如代數(shù)、幾何、邏輯等領(lǐng)域.一般可通過推理證明或構(gòu)造法判斷是否存在滿足要求的圖形或幾何關(guān)系,存在性問題對于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力非常重要.

以上述“拋物線上是否存在一個點P,使其能夠與點A和點C為頂點構(gòu)成一個直角三角形,且點A為直角頂點”為例,說明解決這類問題的基本策略.一般情況下,解決這類存在性問題時,先假設(shè)存在點P,使得其能夠與點A和點C為頂點構(gòu)成一個直角三角形,且點A為直角頂點,然后利用直角三角形的基本性質(zhì)進行推理求解.

3.3 動點問題

在中考試題中,二次函數(shù)與幾何動點問題涉及確定動點的坐標,通常被認為是較難的部分.在解決“二次函數(shù)與幾何圖形”有關(guān)的動點問題時,常常需要結(jié)合幾何法和代數(shù)法,并根據(jù)具體情況選擇最合適的方法求解動點的坐標.這要求學(xué)生既要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形的特點,又要具備使用代數(shù)方法進行方程求解的能力.

3.3.1代數(shù)論證法

3.3.2幾何論證方法

4 結(jié)束語

運用數(shù)形結(jié)合的解題策略可以幫助學(xué)生更好地解決中考“二次函數(shù)與幾何圖形”問題的綜合題.通過幾何圖形的觀察和分析,結(jié)合數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用及結(jié)果的驗證與解釋,學(xué)生能夠全面理解問題并找到解決方案.這種解題策略不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,也培養(yǎng)了學(xué)生的幾何思維和數(shù)學(xué)模型應(yīng)用能力.